許成謙，徐 琪，李偉杰

(燕山大學 信息科學與工程學院，河北 秦皇島 066004)

0 引言

跳頻碼分多址系統(tǒng)具有抗干擾、安全、多址等特點，在軍事無線電通信、移動通信以及現(xiàn)代雷達和回聲定位系統(tǒng)中有著廣泛的應用。跳頻序列在跳頻通信系統(tǒng)中扮演著十分重要的角色。跳頻序列的性能直接影響到跳頻通信系統(tǒng)的性能[1-2]。在這樣的系統(tǒng)中，每個跳頻序列分配給一個用戶，如果任意兩個用戶同時占用相同的載波頻率，就會發(fā)生信號碰撞。因此，我們希望這些碰撞盡可能少發(fā)生。碰撞程度由漢明相關函數(shù)來評估。為了減少互相碰撞的干擾，無碰撞區(qū)(No-hit-zone, NHZ)跳頻序列集由此被提出。無碰撞區(qū)跳頻序列集的漢明相關特性在整個周期內(nèi)不再要求是理想的，而只是要求序列在一定的延遲范圍內(nèi)有理想的漢明相關性就可以了。目前，關于無碰撞區(qū)跳頻序列集的設計已有廣泛的研究[3-7]。然而這些構(gòu)造出的單集合無碰撞區(qū)跳頻序列集只能消除同一小區(qū)用戶帶來的干擾，在多小區(qū)環(huán)境下，相鄰小區(qū)用戶信號造成的干擾難以消除。為降低小區(qū)之間用戶的干擾，一個有希望的解決方案是構(gòu)造的集合應包含多個子集，每個小區(qū)分配一個子集。同一小區(qū)內(nèi)的干擾通過子集內(nèi)序列優(yōu)良的漢明自相關性與互相關性予以消除，不同小區(qū)間的干擾由子集間序列的漢明互相關性予以消除。

本文提出一種多子集NHZ跳頻序列集的構(gòu)造方法，基于一次碰撞的非重復跳頻序列集經(jīng)過移位序列交織構(gòu)造出多子集NHZ跳頻序列集。交織得到的序列集包含多個子集，每個子集是NHZ跳頻序列集，集間具有良好的低互相關性。

1 基本概念

定義1設F={f0,f1,…,fq-1}是一個包含q個頻隙的頻率集合，x=(x0,x1,…,xN-1)和y=(y0,y1,…,yN-1)分別為頻率集合F上的兩個跳頻序列，其中xi,yi∈F,i=0,1,…,N-1。跳頻序列x和y的周期漢明相關函數(shù)的定義為

(1)

定義2S為F上M個長度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，若跳頻序列集合S上任意序列x=(x0,x1,…,xN-1)和y=(y0,y1,…,yN-1)的周期漢明相關函數(shù)滿足

(2)

則稱跳頻序列集S為(N,M,q,Zn)無碰撞區(qū)跳頻序集，簡稱NHZ跳頻序列集，稱Zn為無碰撞區(qū)長度。

定義3對于跳頻序列x=(x0,x1,…,xN-1)，任意i,j∈{0,1,…,N-1},i≠j,若xi≠xj，則稱序列x為無重復跳頻序列。若跳頻序列集S中序列都是無重復跳頻序列，則稱S為無重復跳頻序列集。

定義4S為F上M個長度為N的無重復跳頻序列集，若無重復跳頻序列集合S上任意序列x=(x0,x1,…,xN-1)和y=(y0,y1,…,yN-1)的周期漢明相關函數(shù)滿足

(3)

則稱S為一次碰撞的無重復跳頻序列集。

定義5[8]設兩個跳頻序列a=(a0,a1,…,aN-1)和b=(b0,b1,…,bN-1)，如果對于0≤i≤N-1, 0≤τ≤N-1有ai=bi+τ成立，則稱序列a和b移位等價，否則稱為移位不等價。

定義6設S表示一個序列集，包含l個子集，S={S0,S1,…,Sl-1},每個子集是一個參數(shù)為(N,M,q,Zn)無碰撞區(qū)跳頻序列集。若Hs(i,n),s(j,m)(τ)=δ,δ?N,s(i,n)∈Si，s(j,m)∈Sj，0≤i,j≤l-1，i≠j,0≤n,m≤M-1, 0≤τ

設a=(a0,a1,…,aN-1)為跳頻序列，ei=(ei,0,ei,1)，其中ei,0,ei,1∈{0,1,…,N-1}，則由序列a和序列ei可以構(gòu)成一個N×2的矩陣

(4)

其中下標運算均為模N加法運算。將矩陣U中的元素按行首尾連接得到周期為2N的序列u=(u0,u1,…,u2N-1)，其中u2t1+t2=at1+ei,t2，0≤t1

引理1設a=(a0,a1,…,aN-1)和b=(b0,b1,…,bN-1)為兩個跳頻序列，ei=(ei,0,ei,1)和ej=(ej,0,ej,1)為兩個移位序列，ei,0,ei,1,ej,0,ej,1∈{0,1,…,N-1}，交織序列u=I(Lei,0(a)),(Lei,1(a))和v=I(Lej,0(b),Lej,1(b))，令τ=2τ1+τ2，t=2t1+t2，0≤t1,τ1≤N-1，t2,τ2∈{0,1}，則交織序列u和v的漢明互相關函數(shù)

Hu,v(τ)=

(5)

如果a=b，則交織序列u和v的漢明互相關函數(shù)

Hu,v(τ)=

(6)

證明令τ=2τ1+τ2，t=2t1+t2，0≤t1,τ1≤N-1，t2,τ2∈{0,1}，則交織序列u和v的漢明互相關函數(shù)

Hu,v(τ)=

Hab(τ1+ej,τ2-ei,0)+Hab(τ1+ej,1+τ2-ei,1)=

如果a=b，交織序列u和v的漢明互相關函數(shù)

引理得證。

引理2[10]設E={ei|0≤i

2)ei,ej∈E，ei≠ej時，有d0≠d1且d2≠d3，

其中，d0=ei,0-ej,0，d1=ei,1-ej,1，d2=ei,0-ej,1，d3=ei,1-ej,0-1，均為模N運算，則移位序列ei和ej是移位不等價的。

引理3[10]設a為基序列，ei=(ei,0,ei,1)和ej=(ej,0,ej,1)為移位序列，u=I(Lei,0(a),Lei,1(a))，v=I(Lej,0(a),Lej,1(a)),若移位序列ei和ej是移位不等價的，則交織序列u和v是移位不等價的。

引理4設a為頻隙集{0,1,…,N-1}上長度為N的無重復跳頻序列，E={ei|0≤i

2)對于任意ei≠ej∈E，有d0≠d1，且d2≠d3，其中d0，d1，d2，d3見引理2；

則序列集S={I(Lei,0(a),Lei,1(a))|0≤i

證明顯然序列集S中序列長度為2N，序列個數(shù)為M，頻隙個數(shù)為N。

下面證明無碰撞區(qū)長度為Zn。設u=I(Lei,0(a),Lei,1(a))，v=I(Lej,0(a),Lej,1(a)),τ=2τ1+τ2，t=2t1+t2，0≤t1,τ1≤N-1，t2,τ2∈ {0,1}。

由引理1可得u的漢明自相關函數(shù)Hu(τ)，

Hu(τ)=

綜上所述，序列集S中任意序列u的自相關函數(shù)有無碰撞區(qū)(0,Zn]，即碰撞區(qū)長度為Zn。

由引理1可得u和v的漢明互相關函數(shù)

綜上所述，序列集S中任意兩個序列u和v的互相關函數(shù)有無碰撞區(qū)[0,Zn]，即碰撞區(qū)長度為Zn。

由引理2和引理3可知，序列u和v是移位不等價的。

引理得證。

引理5[11]令F是頻隙數(shù)為q的頻隙集，S為F上M個長度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，Zn是序列集S的無碰撞區(qū)長度，則

(7)

使得上式等式成立的跳頻序列集稱為最優(yōu)無碰撞區(qū)跳頻序列集。

2 多子集跳頻序列集的構(gòu)造

構(gòu)造方法1：

步驟1:選取一個F上頻隙大小為q的l個長度為N的一次碰撞無重復跳頻序列集A。

步驟2：取Zn為正整數(shù)，1

ej=(ej,0,ej,1)=

(8)

1)當(Zn+1)整除N時，

ej=(ej,0,ej,1)=

(9)

2)當(Zn+1)不整除N時，

ej=(ej,0,ej,1)=

步驟3：取序列集A中的序列為基序列，序列集E中的序列為移位序列構(gòu)成交織跳頻序列集，構(gòu)造的跳頻序列集如下，

Si={I(Lej,0(ai),Lej,1(ai))|ai∈A,ei=(ej,0,ej,1)∈E,0≤j

S={Si|0≤i

定理1構(gòu)造方法1中構(gòu)造的多子集跳頻序列集S中的子集Si為參數(shù)為(2N,M,N,Zn)的最優(yōu)無碰撞區(qū)跳頻序列集，Si中序列是移位不等價的，0≤i

證明由步驟2構(gòu)造移位序列集E知，對任意的ei,ej∈E均滿足以下3個條件：

2)對于任意ei≠ej∈E，有d0≠d1，且d2≠d3，其中d0，d1，d2，d3見引理2；

由引理2可知，構(gòu)造的E={ei=(ei,0,ei,1)|0≤i

由引理4知，序列集Si為參數(shù)為(2N,M,N,Zn)的無碰撞區(qū)跳頻序列集，并且序列集Si中任意兩個序列是移位不等價的。

由引理5知，序列集Si是最優(yōu)的。

對于s(i,n)∈Si，s(j,m)∈Sj，τ=2τ1+τ2，0≤τ1

Hs(i,n),s(j,m)(τ)=2Hab(τ1)=2。

同理，當0≤τ<2N,τ2=1時，0≤τ1≤N-1，可得

Hs(i,n),s(j,m)(τ)=2Hab(τ1)=2。

綜上所述，子集間的漢明相關值為2。

3 構(gòu)造實例

例1選取參數(shù)為(7,6,7,1)一次碰撞非重復跳頻序列集A，其中

a0=(0,1,2,3,4,5,6)，

a1=(0,2,4,6,1,3,5)，

a2=(0,3,6,2,5,1,4)，

a3=(0,4,1,5,2,6,3)，

a4=(0,5,3,1,6,4,2)，

a5=(0,6,5,4,3,2,1)。

e0=(0,6)，e1=(4,2)。

以ai作為基序列，利用交織理論可得包含6個子集的序列集合S={S0,S1,S2,S3,S4,S5},如下：

S0={s(0,0)=(0,6,1,0,2,1,3,2,4,3,5,4,6,5)，

s(0,1)=(4,2,5,3,6,4,0,5,1,6,2,0,3,1)}，

S1={s(1,0)=(0,5,2,0,4,2,6,4,1,6,3,1,5,3)，

s(1,1)=(1,4,3,6,5,1,0,3,2,5,4,0,6,2)}，

S2={s(2,0)=(0,4,3,0,6,3,2,6,5,2,1,5,4,1)，

s(2,1)=(5,6,1,2,4,5,0,1,3,4,6,0,2,3)}，

S3={s(3,0)=(0,3,4,0,1,4,5,1,2,5,6,2,3,6)，

s(3,1)=(2,1,6,5,3,2,0,6,4,3,1,0,5,4)}，

S4={s(4,0)=(0,2,5,0,3,5,1,3,6,1,4,6,2,4)，

s(4,1)=(6,3,4,1,2,6,0,4,5,2,3,0,1,5)}，

S5={s(5,0)=(0,1,6,0,5,6,4,5,3,4,2,3,1,2)，

s(5,1)=(3,5,2,4,1,3,0,2,6,1,5,0,4,6)}。

通過計算，每個子集內(nèi)的漢明相關函數(shù)值如下：

Hs(i,0),s(i,0)(τ)=
(14,0,0,7,0,0,0,0,0,0,0,7,0,0)，

Hs(i,1),s(i,1)(τ)=

(14,0,0,0,0,7,0,0,0,7,0,0,0,0)，

Hs(i,0),s(i,1)(τ)=

(0,0,0,7,0,0,7,0,7,0,0,7,0,0)。

子集間的漢明相關函數(shù)值如下：

Hs(i,0),s(j,0)(τ)=

(2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2)，

Hs(i,0),s(j,1)(τ)=

(2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2)，

Hs(i,1),s(j,0)(τ)=

(2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2)，

Hs(i,1),s(j,1)(τ)=

(2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2)。

4 結(jié)論

本文提出了具有集間低互相關多子集無碰撞區(qū)跳頻序列集的概念，通過一次碰撞的非重復序列集和不等價的移位序列交織得到了多個最優(yōu)的無碰撞區(qū)跳頻序列集，無碰撞區(qū)長度在滿足一定條件下可靈活選取，其集合間具有優(yōu)良的漢明互相關性。構(gòu)造出的多子集可以應用到多個小區(qū)間環(huán)境中，降低了小區(qū)間用戶干擾。