哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001

圖像作為人們獲取知識的主要載體，已經(jīng)得到了一定的發(fā)展。但是，在圖像去噪[1?2]這方面仍然有著需要改進(jìn)的地方，圖像去噪重構(gòu)精度不夠、時(shí)間開銷比較大[3]等都需要進(jìn)一步研究與學(xué)習(xí)。所以，本文主要針對這2 個(gè)方面進(jìn)行研究，通過結(jié)合壓縮感知[4?6]和交替方向乘子法（alternating direction method of multipliers,ADMM）[7?9]的相關(guān)知識，以期找到一個(gè)更好的解決方法，從而可以達(dá)到更好的圖像去噪效果。

1 一種基于熵函數(shù)的重構(gòu)算法

本節(jié)主要針對lp問題[10?14]的改進(jìn)。該問題廣泛應(yīng)用于信號處理、自適應(yīng)濾波、系統(tǒng)識別等眾多領(lǐng)域，其表達(dá)式為

顯然，式(1)中的函數(shù)F(x)是非光滑函數(shù)，本文采用極大熵函數(shù)進(jìn)行求解，假設(shè)：

又因?yàn)榇嬖谝韵玛P(guān)系：

所以，對比式(2)、(3)可以知道，非線性lp的求解問題可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)q的最優(yōu)化問題：

式中：0＜p＜1;q→∞。

式(4)中函數(shù)F(x,q)是關(guān)于x的可微函數(shù)，而且和二次連續(xù)可微函數(shù)fi(x)相比，擁有同階光滑性。

鑒于實(shí)驗(yàn)仿真的考慮，現(xiàn)將熵函數(shù)進(jìn)行變形：

則該熵函數(shù)的偏導(dǎo)為

基于上述理論，可以得到基于熵函數(shù)的重構(gòu)算法，算法模型為

所以，基于一種熵函數(shù)的重構(gòu)算法（reconstruction algorithm based on maximum entropy algorithm,MEA-RA）的求解步驟如下所示：

輸入壓縮后的信號y，觀測矩陣 Φ、λ、p。

輸出重構(gòu)目標(biāo)信號x。

初始化x(0)=ΦT(ΦΦT)?1y，，β=10?6。Υ

1)循環(huán)：t=1,2,···,Υ。

a)通過求解式(5)來更新x(t)，得到x(t+1)：

c)判斷是否滿足迭代終止條件：|x(t+1)?x(t)|＜ξ或者β=βΥ，其中 ξ是一個(gè)很小的正常數(shù)，Υ是使迭代滿足終止條件的最小值。若滿足，結(jié)束循環(huán)；若不滿足，返回1)；

2)得到稀疏目標(biāo)信號的解：x=x(t+1)。

為了更好地體現(xiàn)重構(gòu)效果，本文將上述方法與其他相關(guān)算法進(jìn)行對比，來充分說明本文所提算法的優(yōu)越性。評價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)是峰值信噪比(peak signal to noise ratio,PSNR)、結(jié)構(gòu)相似性(structural Similarity，SSIM)和所需時(shí)間t。具體分析與討論下面將會介紹。

首先，本節(jié)與MEA-RA 算法對比的是基于Lq最小化的穩(wěn)定稀疏逼近（stable sparse approximation based on Lq minimization,StSALq）算法[15]、復(fù)合三角函數(shù)零空間重加權(quán)近似l0范數(shù)(composite trigonometric function null-space reweighted approximatel0-norm，CTNRAL0)[16]、LP正則化最小二乘算法(lpregularized least squares algorithm，lp-RLS)[17]、近似消息傳遞算法(approximate message passing,AMP)[18]。本節(jié)以256×256的Peppers 圖像作為實(shí)驗(yàn)對象(如圖1 所示)，并且在不同壓縮比的情況下，對這些算法進(jìn)行仿真分析。實(shí)驗(yàn)中，取壓縮比(compression ratio,CR)分別為0.4、0.5、0.6，添加的噪聲是均值為零、方差為0.01 的高斯噪聲。

圖1 Peppers 原圖

去除噪聲恢復(fù)后的效果圖如圖2～4 所示，從圖2～4 中可以看出，當(dāng)CR 大于0.5 時(shí)，所有算法都可以很好地恢復(fù)出原始的圖片，尤其是MEA-RA算法的效果最好，但是其他4 種算法恢復(fù)的圖像仍然會有一些小的噪點(diǎn)。在CR 等于0.4 的時(shí)候，效果更加明顯。尤其是StSALq 算法，去除噪聲后恢復(fù)的圖像出現(xiàn)了一些線狀的噪聲，而且邊緣地方恢復(fù)的效果也不是很好。而MEA-RA 算法仍然可以恢復(fù)出很好的效果，并且沒有明顯的噪聲。這些分析都是從主觀上進(jìn)行的，下面將從客觀數(shù)據(jù)上對其進(jìn)行更充分的說明。

圖2 壓縮比CR=0.4，5 種重構(gòu)算法的恢復(fù)效果

圖3 壓縮比CR=0.5，5 種重構(gòu)算法的恢復(fù)效果

圖4 壓縮比CR=0.6，5 種重構(gòu)算法的恢復(fù)效果

其次，本文將從PSNR 和SSIM 2 方面進(jìn)行考慮，如表1 所示。MEA-RA 算法在PSNR 方面，值是最大的，而且比其他最好的算法在數(shù)值上提升了至少1 dB 以上，說明恢復(fù)的效果也是最好的。在SSIM方面，該算法也是最接近1 的，也就說明本文所提算法恢復(fù)后的圖像和原圖像基本上是一致的。另外4 種算法，相對來說沒有那么理想，尤其是在壓縮比比較低的時(shí)候，StSALq 算法恢復(fù)的PSNR值只有21.811 dB、CTNRAL0 算法只有24.989 dB，lp-RLS 算法為26.343 dB。所以，綜合來看，MEARA 算法具有相對其他4 種算法最好的效果。

表1 不同算法在不同CR 時(shí)恢復(fù)的圖像的PSNR、SSIM 值

最后，從運(yùn)算所需時(shí)間上進(jìn)行分析，如表2 所示。MEA-RA 算法的運(yùn)行時(shí)間是相對最短的，其他幾種算法的時(shí)間都比較長，尤其是StSALq 算法、CTNRAL0 算法和lp-RLS 算法，這3 種算法的運(yùn)行時(shí)間過長，在當(dāng)前的實(shí)際環(huán)境中很難使用。另外，從不同壓縮比所用的時(shí)間來看，每種算法所受的影響都不同，但總體趨勢，即相對時(shí)間的多少是不變的。所以，比較來看，MEA-RA 算法是相對最優(yōu)的。但是在時(shí)間上仍然有很大的改進(jìn)空間。

表2 不同算法在CR 不同時(shí)去噪恢復(fù)所需要的時(shí)間 s

綜上所述，在對比的幾種算法中，MEA-RA 算法的PSNR 和SSIM 值最高，在PSNR 值上至少提升了1 dB，并且運(yùn)行時(shí)間也是最短的，是這幾種算法中最好的。但是仍然存在需要改進(jìn)的地方，下節(jié)會對其進(jìn)行進(jìn)一步分析，在時(shí)間上進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化。

2 基于ADMM 改進(jìn)的去噪方法

由第1 節(jié)可以知道，在比較的幾種重構(gòu)算法中，MEA-RA 算法的重構(gòu)效果最好，并且時(shí)間也是相對比較少的。為了實(shí)現(xiàn)更快更好的去噪重構(gòu)效果，本文將該算法與ADMM 算法[19?20]進(jìn)行結(jié)合，提出了一種更快而且圖像去噪重構(gòu)效果更好的算法。

1）設(shè)計(jì)運(yùn)營架構(gòu)，即從政府、企業(yè)以及行業(yè)三方著手，調(diào)查其涉及的相關(guān)業(yè)務(wù)，在構(gòu)建運(yùn)營架構(gòu)之后協(xié)調(diào)三方的關(guān)系，在確保其具有良好的交互關(guān)系后，便可以按照相互協(xié)作、管理和投資等關(guān)系進(jìn)行城市運(yùn)營活動；

所提算法是一種基于ADMM 改進(jìn)的重構(gòu)算法。主要是將MEA-RA 算法和ADMM 算法進(jìn)行結(jié)合，利用ADMM 算法實(shí)現(xiàn)MEA-RA，所以提出一種速度更快的新算法——基于ADMM 改進(jìn)的MEA-RA 算法（improved MEA-RA algorithm based on ADMM,MEA-RA-ADMM）。

該算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

輸入壓縮后的信號y、Φ、λ、p、q。

輸出重構(gòu)目標(biāo)信號x。

初始化x(0)=ΦT(ΦΦT)?1y，v(0)=x(0)，u(0)=0，β0=/log2，β==β0，βΥ=10?6。

1)外部循環(huán)：t=1,2,···,Υ。

a)內(nèi)部循環(huán)：k=0,1,···,iter，iter 為迭代次數(shù)；

u(k+1)=u(k)?(x(k+1)?v(k+1))

b)將a)得到的結(jié)果賦值給x(t)，然后通過求解式(6)來更新x(t)，得到x(t+1)：

d)判斷是否滿足迭代終止條件：|x(t+1)?x(t)|＜ξ或者β=βΥ，其中ξ是一個(gè)很小的正常數(shù)。若滿足，結(jié)束循環(huán)；若不滿足，返回1)；

2)得到稀疏目標(biāo)信號的解：x=x(t+1)。

2.1 參數(shù)的選擇

本文由于涉及到lp范數(shù)，在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)中將對p進(jìn)行精確取值，為了實(shí)驗(yàn)可以達(dá)到最好的效果，下面將對不同的p值進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并計(jì)算不同p的取值情況下歸一化均方誤差（normalized mean square error,NMSE）的數(shù)值。NMSE 值越小說明圖像去除噪聲后恢復(fù)效果越好。在這里，將二者的曲線繪制成二維曲線圖，如圖5 所示。從圖5 中可以知道，在p的取值為0.1～0.8 時(shí)，NMSE 逐漸減少，從0.8～1 呈現(xiàn)逐漸增大的趨勢，在p的取值為0.8 時(shí)取得最小值。這也說明在p為0.8 時(shí)，本文算法取得最好的效果。所以，在接下來的實(shí)驗(yàn)中設(shè)置常數(shù)p=0.8。

圖5 范數(shù) p 對算法的影響

本算法首先調(diào)節(jié)熵函數(shù)替換lp范數(shù)，之后為了達(dá)到更好的去噪效果，引入正則化機(jī)制，即添加正則化常數(shù)。同樣為了達(dá)到更好的效果，本文對不同的 λ值進(jìn)行取值，并比較不同 λ值情況下NMSE 的變化情況，從而可以更好地把控參數(shù)對本文算法的影響。通過實(shí)驗(yàn)，并將結(jié)果繪制成如圖6 所示的二維曲線圖。從實(shí)驗(yàn)中可以知道，在λ取值為10?8～10?2時(shí)，曲線比較平穩(wěn)；在 λ取值大于10?2時(shí)，曲線出現(xiàn)逐漸增長的趨勢，即NMSE 的值逐漸變大?；谶@種情況，本文取 λ=10?5。在接下來的實(shí)驗(yàn)中設(shè)置 λ為10?5。

圖6 參數(shù) λ對算法的影響

2.2 實(shí)驗(yàn)仿真分析

本文以下面2 幅圖像作為實(shí)驗(yàn)對象，如圖7 所示。主要考慮高斯噪聲對信號的影響。與MEA-RAADMM 對比的算法選擇MEA-RA 和基于ADMM的BM3D 算法2 種。選擇的一個(gè)依據(jù)是改進(jìn)之前，通過實(shí)驗(yàn)可以知道這種改進(jìn)方式是否有用、是否可以提升算法的性能；選擇的另一個(gè)依據(jù)是該算法是典型的算法，BM3D 是去噪效果很好的一種去噪算法，將其應(yīng)用到ADMM，更有一定的說服力。所以，選擇了這2 種算法。接下來，將添加不同噪聲強(qiáng)度的高斯信號，并且在不同壓縮比下分別對這3 種算法進(jìn)行對比，并分析實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。

圖7 Lenna 和Parrots 原圖

首先以Lenna 圖為目標(biāo)圖，如圖8～11 所示為3 種算法在壓縮比為0.6、添加噪聲強(qiáng)度分別為0.07、0.09、0.10、0.20 等4 種情況下去噪的恢復(fù)效果圖以及殘差圖。從圖8～11 中可以看出，MEARA-ADMM 性能最好，恢復(fù)的圖像最接近原始圖像。而其他2 種算法都存在一些噪聲，尤其是帽子和頭發(fā)部分。另外，隨著噪聲的增加，去除噪聲后恢復(fù)的效果也在逐漸變差，但是MEA-RAADMM 仍然可以恢復(fù)很好的效果。

圖8 噪聲強(qiáng)度為0.07、壓縮比為0.6，3 種算法的去噪恢復(fù)圖以及殘差圖

圖9 噪聲強(qiáng)度為0.09、壓縮比為0.6，3 種算法的去噪恢復(fù)圖以及殘差圖

圖10 噪聲強(qiáng)度為0.10、壓縮比為0.6，3 種算法的去噪恢復(fù)圖以及殘差圖

圖11 噪聲強(qiáng)度為0.20、壓縮比為0.6，3 種算法的去噪恢復(fù)圖以及殘差圖

圖8～11 中上方的圖為3 種算法的去噪恢復(fù)圖，下方的圖為殘差圖。上面僅僅是主觀評價(jià)，為了使結(jié)果更具有說服力，本文從殘差值、峰值信噪比(PSNR)、歸一化均方誤差(NMSE)和時(shí)間上分別進(jìn)行比較，其中NMSE 和SSIM 均是對原圖與恢復(fù)效果圖誤差的評估。

首先，從殘差上進(jìn)行分析和比較3 種重構(gòu)算法去除噪聲后的恢復(fù)效果。如圖8～11 和表3 所示，本文所提算法是三者中殘差最小的，從殘差圖中基本看不到噪點(diǎn)。另外2 種算法噪點(diǎn)相對比較多，也可以說明本文所提算法是最優(yōu)的。

其次，從PSNR 和NMSE 2 方面進(jìn)行分析和對比。從表3、4 可以知道，本文所提算法MEA-RAADMM 的PSNR 是最大的，并且NMSE 是最小的。從數(shù)值上看，本文所提算法在PSNR 上比單純的MEA-RA 算法提升了1.3 dB，比基于ADMM的BM3D 算法提升更多；在NMSE 上比單純的MEA算法降低了10%。所以本文所提MEA-RA-ADMM是一種恢復(fù)效果很好的重構(gòu)算法。

表3 3 種算法在不同壓縮比(CR)、不同噪聲強(qiáng)度(q)下的殘差值

表4 3 種算法在不同壓縮比(CR)、不同噪聲強(qiáng)度(q)下的PSNR、NMSE

最后，從時(shí)間上進(jìn)行比較。Lenna 圖和Parrots 圖在不同壓縮比、不同噪聲強(qiáng)度下的運(yùn)行時(shí)間如表5所示。相對MEA-RA 算法，本文所提MEA-RAADMM 算法在噪聲強(qiáng)度小于0.2 時(shí)運(yùn)行時(shí)間會有提升，這說明結(jié)合ADMM 算法具有減少時(shí)間消耗的作用。雖然相對于ADMM 算法，時(shí)間消耗大一些，但是若達(dá)到相同的去噪效果，時(shí)間也是最低的。而且在之前的分析可以看出，相對于MEARA 算法，本文算法不但在PSNR 上有一定的提升，而且也縮短了時(shí)間上的開銷，進(jìn)一步提升了該算法的圖像去噪重構(gòu)的效果。

表5 3 種算法在不同壓縮比(CR)、不同噪聲強(qiáng)度(q)下的運(yùn)行時(shí)間t

3 結(jié)論

本文針對圖像去噪的恢復(fù)效果較差以及恢復(fù)時(shí)間較長的問題，提出了解決方法。

1)首先根據(jù)熵函數(shù)提出了一種新的重構(gòu)算法，即基于熵函數(shù)的重構(gòu)算法——MEA-RA 算法。

2)然后進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對比，對比的算法也都是與此相關(guān)的一些算法，經(jīng)過仿真結(jié)果可以知道MEARA 算法具有很好的性能，而且時(shí)間復(fù)雜度相對也比較低。

3)為了進(jìn)一步降低時(shí)間開銷，本文將MEA-RA算法與ADMM 算法進(jìn)行結(jié)合，提出了一種新的基于ADMM 的圖像去噪算法——MEA-RA-ADMM算法。

4)對新提算法進(jìn)行仿真分析，結(jié)果說明MEARA-ADMM 是一個(gè)很好的算法，在PSNR 值上有至少1 dB的提升，而且在時(shí)間上，當(dāng)噪聲強(qiáng)度小于0.2 的時(shí)候，也得到了一定的提升。本文所提算法具有一定的工程實(shí)踐價(jià)值。