代數(shù)式求值問題是歷年中考試題中一種極為常見的題型,它除了按常規(guī)思路代入求值外,還可以利用整體思想方法對代數(shù)式進行化簡求值,這就需要我們對代數(shù)式的整體結構進行分析和改造,善于用“整體”的眼光,把某些代數(shù)式看成一個整體,把握它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,進行有目的、有意識的處理。下面彭老師以幾道中考試題為例與大家一起分析,構建解題思路。
例1(2018·湖南岳陽)已知a2+2a=1,則3(a2+2a)+2的值為________。
解:∵a2+2a=1,
故答案為5。
【評析】本題中我們將a2+2a作為一個整體直接代入,解題的關鍵是學會用整體代入的思想解決問題。
變式(2018·江蘇無錫)若3a-2b=2,則代數(shù)式2b-3a+1的值等于( )。
A.-1 B.-3 C.3 D.5
解:當3a-2b=2時,
故選A。
【評析】本題中我們將3a-2b作為一個整體,而所求的代數(shù)式中并沒有直接出現(xiàn)3a-2b,而是出現(xiàn)了3a-2b的倍數(shù),從而我們可以將所求代數(shù)式先變形后再整體代入求值。
例2(2019·江蘇常州)如果a-b-2=0,那么代數(shù)式1+2a-2b的值是______。
解:∵a-b-2=0,
故答案為5。
【評析】本題中,我們可以把所給條件中的部分項組成一個整體,代入到要求的代數(shù)式中。一般來說,要求的代數(shù)式中,必然也有部分項可以看作一個整體,是所給條件中部分項整體的倍數(shù)關系。同樣,求解時,別忘了給已知條件的部分項添上括號和系數(shù)。
例3(2019·遼寧大連改編)當x=1時,代數(shù)式mx3+nx+1 的值是5,求當x=-1時,mx3+nx+1的值為________。
解:∵當x=1時,
故答案為-3。
【評析】本題中,我們需要把x=1 代入代數(shù)式mx3+nx+1中,但是僅僅代一次是不能解決問題的。因為只能得到關于m、n的多項式作為整體,所以我們需要把x=-1再次代入,觀察此時關于m、n的多項式的整體與之前的關系,并求值。
例4(2019·北京大興期末)已知:m2+mn=6,mn-n2=-4,求下列代數(shù)式的值:
【評析】這種類型的題目,因為無法直接求出m、n的具體數(shù)值,所以我們只能觀察所求的代數(shù)式與所給的代數(shù)式之間的聯(lián)系。我們通常將中間同時含有字母mn的項拆解,使其中一項與第一項合并后是所給第一個整體的倍數(shù),另一項與最后一項合并后是所給第二個整體的倍數(shù)。(1)將2mn拆成mn+mn;(2)將0 拆成mn-mn;(3)看到第一項為2m2,則有一項被拆成2mn,湊出第一個所給整體的2倍。
用整體思想解決代數(shù)式的求值問題,就是把一些看似彼此獨立而實質(zhì)是緊密相連的代數(shù)式看作一個整體。這樣做,不僅可以擺脫固定模式的束縛,使復雜問題變得簡單,陌生的問題變得熟悉,往往還可以解決按常規(guī)方法解決不了的問題。