韓亞飛

（河北省定州市東阜才小學(xué)，河北 定州 073000）

事實(shí)上，即使就最為初等的數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，我們也可清楚地看到數(shù)學(xué)的抽象特點(diǎn)，而這就已包括了由“日常數(shù)學(xué)”向“學(xué)校數(shù)學(xué)”的重要過渡。

也正由于數(shù)學(xué)的直接研究對(duì)象是抽象的模式而非特殊的現(xiàn)實(shí)情景，這就為相應(yīng)的“純數(shù)學(xué)研究”提供了現(xiàn)實(shí)的可能性。例如，就以上所提及的加減法運(yùn)算而言，由于其中涉及三個(gè)不同的量（兩個(gè)加數(shù)與它們的和，或被減數(shù)、減數(shù)與它們的差），因此，從純數(shù)學(xué)的角度去分析，我們完全可以提出這樣的問題，即如何依據(jù)其中的任意兩個(gè)量去求取第三個(gè)量。

綜上可見，即使就正整數(shù)的加減法此類十分初等的題材而言，就已十分清楚地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的一些重要特點(diǎn)，特別是體現(xiàn)了在現(xiàn)實(shí)意義與純數(shù)學(xué)研究這兩者之間所存在的辯證關(guān)系。當(dāng)然，從理論的角度看，我們?cè)诖擞謶?yīng)考慮這樣的問題，即應(yīng)當(dāng)如何去認(rèn)識(shí)所說的純數(shù)學(xué)研究的意義。特別是，我們是否應(yīng)當(dāng)明確肯定由“日常數(shù)學(xué)”過渡到“學(xué)校數(shù)學(xué)”的必要性，或是應(yīng)當(dāng)唯一地堅(jiān)持立足于現(xiàn)實(shí)生活。

我們還應(yīng)明確肯定數(shù)學(xué)知識(shí)向現(xiàn)實(shí)生活“復(fù)歸”的重要性。這正如著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所指出的：“數(shù)學(xué)的力量源于它的普遍性。人們可以用同樣的數(shù)去對(duì)各種不同的集合進(jìn)行計(jì)數(shù)，也可以用同樣的數(shù)去對(duì)各種不同的量進(jìn)行度量。……盡管運(yùn)算（等）所涉及的方面十分豐富，但又始終是同一個(gè)運(yùn)算──這即是借助于算法所表明的事實(shí)。作為計(jì)算者人們?nèi)菀淄浧渌婕暗臄?shù)以及他所面對(duì)的文字題中的算術(shù)問題的來源。但是，為了真正理解這種存在于多樣性之中的簡(jiǎn)單性，在計(jì)算的同時(shí)我們又必須能夠由算法的簡(jiǎn)單性回到多樣化的現(xiàn)實(shí)?！?/p>

總的來說，這就應(yīng)當(dāng)被看成“數(shù)學(xué)化”這一思維方式的完整表述，即其不僅直接涉及如何由現(xiàn)實(shí)原型抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念或問題，而且也包括了對(duì)于數(shù)量關(guān)系的純數(shù)學(xué)研究，以及由數(shù)學(xué)知識(shí)向現(xiàn)實(shí)生活的“復(fù)歸”。另外，相對(duì)于具體知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)而言，我們應(yīng)當(dāng)更加注意如何幫助學(xué)生很好地去掌握“數(shù)學(xué)化”的思想，我們應(yīng)當(dāng)從這樣的角度去理解“情境設(shè)置”與“純數(shù)學(xué)研究”的意義。這正如弗賴登塔爾所指出的：“數(shù)學(xué)化……是一條保證實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)整體結(jié)構(gòu)的廣闊途徑……情境和模型，問題與求解這些活動(dòng)作為必不可少的局部手段是重要的，但它們都應(yīng)該服從于總的方法。”

一、凝聚：算術(shù)思維的基本形式

由以下關(guān)于算術(shù)思維基本形式的分析可以看出，思維的分析相對(duì)于具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)而言并非某種外加的成分，而是有著重要的指導(dǎo)意義。

具體地說，這正是現(xiàn)代關(guān)于數(shù)學(xué)思維研究的一項(xiàng)重要成果，即指明了所謂的“凝聚”，也即由“過程”向“對(duì)象”的轉(zhuǎn)化構(gòu)成了算術(shù)以及代數(shù)思維的基本形式，這也就是說，在數(shù)學(xué)特別是算術(shù)和代數(shù)中有不少概念在最初是作為一個(gè)過程得到引進(jìn)的，但最終卻又轉(zhuǎn)化成了一個(gè)對(duì)象──對(duì)此我們不僅可以具體地研究它們的性質(zhì)，也可以此為直接對(duì)象去施行進(jìn)一步的運(yùn)算。

例如，加減法在最初都是作為一種過程得到引進(jìn)的，即代表了這樣的“輸入-輸出”過程：由兩個(gè)加數(shù)（被減數(shù)與減數(shù)）我們就可求得相應(yīng)的和（差）；然而，隨著學(xué)習(xí)的深入，這些運(yùn)算又逐漸獲得了新的意義：它們已不再僅僅被看成一個(gè)過程，而且也被認(rèn)為是一個(gè)特定的數(shù)學(xué)對(duì)象，我們可具體地去指明它們所具有的各種性質(zhì)，如交換律、結(jié)合律等，從而，就其心理表征而言，就已經(jīng)歷了一個(gè)“凝聚”的過程，即由一個(gè)包含多個(gè)步驟的運(yùn)作過程凝聚成了單一的數(shù)學(xué)對(duì)象。再如，有很多教師認(rèn)為，分?jǐn)?shù)應(yīng)當(dāng)定義為“兩個(gè)整數(shù)相除的值”而不是“兩個(gè)整數(shù)的比”，這事實(shí)上也可被看成包括了由過程向?qū)ο蟮霓D(zhuǎn)變，這就是說，就分?jǐn)?shù)的掌握而言我們不應(yīng)停留于整數(shù)的除法這樣一種運(yùn)算，而應(yīng)將其直接看成一種數(shù)，我們可以此為對(duì)象去實(shí)施加減乘除等運(yùn)算。

二、互補(bǔ)與整合：數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要特征

以上關(guān)于“過程-對(duì)象性思維”的論述顯然已從一個(gè)側(cè)面表明了互補(bǔ)與整合這一思維形式對(duì)于數(shù)學(xué)的特殊重要性。以下再以有理數(shù)的學(xué)習(xí)為例對(duì)此作出進(jìn)一步的說明。

首先，我們應(yīng)注意同一概念的不同解釋間的互補(bǔ)與整合。

具體地說，與加減法一樣，有理數(shù)的概念也存在多種不同的解釋，如部分與整體的關(guān)系，商，算子或函數(shù)，度量，等等；但是，正如人們所已普遍認(rèn)識(shí)到了的，就有理數(shù)的理解而言，關(guān)鍵恰又在于不應(yīng)停留于某種特定的解釋，更不能將各種解釋看成互不相關(guān)、彼此獨(dú)立的；而應(yīng)對(duì)有理數(shù)的各種解釋（或者說，相應(yīng)的心理建構(gòu)）很好地加以整合，也即應(yīng)當(dāng)將所有這些解釋都看成同一概念的不同側(cè)面，并能根據(jù)情況與需要在這些解釋之間靈活地作出必要的轉(zhuǎn)換。

其次，我們應(yīng)清楚地看到解題方法的多樣性及其互補(bǔ)關(guān)系。

眾所周知，大力提倡解題策略的多樣化也是新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征：“由于學(xué)生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應(yīng)當(dāng)尊重學(xué)生的想法，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，提倡計(jì)算方法的多樣化?！碑?dāng)然，在大力提倡解題策略多樣化的同時(shí)，我們還應(yīng)明確肯定思維優(yōu)化的必要性，這就是說，我們不應(yīng)停留于對(duì)于不同方法在數(shù)量上的片面追求，而應(yīng)通過多種方法的比較幫助學(xué)生學(xué)會(huì)鑒別什么是較好的方法，包括如何依據(jù)不同的情況靈活地去應(yīng)用各種不同的方法。顯然，后者事實(shí)上也就從另一個(gè)角度更為清楚地表明了“互補(bǔ)與整合”確應(yīng)被看成數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要特點(diǎn)。

綜上可見，即使是小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學(xué)思維形式及其特征性質(zhì)，因此，在教學(xué)中我們應(yīng)作出切實(shí)的努力以很好地落實(shí)“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)基本的數(shù)學(xué)思想方法”這一重要目標(biāo)。