哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001

波達(dá)方向(direction of arrival，DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理的重要課題之一，在天線、通信和雷達(dá)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1?2]。近幾十年來(lái)，人們先后提出了多種DOA 估計(jì)方法，包括波束形成、基于子空間的算法和最大似然(maximum likelihood，ML)估計(jì)等。其中子空間類(lèi)算法[3?5]有著優(yōu)秀的超分辨能力，作為代表的MUSIC 方法是傳統(tǒng)DOA估計(jì)技術(shù)中最成功的方法，然而子空間類(lèi)算法需要大量的快拍才能獲得高分辨的性能，且當(dāng)信號(hào)由于多路徑傳播而高度相關(guān)或相干時(shí)，這些方法可能無(wú)法工作。加權(quán)子空間擬合(weighted subspace fitting,WSF)是一種參數(shù)化的DOA 估計(jì)方法，該方法原理簡(jiǎn)單且具有較高的估計(jì)精度，因此受到了廣泛的關(guān)注[6?7]。

近年來(lái)，空間的稀疏性引起了人們對(duì)信號(hào)處理的興趣，極大地促進(jìn)了稀疏表示方法在DOA 估計(jì)[8?10]中的應(yīng)用，這些方法，都展現(xiàn)出了許多優(yōu)秀的特性，如提高了信號(hào)的分辨率、對(duì)噪聲的魯棒性等，其中，稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)[11?15]是最流行的稀疏恢復(fù)方法之一。出色的DOA 估計(jì)性能取決于一個(gè)假設(shè)，即真正的信號(hào)位于預(yù)定義的離散空間網(wǎng)格上，然而，實(shí)際信號(hào)的到達(dá)角與其最臨近的網(wǎng)格點(diǎn)之間總是存在間隔，即網(wǎng)格失配問(wèn)題，如果減小離散網(wǎng)格的間距，會(huì)帶來(lái)計(jì)算量的大幅增加，而增大離散網(wǎng)格的間距，則算法的估計(jì)性能也會(huì)因此而變差。為了減小網(wǎng)格失配帶來(lái)的建模誤差，研究者們提出了一些改進(jìn)的方法來(lái)處理離網(wǎng)的DOA 估計(jì)[16?19]，文獻(xiàn)[16]采用一階泰勒模型對(duì)真實(shí)DOA 進(jìn)行了線性逼近，提出了一種離網(wǎng)SBL 方法，有效地解決了網(wǎng)格失配的問(wèn)題，獲得了更優(yōu)的估計(jì)性能。文獻(xiàn)[17]利用樣本協(xié)方差矩陣，進(jìn)一步提出了一種改進(jìn)的離網(wǎng)SBL 方法來(lái)減小噪聲方差的影響。文獻(xiàn)[18]通過(guò)使用相鄰的2 個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，提出了一種線性插值方法對(duì)真實(shí)DOA線性逼近，這些線性逼近方法確實(shí)可以減小離網(wǎng)間隙引起的建模誤差，但不能完全消除，如果使用較粗的離散網(wǎng)格，在實(shí)際應(yīng)用中仍然會(huì)有較大的建模誤差。為此，文獻(xiàn)[19]提出了一種基于動(dòng)態(tài)網(wǎng)格的求根SBL 算法，該算法在計(jì)算復(fù)雜度和估計(jì)精度之間取得了平衡，即使采用粗網(wǎng)格，也能獲得較好的估計(jì)性能，對(duì)網(wǎng)格間距具有較好的魯棒性，但是在低信噪比等條件下估計(jì)有效性不足。

1 子空間擬合模型

假設(shè)K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)以角度θ=[θ1,θ2,···,θK]T入射到M元均勻天線陣列上，入射信號(hào)的波長(zhǎng)為 λ，相鄰天線間距離為d=λ/2，那么在t時(shí)刻天線陣列的輸出可以寫(xiě)成：

X(t)=A(θ)S(t)+N(t),t=1,2,···,L

式中：N(t)=[n1(t),n2(t),···,nM(t)]T是均值為零的加性平穩(wěn)高斯白噪聲；S(t)=[s1(t),s2(t),···,sK(t)]T為入射信號(hào)，并假設(shè)入射信號(hào)與噪聲相互獨(dú)立；入射角θ定義為信號(hào)與陣列法線的夾角；L表示快拍數(shù)；A(θ)=∈CM×K為陣列的流型矩陣；表示陣列的方向矢量。則陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣定義為

對(duì)矩陣RX進(jìn)行特征分解可以得到：

式中：μ1≥μ2≥···＞μK+1=···=μM為RX的特征值；由特征向量構(gòu)成的矩陣Us和Un分別定義為信號(hào)子空間和噪聲子空間。理想情況下，信號(hào)子空間Us與陣列流型矩陣A具有相同的張成子空間，即存在一個(gè)列滿(mǎn)秩矩陣T使得

Us=AT

然而實(shí)際中，由于有限的采樣數(shù)及噪聲的存在，陣列流型張成的子空間與信號(hào)子空間并不完全相同，為了解決這個(gè)問(wèn)題，經(jīng)典WSF 算法[4]通過(guò)構(gòu)造一個(gè)擬合關(guān)系，使得兩者在最小二乘意義下擬合得最好，即

式中W為權(quán)矩陣。當(dāng)W=時(shí)為最優(yōu)權(quán)，則信號(hào)的加權(quán)子空間與陣列流型之間的線性關(guān)系為

式中：Y=UsW1/2；等價(jià)噪聲矩陣E近似服從均值為0 的高斯分布。

2 子空間擬合塊稀疏貝葉斯算法

2.1 稀疏模型

為了將式(1)納入稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)框架求解，首先需要構(gòu)造稀疏模型。將空間以角度為單位等間隔劃分成N份，假設(shè)離散網(wǎng)格的間隔足夠小，則能保證所有入射信號(hào)都落在這N個(gè)離散角度上，每一個(gè)離散角度都對(duì)應(yīng)一個(gè)空間信號(hào)(n=1,2,···,N)，便構(gòu)造了一個(gè)稀疏度為K的信號(hào)矢量，然后計(jì)算離散網(wǎng)格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量，即可得到稀疏化后的陣列流型矩陣，則稀疏表示下的信號(hào)模型為

式中：y=vec(YT)；D=Φ?IK；s=且n=vec(ET)。根據(jù)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)，s的先驗(yàn)分布為p(s|γ,B)=CN(0,Σ0)，其中Σ0=Γ?B；Γ=diag(γ)；γ=[γ1,γ,···,γ]T。2N

在實(shí)際情況下，入射信號(hào)都位于網(wǎng)格點(diǎn)上是不現(xiàn)實(shí)的，真實(shí)DOA 與空間離散網(wǎng)格點(diǎn)之間的間隔不可避免地會(huì)導(dǎo)致較大估計(jì)誤差，針對(duì)此網(wǎng)格失配問(wèn)題，本文將在后面內(nèi)容提出一種多項(xiàng)式求根方法解決建模誤差，將采樣網(wǎng)格點(diǎn)作為動(dòng)態(tài)參數(shù)，然后通過(guò)迭代更新離散網(wǎng)格。

2.2 塊稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)

由稀疏模型式(3)可知s的 后驗(yàn)概率密度分布可以表示為

值得注意的是，學(xué)習(xí)規(guī)則式(4)、(5)的維數(shù)很高，算法速度不快。文獻(xiàn)[14]指出可以通過(guò)合理地近似降低學(xué)習(xí)規(guī)則的維度，即利用MSBL 算法來(lái)簡(jiǎn)化上述規(guī)則，其中MSBL 算法為

式中 η是正數(shù)。式(10)的正則化形式保證了B是正定的。

2.3 網(wǎng)格更新

在本節(jié)中，針對(duì)網(wǎng)格失配問(wèn)題帶來(lái)的建模誤差，將離散網(wǎng)格點(diǎn)作為動(dòng)態(tài)參數(shù)，然后通過(guò)多項(xiàng)式求根來(lái)更新離散網(wǎng)格。設(shè)空間離散角為動(dòng)態(tài)參數(shù)。根據(jù)EM(expectation maximization)算法，首先對(duì)式(5)中的似然函數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)期望運(yùn)算，忽略獨(dú)立常數(shù)項(xiàng)即可得到目標(biāo)函數(shù)：

令式(12)的導(dǎo)數(shù)為0，可以得到：

式中：αi、、εij分別表示 Φ的第i列、矩陣以及的第(i,j)個(gè)元素，且。

則式(15)可以寫(xiě)成如下多項(xiàng)式形式：

需要注意的是，在每次迭代過(guò)程中，并不需要更新所有的離散網(wǎng)格點(diǎn)，選擇更新 γ中與K個(gè)較大極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格點(diǎn)即可保證算法的性能，這將大大提高算法的運(yùn)算效率。

2.4 算法步驟

綜上所述，基于子空間擬合和塊稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的離網(wǎng)DOA 估計(jì)算法步驟如下：

1)對(duì)陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣特征分解，構(gòu)造信號(hào)的加權(quán)子空間Y；

2)初始化參數(shù) γ、B、λ以及，設(shè)定收斂條件；

3)迭代；

b)利用式(9)、(10)、(11)、(17)更新γ、B、λ及；

c)若||γi+1?γi||2/||γi||2＜τ成立或達(dá)到最大迭代次數(shù)，則退出迭代；反之，則重復(fù)步驟a)、b)，其中τ為收斂判決門(mén)限。

4)根據(jù) γ中極值點(diǎn)的位置，即可得到相應(yīng)信號(hào)的DOA 估計(jì)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與性能分析

為了驗(yàn)證所提出算法的有效性，在本節(jié)中，進(jìn)行了一些仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證所提方法的性能，將所提出的算法與OGSBI(off-grid sparse bayesian inference)算法以及rootSBL(root sparse bayesian learning)算法進(jìn)行了比較。仿真實(shí)驗(yàn)中，天線陣列設(shè)定為8 元均勻線陣，迭代次數(shù)最大值設(shè)定為1 000 次，誤差判決門(mén)限設(shè)置為τ=10?3，蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù)設(shè)置為500 次。

3.1 均方根誤差

實(shí)驗(yàn)1 設(shè)置快拍數(shù)為100，離散網(wǎng)格的間隔為2°，仿真實(shí)驗(yàn)比較了3 種算法的均方根誤差隨信噪比變化的結(jié)果；實(shí)驗(yàn)2 設(shè)置信噪比為0 dB，離散網(wǎng)格的間隔為2°，仿真實(shí)驗(yàn)比較了在不同快拍數(shù)下3 種算法的均方根誤差。

圖1 表明，當(dāng)信噪比提高時(shí)，3 種算法的均方根誤差均有所減小，其中相比較rootSBL 算法，在較低信噪比下OGSBI 算法的估計(jì)精度更高，而當(dāng)信噪比較高時(shí)，rootSBL 算法的均方根誤差能收斂到更小的值，相比較這2 種算法，本文所提出的算法在不同信噪比條件下均具有更高的估計(jì)精度。由圖2 可以看出，當(dāng)快拍數(shù)逐漸增大時(shí)，3 種算法的均方根誤差均不斷降低，相比較2 種對(duì)比算法，本文所提出的算法由于采用了子空間擬合，因此隨著快拍數(shù)的增加，均方根誤差能收斂到更小的值，具有更高的估計(jì)精度。

圖1 不同信噪比下算法對(duì)比結(jié)果

圖2 不同快拍數(shù)下算法對(duì)比結(jié)果

3.2 離散網(wǎng)格間隔

設(shè)置采樣數(shù)為100，仿真實(shí)驗(yàn)3 比較了在不同網(wǎng)格間隔下3 種算法的均方根誤差。由圖3 可以看出，隨著網(wǎng)格間隔增大，OGSBI 算法均方根誤差增大較為明顯，而rootSBL 算法及本文提出的算法均方根誤差變化較小。由于OGSBI 算法中采用了線性逼近方法，因此當(dāng)使用粗網(wǎng)格時(shí)會(huì)導(dǎo)致較大的建模誤差，從而帶來(lái)較大的均方根誤差，而本文提出的算法將粗網(wǎng)格中的采樣點(diǎn)作為可調(diào)參數(shù)，可以很好地減小網(wǎng)格失配帶來(lái)的誤差，具有較強(qiáng)的魯棒性。

圖3 不同網(wǎng)格間隔下算法對(duì)比結(jié)果

3.3 空間分辨率

設(shè)置信噪比為10 dB，采樣數(shù)為100，離散網(wǎng)格的間隔為2°，空間2 入射信號(hào)的角度間隔分別為4°～10°，仿真實(shí)驗(yàn)4 比較了3 種算法在不同角度間隔下的均方根誤差。圖4 表明，當(dāng)空間2 角度間隔較近時(shí)，OGSBI 算法及rootSBL 算法均具有較大的均方根誤差，當(dāng)角度間隔逐漸增大，3 種算法的均方根誤差均有所減小并趨于穩(wěn)定，相比較這兩種算法，本文所提出的算法在不同角度間隔的條件下均具有更小的均方根誤差，具有更好的空間分辨率。

圖4 不同角度間隔下算法對(duì)比結(jié)果

4 結(jié)論

1)本文將加權(quán)子空間擬合引入塊稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)，提出了一種新的離網(wǎng)DOA 估計(jì)方法。

2)針對(duì)建模帶來(lái)的網(wǎng)格失配問(wèn)題，將離散網(wǎng)格中的采樣點(diǎn)作為動(dòng)態(tài)可調(diào)參數(shù)，然后對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行迭代更新來(lái)消除建模誤差。

3)通過(guò)實(shí)驗(yàn)仿真分析，相對(duì)于傳統(tǒng)稀疏貝葉斯算法，本文算法在相同條件下能很好地改善離格誤差，具有更高的DOA 估計(jì)精度和空間分辨率，因而在實(shí)際應(yīng)用中具有更高的可靠性。

為了提高算法的實(shí)時(shí)性，將本文算法應(yīng)用于實(shí)數(shù)域是下一步的研究工作。