童明娜，盧朝輝，趙衍剛,3，余志武

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075；2.北京工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，北京 100022；3.神奈川大學(xué) 工學(xué)部，神奈川 橫濱 221-8686)

高速鐵路在交通運(yùn)輸體系中扮演的角色日益突出，極大地提升了交通運(yùn)輸能力[1]。無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)由于其塑性變形小、耐久性好、維修工作量小等優(yōu)點(diǎn)成為了高速鐵路軌道結(jié)構(gòu)的主要選擇[2]。CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道作為我國(guó)高速鐵路的主要軌道結(jié)構(gòu)形式之一，已成功應(yīng)用于京津城際、京滬、石武、杭長(zhǎng)、滬杭、杭甬、合蚌等多條高速鐵路[3]。

我國(guó)現(xiàn)行的TB 10621—2014《高速鐵路設(shè)計(jì)規(guī)范》[4]要求其主體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)使用年限不少于60年。然而，在列車荷載與環(huán)境因素(如溫度等)的共同作用下，CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)由于內(nèi)部材料的疲勞損傷不斷累積而發(fā)生病害[5]，隨著損傷演化的進(jìn)一步發(fā)展，可能導(dǎo)致疲勞失效而不能滿足設(shè)計(jì)要求。鑒于此，一些學(xué)者針對(duì)CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道疲勞性能開展了研究：文獻(xiàn)[6]基于調(diào)研結(jié)果根據(jù)雨流計(jì)數(shù)法基本原理確定了列車豎向荷載的等幅疲勞作用模型，建立了相關(guān)材料的疲勞本構(gòu)關(guān)系，并采用等效靜力分析方法對(duì)路基上CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)在恒載、溫度和列車往復(fù)荷載作用下的疲勞力學(xué)性能及損傷發(fā)展進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[7-10]分別對(duì)服役期間組合荷載作用下橋上CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道混凝土及鋼筋進(jìn)行研究，通過(guò)試驗(yàn)確定適用于橋上CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道混凝土疲勞壽命預(yù)測(cè)模型的混凝土S-N曲線和鋼筋疲勞壽命預(yù)測(cè)模型的鋼筋S-N曲線；文獻(xiàn)[11]通過(guò)數(shù)值方法獲得CRTSⅡ型軌道板各軌枕支點(diǎn)載荷和動(dòng)應(yīng)力，結(jié)合混凝土S-N疲勞曲線，對(duì)CRTSⅡ型軌道板的使用壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，確定其薄弱部位。

以上均是在確定性參數(shù)下對(duì)CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道的疲勞性能開展的相關(guān)研究工作。然而，軌道板結(jié)構(gòu)在長(zhǎng)期服役環(huán)境下，不僅列車荷載、溫度荷載及基礎(chǔ)變形等存在周期性和隨機(jī)性，其材料性能、幾何參數(shù)等也存在隨機(jī)性和變異性，因而從隨機(jī)不確定性的角度對(duì)CRTSⅡ型軌道板疲勞性能開展研究更符合實(shí)際運(yùn)營(yíng)情況。張國(guó)虎[12]引入可靠度理論對(duì)CRTSⅡ型軌道板在考慮列車荷載作用下的疲勞可靠性進(jìn)行了研究，該研究中僅對(duì)軌道板混凝土受壓疲勞壓潰這種失效模式建立了相應(yīng)的疲勞可靠性功能函數(shù)，并利用蒙特卡洛方法對(duì)軌道板疲勞可靠性進(jìn)行了評(píng)估。歐祖敏[5]考慮列車荷載和溫度梯度的作用，利用JC驗(yàn)算點(diǎn)法，對(duì)一般條件下及自然環(huán)境作用下CRTSⅡ型軌道板及底座板進(jìn)行疲勞可靠度分析。引入可靠性理論研究CRTSⅡ型軌道板的疲勞壽命問題，也符合我國(guó)鐵路工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)由容許應(yīng)力法向極限狀態(tài)法轉(zhuǎn)軌的大趨勢(shì)。

然而，服役期間CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道的疲勞累積損傷以及其所受列車荷載的作用次數(shù)等均隨時(shí)間變化，因此CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道的疲勞可靠度本質(zhì)上是一個(gè)時(shí)變可靠度問題。國(guó)內(nèi)外學(xué)者們對(duì)時(shí)變可靠度分析問題進(jìn)行了大量研究，其中文獻(xiàn)[13]提出了可同時(shí)考慮抗力和荷載時(shí)變隨機(jī)性的時(shí)變可靠度分析方法，該方法將結(jié)構(gòu)在使用壽命內(nèi)活荷載的發(fā)生視為平穩(wěn)泊松點(diǎn)過(guò)程。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[14]提出了一種改進(jìn)的時(shí)變可靠度方法，可考慮非平穩(wěn)荷載過(guò)程。這些方法在結(jié)構(gòu)時(shí)變可靠度評(píng)估中得到了廣泛的應(yīng)用。但這些方法對(duì)于高維、隱式功能函數(shù)的時(shí)變可靠度分析顯得十分困難。最近，文獻(xiàn)[15]提出了一個(gè)時(shí)變可靠度分析的快速積分算法，有效解決了多維、隱式功能函數(shù)對(duì)應(yīng)的時(shí)變可靠度分析問題，為工程結(jié)構(gòu)時(shí)變可靠度評(píng)估提供了有力分析工具。

鑒于此，本文在已有無(wú)砟軌道板疲勞研究成果的基礎(chǔ)上，建立CRTSⅡ型無(wú)砟軌道板疲勞時(shí)變可靠度分析功能函數(shù)，進(jìn)而采用文獻(xiàn)[15]提出的時(shí)變可靠度分析方法并結(jié)合結(jié)構(gòu)有限元分析技術(shù)，開展CRTSⅡ型軌道板疲勞時(shí)變可靠度研究。

1 CRTSⅡ型無(wú)砟軌道板疲勞時(shí)變可靠度分析的功能函數(shù)

文獻(xiàn)[11]表明，在列車荷載作用下，軌道板容易發(fā)生混凝土材料疲勞破壞。根據(jù)無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)受力特點(diǎn)，軌道板的主要失效模式為混凝土彎拉開裂和受壓區(qū)混凝土疲勞壓潰，因此本文主要對(duì)混凝土受拉纖維邊緣處及受壓纖維邊緣處進(jìn)行分析。

Miner疲勞累積損傷理論[16]認(rèn)為：在循環(huán)荷載作用下結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)材料內(nèi)部產(chǎn)生的疲勞損傷是可以累加的，當(dāng)這種損傷累積到一定程度時(shí)，結(jié)構(gòu)就會(huì)發(fā)生疲勞破壞。根據(jù)這一理論，軌道板在承受N0=Net(Ne為每年經(jīng)歷的脈沖疲勞應(yīng)力作用次數(shù)，t為結(jié)構(gòu)服役時(shí)間) 次脈沖疲勞應(yīng)力時(shí)混凝土受拉/壓層在t年內(nèi)各級(jí)變幅應(yīng)力下的疲勞累積損傷值為D(t)，當(dāng)材料的累積損傷D(t)>1時(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)生疲勞破壞，此時(shí)的疲勞失效概率為

Pf=P[D(t)>1]

( 1 )

式中：D(t)為隨機(jī)變量。

令混凝土拉/壓層1年內(nèi)各級(jí)變幅應(yīng)力產(chǎn)生的總損傷為

( 2 )

設(shè)混凝土材料在第i級(jí)應(yīng)力水平σi作用下重復(fù)ni次，令C=Ni(σi-σmin)m[5]，則式( 2 )可表示為

( 3 )

式中：σmin為受拉/受壓混凝土所受重復(fù)應(yīng)力的下限值。

記t年內(nèi)軌道板混凝土材料在Ne(N0=Net)次等幅重復(fù)應(yīng)力作用下的疲勞強(qiáng)度為σr(N0)，根據(jù)混凝土材料的S-N曲線關(guān)系，有N[σr(N0)-σmin]m=C,則

( 4 )

( 5 )

式中：E(Δσi)m為Δσi的m階原點(diǎn)矩；σr(N0)為等幅重復(fù)應(yīng)力作用下混凝土抗拉/抗壓疲勞強(qiáng)度；m為混凝土材料常數(shù)，文獻(xiàn)[5]指出，對(duì)混凝土彎拉疲勞可取m=19.38，受壓疲勞可取m=16.90。

將式( 5 )代入式( 1 )中可得

( 6 )

在方程中加入計(jì)算模型不確定變量γ，則式( 6 )可表示為

( 7 )

對(duì)應(yīng)的疲勞極限狀態(tài)方程為

G(X,Y,t)=σr(N0)-σe

( 8 )

1.1 等幅重復(fù)應(yīng)力作用下混凝土疲勞強(qiáng)度計(jì)算

結(jié)構(gòu)材料疲勞強(qiáng)度σr(N)與循壞次數(shù)N有關(guān)，同時(shí)會(huì)受到循環(huán)荷載中的最大應(yīng)力σmax、最小應(yīng)力(應(yīng)力下限σmin)的影響，這種關(guān)系可以在結(jié)構(gòu)材料的疲勞特性S-N曲線中體現(xiàn)出來(lái)。

若能確定混凝土的S-N曲線，σr(N)的值即可確定。目前，國(guó)外對(duì)混凝土S-N曲線做過(guò)較系統(tǒng)研究并有較大影響的是文獻(xiàn)[17]，國(guó)內(nèi)對(duì)混凝土的S-N曲線做過(guò)較系統(tǒng)研究并有較大影響的是文獻(xiàn)[18-19]。文獻(xiàn)[7]提出，修正的宋玉普疲勞方程所得結(jié)果偏保守，在實(shí)際工程使用中偏安全，因此本文選擇修正的宋玉普模型。

混凝土受拉S-N曲線[7]為

lgN0=16.51-16.60Smax+5.12Smin

( 9 )

式中：Smax=σmax/ftu；Smin=σmin/ftu；ftu為靜載作用下混凝土的抗拉強(qiáng)度。

混凝土受壓S-N曲線[19]為

(10)

將式( 9 )代入式( 8 )，可將軌道板混凝土抗拉疲勞極限狀態(tài)方程最終表示為

G(X,Y,t)=0.994 6ftu+0.308 4σtmin-

0.060 2ftulg(Net)-σet

(11)

式中：σet為軌道板混凝土受拉邊緣纖維等幅等效重復(fù)拉應(yīng)力。

同理，將式(10)代入式( 8 )，則軌道板混凝土抗壓疲勞極限狀態(tài)方程可表示為

G(X,Y,t)=0.988 5fcu-0.061 8fculg(Net)-σec

(12)

式中：σec為軌道板混凝土受壓邊緣纖維等幅等效重復(fù)壓應(yīng)力。

1.2 混凝土疲勞重復(fù)應(yīng)力的等幅等效應(yīng)力變程計(jì)算

參照GB 50010—2015《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[20]，在疲勞荷載作用下，混凝土的拉應(yīng)力及壓應(yīng)力幅值可分別按下式進(jìn)行計(jì)算

(13)

(14)

式中：x0為換算截面受壓區(qū)高度；h為截面高度；I0為截面慣性矩；Mmax為疲勞分析時(shí)同一截面上相應(yīng)荷載組合下產(chǎn)生的最大彎矩，由于軌道板疲勞主要是由列車行進(jìn)過(guò)程中產(chǎn)生的垂向荷載及溫度作用引起的，所以本文主要考慮列車荷載和溫度梯度荷載引起的彎矩。

根據(jù)式(13)和式(14)得到疲勞分析部位混凝土的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力譜，求得疲勞分析部位混凝土重復(fù)應(yīng)力的等幅等效應(yīng)力變程為

(15)

(16)

式中：Δσet和Δσec為軌道板疲勞分析部位的等效等幅重復(fù)應(yīng)力變程；σet和σec為軌道板疲勞分析部位的等效等幅重復(fù)應(yīng)力；Δσti和Δσci為軌道板疲勞分析部位混凝土受拉及受壓的第i級(jí)重復(fù)應(yīng)力變程；σtmin和σcmin分別為軌道板疲勞分析部位受拉及受壓邊緣混凝土材料承受的重復(fù)應(yīng)力下限，軌道板含預(yù)應(yīng)力方向(橫向)取預(yù)應(yīng)力筋的預(yù)加應(yīng)力，不含預(yù)應(yīng)力軌道板方向(縱向)取為0。

1.3 列車荷載和溫度梯度荷載引起彎矩的計(jì)算

在分析無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)受力時(shí)，通常主要考慮豎向列車荷載及正溫度梯度荷載作用效應(yīng)。目前對(duì)列車豎向荷載作用下板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)的受力分析可采用疊合梁、梁-板和梁-體三種理論模型。無(wú)砟軌道各層結(jié)構(gòu)在長(zhǎng)度和寬度方向上的尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于厚度方向的尺寸，列車荷載作用下各結(jié)構(gòu)層撓度也遠(yuǎn)小于其厚度，因此，為了更好地模擬其變形，本文采用梁-板有限元模型進(jìn)行列車荷載作用效應(yīng)分析。圖1為無(wú)砟軌道梁板理論的計(jì)算模型，模型中扣件采用三個(gè)方向的彈簧模擬；CA砂漿層及下部基礎(chǔ)的豎向支承作用采用連續(xù)均勻的線性彈簧模擬；用Ansys軟件分析列車荷載引起的彎矩Mv時(shí)，把列車豎向輪軌力P、軌道板彈性模量Eg、扣件剛度Ek分別當(dāng)作隨機(jī)變量。有限元分析模型所用到的參數(shù)如表1所示。

圖1 無(wú)砟軌道梁-板理論的計(jì)算模型

軌道結(jié)構(gòu)在運(yùn)營(yíng)期內(nèi)受到溫度梯度荷載作用引起的彎矩為[21]

Mt=KtTt

(17)

式中：Tt為溫度梯度，為求最大彎矩，本文將Tt取為正溫度梯度，服從均值為45、方差為13.5的威布爾分布；Kt為溫度彎矩系數(shù)，服從均值為162.5、方差為0.007 56的正態(tài)分布。

根據(jù)軌道板截面彎矩效應(yīng)組合[20]，將列車荷載引起的彎矩與溫度梯度荷載引起的彎矩進(jìn)行線性疊加，即Mmax=Mv+Mt，可得到同一截面上相應(yīng)荷載組合下產(chǎn)生的最大彎矩。將最大彎矩值代入式(13)和式(14)，可求出混凝土的拉應(yīng)力及壓應(yīng)力幅值，根據(jù)式(15)和式(16)，可以得到等效等幅重復(fù)應(yīng)力變程Δσet和Δσec，加上軌道板疲勞分析部位受拉/壓邊緣混凝土材料承受的重復(fù)應(yīng)力下限σcmin即可得到等效等幅重復(fù)應(yīng)力σet和σec。

表1 梁-板有限元模型各參數(shù)取值

2 時(shí)變可靠度分析的快速積分算法

文獻(xiàn)[15]提出了一種計(jì)算時(shí)變失效概率的快速積分算法，該方法采用Gauss-Legendre求積法和基于一維或二維減維積分的點(diǎn)估計(jì)法，對(duì)復(fù)雜、多維、隱式功能函數(shù)的時(shí)變失效概率積分進(jìn)行了估計(jì)。該方法包括三個(gè)步驟：

Step1通過(guò)Gauss-Legendre求積公式，將時(shí)域積分近似為積分域中指定時(shí)刻對(duì)應(yīng)函數(shù)值的加權(quán)和。

Step2采用點(diǎn)估計(jì)法對(duì)隨機(jī)變量空間對(duì)應(yīng)的積分進(jìn)行估計(jì)，對(duì)于多維隨機(jī)變量，采用一維或二維減維積分來(lái)減少計(jì)算量。

Step3根據(jù)Step1、Step2，可將時(shí)變失效概率的計(jì)算轉(zhuǎn)化為時(shí)不變失效概率的計(jì)算，從而可采用既有可靠度計(jì)算方法來(lái)求解。

2.1 時(shí)變失效概率的計(jì)算公式

令X、Y(t)分別表示與時(shí)間無(wú)關(guān)和與時(shí)間有關(guān)的隨機(jī)變量組成的向量，結(jié)構(gòu)的一般時(shí)變性能函數(shù)可以表示為G[X,Y(t),t]，其中G[X,Y(t),t] > 0表示安全域。則(0,T]段內(nèi)的時(shí)變失效概率可表示為[22]

(18)

式中：ΩΧ為X的范圍；x為X的樣本；fX(x)為X的聯(lián)合概率密度函數(shù)；PY|Χ(x,T)為在(0,T]時(shí)間段內(nèi)生存的概率，取決于隨機(jī)向量X=x。

采用泊松隨機(jī)過(guò)程描述荷載效應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程，則PY|Χ(x,T)可以被表示為

(19)

式中：λY(t)為隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量組合，如活荷載組合的平均發(fā)生率；PY|Χ,t(x,t)為t時(shí)刻在x條件下的失效概率，可以表示為

PY|Χ,t(x,t)=Prob{G[x,Y(t),t]≤0}=

(20)

式中：fY(y,t)表示Y(t)在t時(shí)刻的聯(lián)合概率密度。若x和t被確定下來(lái)，則式(19)中的PY|Χ,t(x,t)可用傳統(tǒng)可靠度計(jì)算方法來(lái)求得。

根據(jù)式(18)～式(20)，(0,T]時(shí)間段內(nèi)的時(shí)變失效概率可以表示為

(21)

2.2 分解關(guān)于時(shí)域積分的Gauss-Legendre求積法

令t=T·τ/2+T/2，τ∈(-1,1]，則式(19)可寫為

(22)

根據(jù)Gauss-Legendre求積公式，式(22)可表示為

(23)

式中:τk為橫坐標(biāo)；wk為相應(yīng)的權(quán)重。當(dāng)坐標(biāo)個(gè)數(shù)mT為3、4、5時(shí)，τk和wk的取值如表2所示。

表2 橫坐標(biāo)τk及相應(yīng)的權(quán)重wk值

2.3 分解隨機(jī)變量所對(duì)應(yīng)積分的點(diǎn)估計(jì)方法

將式(23)代入式(18)中，可得(0,T]段內(nèi)的時(shí)變失效概率為[15]

1-E[PY|Χ(Χ,T)]

(24)

式中：E(·)表示期望；PY|Χ(Χ,T)為

(25)

PY|Χ(Χ,T)的均值可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間下的點(diǎn)估計(jì)方法[23]得到。

根據(jù)逆高斯轉(zhuǎn)換[24-26]，PY|Χ(Χ,T)可表示為

(26)

式中：UX為nX維獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量；nX為隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)。

由式(26)可以看出，PY|Χ(Χ,T)是一個(gè)關(guān)于UX的函數(shù)，為簡(jiǎn)潔起見用h(UX)來(lái)表示。

為了提高計(jì)算效率，可用一維減維方法對(duì)計(jì)算過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)化[23]，則h(UX)可計(jì)算為

(27)

式中：hi為一維減維函數(shù)；h0為一個(gè)常數(shù)。hi和h0可分別計(jì)算為

hi=h(0,…,Ui,…,0)=hi(Ui)

(28a)

h0=h(0,…,0,…,0)

(28b)

式中：hi(Ui)為一維減維函數(shù)，i=1,2,…,nX。

PY|Χ(Χ,T)的均值可以用下式進(jìn)行計(jì)算

E[PY|Χ(Χ,T)]=

h0(0,…,0,…,0)

(29)

式中：μi為hi(·)的均值。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的點(diǎn)估計(jì)方法[23]，μi可計(jì)算為

(30)

式中：ui和pi分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的估計(jì)點(diǎn)和相應(yīng)的權(quán)重；mX為估計(jì)點(diǎn)的數(shù)量。當(dāng)mX=7時(shí)，估計(jì)點(diǎn)和其相應(yīng)權(quán)重的數(shù)值如表3所示。

表3 估計(jì)點(diǎn)數(shù)量mX為7時(shí)估計(jì)點(diǎn)ui及相應(yīng)的權(quán)重pi值

根據(jù)上述方法，可將時(shí)變失效概率的計(jì)算轉(zhuǎn)化為時(shí)不變失效概率PY|Χ,t[T-1(UΧ),t]的求解問題，此時(shí)可采用既有可靠度計(jì)算方法如MCS、FORM和SORM等[27-29]求出PY|Χ,t[T-1(UΧ),t]的值，然后將所求得的時(shí)不變失效概率PY|Χ,t[T-1(UΧ),t]代入式(30)、式(29)和式(24)中，即可求得(0,T]段內(nèi)的時(shí)變失效概率。

3 CRTSⅡ型無(wú)砟軌道板疲勞時(shí)變可靠度分析

本文以京滬高速鐵路為研究背景，其繁忙路段每天通行約240趟車，按照京滬高速鐵路上的主要車型CRH380進(jìn)行分析，將列車垂向荷載簡(jiǎn)化為等幅疲勞荷載，一節(jié)車廂通過(guò)可認(rèn)為重復(fù)加卸載4次。根據(jù)調(diào)研，CRH380 型高速列車有16 輛編組和8 輛編組兩種，兩種列車班次比例約為1∶3，確定每一年中軌道板的疲勞作用次數(shù)Ne=(8 ×180 +16 ×60) ×4 ×365=3 504 000次/a，取T=60 a。

3.1 功能函數(shù)及基本隨機(jī)變量

以軌道板混凝土縱向受壓疲勞為例進(jìn)行分析，根據(jù)式(12)，并結(jié)合本算例的研究背景，可得到軌道板混凝土縱向受壓疲勞的功能函數(shù)

G(X,Y,t)=0.988 5fcu-0.061 8fculg(3.504×106t)-σec

(31)

把G(X,Y,t)中隨時(shí)間變化的參數(shù)fcu假定為時(shí)變隨機(jī)變量y；不隨時(shí)間變化的參數(shù)P、Eg、Ek、Kt、Tt和γ假定為時(shí)不變隨機(jī)變量x1、x2、x3、x4、x5和x6，即n=7。隨機(jī)變量分布類型取值如表4所示。

表4 隨機(jī)變量分布特征

根據(jù)表4隨機(jī)變量的分布特征，采用表3的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的7點(diǎn)估計(jì)值經(jīng)過(guò)Rosenblatt逆正態(tài)轉(zhuǎn)換后，可得到相應(yīng)隨機(jī)變量原始空間的7點(diǎn)估計(jì)值，結(jié)果列于表5中。

表5 隨機(jī)變量7點(diǎn)逆正態(tài)轉(zhuǎn)換值

為了求解功能函數(shù)中的等效等幅疲勞應(yīng)力，即式(12)中的σec，首先采用點(diǎn)估計(jì)[23]結(jié)合有限元的方法求解列車荷載引起的彎矩Mv，然后根據(jù)截面彎矩效應(yīng)組合的方法[20]將列車荷載引起的彎矩與溫度梯度荷載作用引起的彎矩進(jìn)行線性疊加求出最大截面彎矩Mmax，代入式(14)及式(16)可得到原點(diǎn)矩[E(Δσci)16.9]1/16.9的值，進(jìn)而得到等效等幅疲勞應(yīng)力變程Δσec，最后加上軌道板疲勞分析部位受壓邊緣混凝土材料承受的重復(fù)應(yīng)力下限σcmin即可得到σec。

為方便計(jì)算，采用點(diǎn)估計(jì)[23]結(jié)合有限元的方法進(jìn)行分析，在Ansys軟件中，將列車荷載x1取表5中7點(diǎn)估計(jì)值，x2、x3取表4中均值，得到Mv(x1,μ2,μ3)的7個(gè)值為：1 504.77、2 218.92、2 844.56、3 440、4 035.74、4 661.39、5 375.54 N·m；同理分別將x2、x3取7點(diǎn)估計(jì)值，其余點(diǎn)取均值，可以得到Mv的7個(gè)值，分別如表6所示。

表6 Mv (x1, x2, x3)的7點(diǎn)有限元解 N·m

當(dāng)x1、x2、x3全部取表4中均值時(shí)，Mv(μ1,μ2,μ3)=3 440 N·m。

基于點(diǎn)估計(jì)一維減維方法[23]，可將式(14)寫成

(32)

式中：

Gμ=G(μ1,μ2,μ3,μ4,μ5)=

G1=G(x1,μ2,μ3,μ4,μ5)=

G2=G(μ1,x2,μ3,μ4,μ5)=

G3=G(μ1,μ2,x3,μ4,μ5)=

G4=G(μ1,μ2,μ3,x4,μ5)=

G5=G(μ1,μ2,μ3,μ4,x5)=

結(jié)合式(17)，將表6中Mv(x1,x2,x3)的7點(diǎn)有限元解及表5中x4和x5的7點(diǎn)估計(jì)值代入式(32a)～式(32g)，可求得縱向受壓邊緣纖維處混凝土材料標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力譜σc的前四階矩：μ=3.132 4，σ=0.805 2，α3=0.002 0，α4=3.013。再根據(jù)式(16)，可求得原點(diǎn)矩[E(Δσci)16.9]1/16.9=5.674 0。同理，可計(jì)算得出混凝土受拉時(shí)式(15)中原點(diǎn)矩[E(Δσti)19.38]1/19.38=2.904 4。

3.2 軌道板混凝土?xí)r變可靠度的計(jì)算結(jié)果分析

根據(jù)式(18)和式(19)，(0,60]a時(shí)間段內(nèi)的時(shí)變失效概率可寫為

fX(x)dx

(33)

根據(jù)式(24)和Gauss-Legendre求積的四個(gè)橫坐標(biāo)估計(jì)值，式(33)可表示為

fX(x)dx=1-E[PY|X(X,60)]

(34)

由表2可得，tk和wk的值分別為：t1=4.165 911，w1=0.347 854 8；t2=19.800 57，w2=0.652 145 2；t3=40.199 43，w3=0.652 145 2；t4=55.834 089，w4=0.347 854 8。

根據(jù)Rosenblatt逆正態(tài)變換，PY|X(X,60)可以表示為

PY|X(X,60)=

h(UX)

(35)

運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的七點(diǎn)估計(jì)方法，PY|X(X,60)可用下式進(jìn)行計(jì)算

E[PY|X(X,60)]=E[h(UX)]=

(36)

式中：ui和pi的值如表3所示。

失效概率P[T-1(ui),tk]可用FORM進(jìn)行計(jì)算，將其結(jié)果代入式(36)和式(34)中，可以求得時(shí)變失效概率Pf(60)=1.030 8×10-7，對(duì)應(yīng)的可靠指標(biāo)β=5.193 7。運(yùn)用蒙特卡洛法(400萬(wàn)次)求得的可靠指標(biāo)為5.201 3，兩者結(jié)果非常接近，而本方法僅需計(jì)算28次，表明本文方法具備高效與準(zhǔn)確的特點(diǎn)。

將T取不同的值，利用該方法可得到(0,T]時(shí)間段內(nèi)的時(shí)變可靠度，見圖2(a)所示。

同理，重復(fù)上述步驟即可求解軌道板混凝土材料的縱向受拉及橫向受拉、壓疲勞時(shí)變可靠度，同時(shí)利用蒙特卡洛方法及時(shí)點(diǎn)可靠度方法[30]進(jìn)行對(duì)比，將計(jì)算結(jié)果整理繪制成圖2。

從圖2可以看出：傳統(tǒng)的時(shí)點(diǎn)可靠度方法的計(jì)算結(jié)果與蒙特卡洛結(jié)果有較大誤差，而本文采用的時(shí)變可靠度方法的計(jì)算結(jié)果與蒙特卡洛方法的輸出結(jié)果幾乎一致，這表明本文采用的時(shí)變可靠度方法更適用于軌道板疲勞可靠度的計(jì)算。

圖2 軌道板混凝土疲勞時(shí)變可靠度變化圖

同時(shí)，從圖2得到軌道板疲勞時(shí)變可靠度變化規(guī)律：CRTSⅡ型軌道板軌下截面處橫向及縱向受壓受彎壓邊緣纖維處混凝土彎壓疲勞壓潰失效模式對(duì)應(yīng)的疲勞可靠指標(biāo)均大于5，相應(yīng)失效概率均小于3×10-7，基本不會(huì)發(fā)生疲勞開裂，尤其是橫向，疲勞可靠指標(biāo)大于9，發(fā)生混凝土彎壓疲勞壓潰的失效概率幾乎為0；軌道板橫向受彎拉邊緣纖維處混凝土彎拉疲勞開裂的疲勞可靠指標(biāo)β∈[2.337 8, 3.745 5]，相應(yīng)的失效概率Pf∈[9.0017×10-5,9.7×10-3]，軌道板在軌下截面處縱向受拉邊緣纖維混凝土彎拉疲勞開裂失效模式的疲勞可靠指標(biāo)僅在[0.543 2, 1.421 3]之間，對(duì)應(yīng)失效概率Pf∈[0.077 6, 0.293 5]，這表明在無(wú)預(yù)應(yīng)力作用時(shí)，軌道板縱向軌下截面處受拉邊緣纖維混凝土在長(zhǎng)期的重復(fù)荷載作用下發(fā)生彎拉疲勞開裂的相對(duì)概率較大，較易發(fā)生彎拉疲勞破壞，尤其是服役后期。這說(shuō)明軌道板作為主要承受循環(huán)次數(shù)較多且重復(fù)荷載較大疲勞荷載的構(gòu)件，其疲勞性能需進(jìn)一步控制和加強(qiáng)。

4 結(jié)論

基于列車荷載與溫度作用下CRTSⅡ型軌道板疲勞的潛在失效模式，包括縱、橫向混凝土受拉、受壓纖維邊緣處疲勞失效，建立了CRTSⅡ型軌道板混凝土疲勞功能函數(shù)。結(jié)合時(shí)變可靠度分析的快速積分方法和結(jié)構(gòu)有限元分析技術(shù)，開展了CRTSⅡ型軌道板疲勞時(shí)變可靠性研究。分析結(jié)果表明：

(1)與蒙特卡洛模擬方法相比，采用時(shí)變可靠度的快速積分，在減少計(jì)算次數(shù)的同時(shí)仍然可以保證計(jì)算結(jié)果的精度，此方法適用于軌道板疲勞可靠度分析；同時(shí)對(duì)于計(jì)算效率高的時(shí)點(diǎn)可靠度方法而言，由于其過(guò)于簡(jiǎn)化時(shí)變可靠度的求解過(guò)程，其計(jì)算結(jié)果嚴(yán)重高估了軌道板的疲勞時(shí)變可靠度。

(2)軌道板軌下截面處受壓邊緣纖維混凝土在列車荷載及溫度荷載作用下發(fā)生失效的概率極小，而軌道板軌下截面處受拉邊緣纖維混凝土發(fā)生彎拉疲勞開裂的概率較大，尤其是縱向容易發(fā)生彎拉疲勞開裂，建議加強(qiáng)軌道板的維修養(yǎng)護(hù)工作。