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        說說“高”的“那些事”

        2020-12-08 01:30:54
        初中生世界 2020年42期
        關(guān)鍵詞:分類分析數(shù)學(xué)

        文 任 蕾

        提起“高”,同學(xué)們一定會(huì)想到直角三角形,想到勾股定理。下面,我們的話題就從一道關(guān)于“高”的習(xí)題說起:

        習(xí)題在△ABC中BC邊上的高AD=6,求邊BC的長。

        【錯(cuò)解】如圖 1,畫△ABC,并過點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D。在Rt△ABD中,BD=同理,在 Rt△ACD中,CD=,所以BC=BD+CD=8+2=10。

        【分析】運(yùn)用勾股定理求線段長是常見方法,上述按照“常規(guī)”思路得出的答案有錯(cuò)嗎?有。錯(cuò)在何處?本題沒有圖形,所以要將“文字語言”轉(zhuǎn)化成“圖形語言”。在實(shí)際操作中多數(shù)同學(xué)會(huì)畫出圖1,即三角形的高AD在三角形內(nèi)部,殊不知BC邊上的高的位置并不確定,AD還可能在三角形外部。

        圖1

        圖2

        【正解】除了上述情況,當(dāng)AD在△ABC外部時(shí)(如圖2),過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D。這里求得BC=BD-CD=6。所以BC邊長為10或6。

        【點(diǎn)評】關(guān)于“高”的問題常用勾股定理解決。三角形的高可能在三角形內(nèi)部,也可能在三角形外部,甚至在三角形的邊上。我們在解題時(shí)要根據(jù)三角形的形狀進(jìn)行分析,若無法確定三角形形狀,要進(jìn)行分類討論。

        拓展已知等腰△ABC中,AB=AC=5,△ABC的面積為10,求邊BC的長。

        【解析】由三角形面積可以聯(lián)想到三角形的高,但是高的具體位置還要根據(jù)三角形的形狀進(jìn)行討論。

        若△ABC為銳角三角形(如圖3),BC=2 5;若△ABC為鈍角三角形(如圖4),BC=4 5。同學(xué)們可以嘗試寫出具體解答過程。

        圖3

        圖4

        【歸納】通過以上例題,我們不難看出,運(yùn)用勾股定理求有關(guān)三角形的高的問題時(shí),往往需要分類討論,這樣才能全面地分析問題的本質(zhì)。因?yàn)椤叭切蔚母咴谛蝺?nèi)或形外”是不能一概而論的,我們應(yīng)考慮有多個(gè)解的可能性。

        分類討論是一種基本而又重要的數(shù)學(xué)思想方法,也是考試的熱點(diǎn)之一。掌握了這個(gè)思想,可使我們的數(shù)學(xué)思維更加靈活、縝密,更有條理。

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