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        謹(jǐn)防“勾股”中的“雷區(qū)”

        2020-12-08 01:30:52孫媛媛
        初中生世界 2020年42期
        關(guān)鍵詞:股數(shù)雷區(qū)錯(cuò)因

        文 孫媛媛

        同學(xué)們?cè)诮鉀Q與勾股定理相關(guān)的問(wèn)題時(shí),多多少少會(huì)觸碰到一些“雷區(qū)”。下面我們就來(lái)舉例說(shuō)明,希望同學(xué)們能理解定理,仔細(xì)審題,規(guī)范答題,知錯(cuò)防錯(cuò),有效“避雷”,在勾股定理的世界自由翱翔。

        雷區(qū)一 不討論斜邊引起的漏解

        例1一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和4,則該直角三角形的第三邊長(zhǎng)為_(kāi)____。

        【錯(cuò)解】5。

        【錯(cuò)因分析】同學(xué)們對(duì)我們祖先留下的“勾3,股4,弦5”印象深刻,一拿到這題,往往很順利地就想到兩條直角邊長(zhǎng)分別為3、4,第三邊長(zhǎng)為5。我們來(lái)回顧一下勾股定理:直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方,而題目?jī)H僅給出兩邊,顯然沒(méi)有明確已知邊的“角色”。同學(xué)們錯(cuò)解的原因就是把已知邊默認(rèn)為直角邊。所以,當(dāng)情況不明確時(shí),我們必須分類討論,以防漏解。我們知道,直角三角形中斜邊最長(zhǎng),所以3不可能是斜邊長(zhǎng),但是,4可能是斜邊長(zhǎng)。所以當(dāng)4為斜邊長(zhǎng)時(shí),直角三角形的第三邊長(zhǎng)。

        【正解】5或。

        雷區(qū)二 不清楚概念引發(fā)的多解

        例2若一個(gè)三角形的三邊分別是a、b、c且a、b、c為一組勾股數(shù),其中a=3,b=4,則c=_____。

        【錯(cuò)解】5或。

        【錯(cuò)因分析】在遭受雷區(qū)一的“轟炸”后,同學(xué)們會(huì)自覺(jué)地考慮多種情況了,然而,又不知不覺(jué)陷入另一個(gè)“雷區(qū)”——勾股數(shù)。何為勾股數(shù)?勾股數(shù)是指構(gòu)成直角三角形三邊的一組正整數(shù)。顯然這里有兩個(gè)條件,一是兩條較短邊的平方和等于第三邊的平方,二是a、b、c都為正整數(shù)。顯然錯(cuò)解中的不符合條件。

        【正解】5。

        雷區(qū)三 不判定圖形形狀

        例3如圖1,在四邊形ABCD中,∠D=90°,AD=2,CD=2,BC=3,AB=5,求四邊形ABCD的面積。

        圖1

        【錯(cuò)解】如圖2,連接AC。

        在△ADC中,∵∠D=90°,

        圖2

        【錯(cuò)因分析】有的同學(xué)在求得AC后,沒(méi)有判定△ABC的形狀,默認(rèn)了△ABC是直角三角形,直接求面積。這里同學(xué)們應(yīng)該運(yùn)用勾股定理的逆定理來(lái)證明△ABC是直角三角形。

        【正解】如圖2,連接AC。

        在△ADC中,∵∠D=90°,

        在△ABC中,AC=4,BC=3,AB=5,

        則有BC2+AC2=32+42=25,AB2=52=25,即BC2+AC2=AB2,

        ∴∠ACB=90°,△ABC為直角三角形,

        雷區(qū)四 憑直覺(jué)造成的誤解

        例4如圖3,梯子AB靠在墻上,梯子的底端A到墻根O的距離為0.7m,梯子的底端A向外移動(dòng)到A′,使梯子的底端A′到墻根的距離等于1.5m,同時(shí),梯子的頂端B下降至B′,求BB′的長(zhǎng)(梯子AB的長(zhǎng)為2.5m)。

        圖3

        【錯(cuò)解】BB′=AA′=1.5-0.7=0.8m。

        【錯(cuò)因分析】有的同學(xué)只憑直覺(jué),認(rèn)為梯子下降多少,就等于梯子往左滑動(dòng)多遠(yuǎn),即BB′=AA′。這是不對(duì)的,凡事都要有理有據(jù)。我們可以親自拿個(gè)梯子進(jìn)行實(shí)地試驗(yàn),BB′與AA′并不相等。正確的做法應(yīng)該是先求OB和OB′,再得到BB′的長(zhǎng)。

        【正解】根據(jù)題意,可得AB=A′B′=2.5,∠AOB=90°,在△ABO中,AO=0.7,AB=2.5,∠AOB=90°,

        在△A′B′O中,A′O=1.5,A′B′=2.5,∠A′OB′=90°,

        答:BB′的長(zhǎng)為0.4m。

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