鄢俊彪，鄒宗興，王 飛，張 琦，羅 濤

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)教育部長江三峽庫區(qū)地質(zhì)災(zāi)害研究中心，湖北 武漢 430074)

巖石的力學(xué)性質(zhì)與礦山、道路橋梁和水利水電等巖石工程的建設(shè)與安全運(yùn)營密切相關(guān)。研究巖石的本構(gòu)模型，定量地把握其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，對于探究巖石的變形破壞過程，為實(shí)際工程建設(shè)與安全運(yùn)營提供理論依據(jù)，具有重要的意義。

目前，一些學(xué)者通過引入統(tǒng)計損傷理論，假定巖石的微元強(qiáng)度服從某種概率分布，從而建立起巖石的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型。其中，巖石微元強(qiáng)度的合理度量成為一個關(guān)鍵問題，其反映的是巖石材料的破壞程度。曹文貴等[1-2]、張勃成等[3]、Zhao 等[4]和Chen等[5]以Drucker-Prager準(zhǔn)則來描述巖石的微元強(qiáng)度，建立了巖石的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型；陳松等[6]和Li等[7]基于Mohr-Coulomb準(zhǔn)則來度量巖土材料的微元強(qiáng)度，分別建立了斷續(xù)節(jié)理巖體和應(yīng)變軟化巖石的損傷本構(gòu)模型；Deng等[8]分別采用Drucker-Prager準(zhǔn)則和Mohr-Coulomb準(zhǔn)則來描述巖石微元強(qiáng)度分布，并對兩種屈服準(zhǔn)則得出的巖石損傷本構(gòu)模型進(jìn)行了對比分析；Shen等[9]基于統(tǒng)一強(qiáng)度理論來建立應(yīng)變軟化巖石的損傷本構(gòu)模型；汪杰等[10]、Huang等[11]、Qu等[12]和馬高強(qiáng)[13]采用應(yīng)變表征的巖石微元強(qiáng)度來建立巖石損傷演化本構(gòu)模型。顯然，這些研究僅僅是從應(yīng)力或應(yīng)變水平角度來反映巖石材料的屈服和損傷，而從能量角度建立巖石的損傷本構(gòu)模型的研究較少，然而巖石或巖體的變形破壞實(shí)質(zhì)上是能量轉(zhuǎn)換的結(jié)果[14]。謝和平等[14-17]從能量的角度研究了巖石的變形破壞過程，認(rèn)為能量耗散、能量釋放與巖石的損傷和整體破壞密切相關(guān)，并建立了相應(yīng)的巖石強(qiáng)度與破壞準(zhǔn)則；彭瑞東等[18-19]在巖石變形破壞過程中能量耗散分析的基礎(chǔ)上，建立了相應(yīng)的巖石損傷演化方程；葛云峰等[20]利用室內(nèi)實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬的方法，從彈性應(yīng)變能演化機(jī)制方面研究了巖體結(jié)構(gòu)面的剪切破壞過程；高紅等[21]和周輝等[22]從能量的角度分析巖土內(nèi)摩擦材料的屈服特性，并建立了適用于巖土內(nèi)摩擦材料的能量屈服準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則在描述巖土材料變形屈服特性中取得了較好的效果。因此，相比于以往基于應(yīng)力或應(yīng)變水平構(gòu)建的巖石微元強(qiáng)度和本構(gòu)模型，從能量的角度建立起巖石的損傷本構(gòu)模型更加符合巖土內(nèi)摩擦材料的變形破壞特性，且物理意義將更為明確。

本文首先從巖石的微元強(qiáng)度服從概率分布出發(fā)，引入統(tǒng)計損傷理論，基于三剪能量屈服準(zhǔn)則來度量巖石的微元強(qiáng)度，并建立起反映應(yīng)變軟化巖石的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型；然后以一組巖石三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)為例，驗(yàn)證所建立模型的可靠性；最后深入討論該模型中參數(shù)的物理力學(xué)意義，并測試模型的實(shí)用性。

1 巖石的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型

1.1 巖石的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型的建立

巖石材料在變形過程中由損傷部分和未損傷部分組成，根據(jù)Lemaitre應(yīng)變等效假設(shè)[23]，巖石的損傷模型如下：

(1)

(2)

式中:E為巖石的彈性模量(MPa)；μ為巖石的泊松比；εi為巖石的應(yīng)變。

將公式(2)代入公式(1)，可得到以巖石名義應(yīng)力表示的巖石損傷模型：

σi=Eεi(1-D)+μ(σj+σk) (i,j,k=1,2,3)

(3)

巖石的損傷變量D為巖石中損傷部分與巖石總體部分之比。根據(jù)統(tǒng)計損傷理論，將宏觀巖石視為由大量微單元組成，巖石變形破壞過程中這些微單元由未損傷狀態(tài)向損傷狀態(tài)轉(zhuǎn)化，且這種損傷轉(zhuǎn)化不可逆，故可將巖石的損傷變量D定義為巖石中損傷的微單元數(shù)目與總的微單元數(shù)目的比值[1]，即：

(4)

式中:ND為巖石中損傷的微單元數(shù)目；N為巖石中總的微單元數(shù)目。

假定巖石的微元強(qiáng)度F服從概率分布，其中Weibull分布已經(jīng)被廣泛地運(yùn)用于巖石的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型的研究中，并取得了很好的效果[1-13,24-25]。本文研究中也采用Weibull分布作為巖石微元強(qiáng)度的分布函數(shù)，Weibull分布的概率密度函數(shù)[26]為

(5)

式中:m、F0為Weibull分布函數(shù)的參數(shù)。

由于巖石微元強(qiáng)度反映的是巖石的破壞程度，當(dāng)外荷載加載至F狀態(tài)時巖石中損傷的微單元數(shù)目(ND)可表示為

(6)

將公式(6)代入公式(4)，可得到巖石的損傷變量為

(7)

將公式(7)代入公式(3)，并令公式(3)中i為1，可得：

(8)

公式(8)即為本文建立的巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型。由此可知，合理地確定該本構(gòu)模型中巖石的微元強(qiáng)度為建立模型的關(guān)鍵問題。

1.2 三剪能量屈服準(zhǔn)則

相比于應(yīng)力和應(yīng)變，從能量的角度來分析巖石的損傷和屈服具有更加明確的意義[14-19]，同時不同于金屬材料，巖土材料具有獨(dú)特的內(nèi)摩擦性質(zhì)，鑒于此，本文采用三剪能量屈服準(zhǔn)則作為巖石微元強(qiáng)度的度量。

圖1 三剪能量屈服準(zhǔn)則示意圖Fig.1 Diagram of triple shear energy yield criterion

(9)

式中:G為巖土材料的剪切模量(MPa)；K為一常數(shù);φ12、φ23和φ13分別為巖土材料的3個最大內(nèi)摩擦角(°)(見圖1)。

(10)

公式(9)和(10)中均是以巖石的有效應(yīng)力形式表示的巖石微元強(qiáng)度，故將公式(1)分別代入公式(9)和公式(10)，化為以巖石名義應(yīng)力形式表示的巖石微元強(qiáng)度，則有：

(11)

(12)

根據(jù)公式(3)，可得：

(13)

將公式(12)和(13)代入公式(11)，即可得到基于三剪能量屈服準(zhǔn)則表征的巖石微元強(qiáng)度，將該巖石微元強(qiáng)度表達(dá)式代入公式(8)，即可得到本文提出的基于三剪能量屈服準(zhǔn)則的應(yīng)變軟化巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型。

1.3 模型參數(shù)確定

本文提出的巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型公式(8)中有巖石的彈性模量E、泊松比μ、剪切模量G、內(nèi)摩擦角φ13、Weibull分布函數(shù)的參數(shù)m和F0共6個參數(shù)。其中，前4個參數(shù)為巖石力學(xué)中常用的巖石變形和強(qiáng)度參數(shù)，通過試驗(yàn)即可獲??；對于參數(shù)m和F0，本文采用線性擬合的方法來確定。由公式(8)分離出指數(shù)項(xiàng)，可得：

(14)

將公式(14)兩邊同時取兩次對數(shù),可得：

(15)

令:

(16)

公式(15)則簡化為

y=mx+b

(17)

于是，利用公式(16)將巖石三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)簡化為公式(17)的形式，然后進(jìn)行線性擬合，得到的擬合直線的斜率即為參數(shù)m，再將參數(shù)m代回公式(16)中即可計算參數(shù)F0：

F0=exp(-b/m)

(18)

2 實(shí)例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出的巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型的可靠性，引用文獻(xiàn)[28]中的一組經(jīng)典的巖石三軸壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)。該巖石巖性為石英巖，屬于硬質(zhì)巖，巖樣在圍壓σ3分別為0 MPa、3.45 MPa、6.90 MPa、13.80 MPa和27.60 MPa條件下進(jìn)行常規(guī)的三軸壓縮試驗(yàn)。該巖石的彈性模量E為9×104MPa，泊松比μ為0.15，剪切模量G為3.9×104MPa，內(nèi)摩擦角φ13為31.304°。常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)下有σ2=σ3，于是公式(11)可簡化為

(19)

將公式(13)代入公式(19)中，并化簡可得：

(20)

首先，采用第1.3節(jié)中的方法對Weibull分布函數(shù)的參數(shù)m和F0進(jìn)行線性擬合求解，其中在圍壓σ3為0 MPa和27.60 MPa的條件下，由試驗(yàn)結(jié)果擬合出近似兩段直線(斜率一正一負(fù))，參考其他3個圍壓條件下的試驗(yàn)結(jié)果，取直線斜率(即m值)為正的一段。相應(yīng)地各圍壓條件下Weibull分布函數(shù)的參數(shù)m、F0計算結(jié)果，見表1。

表1 各圍壓條件下Weibull分布函數(shù)的參數(shù)計算結(jié)果Table 1 Parameter calculation results of Weibulldistribution function under various confiningpressures

然后，將公式(20)和表1中參數(shù)代入公式(8)中，即可得到相應(yīng)的基于能量屈服準(zhǔn)則的巖石損傷本構(gòu)方程。

最后，將利用該方程得到的巖石應(yīng)力-應(yīng)變理論曲線與相應(yīng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了對比，見圖2。

圖2 利用本文模型得到的巖石應(yīng)力-應(yīng)變理論曲線 與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對比Fig.2 Comparison between rock stress-strain theoretical curves obtained by the model of this paper and test data

由圖2可見，利用本文提出的基于能量屈服準(zhǔn)則的巖石損傷本構(gòu)方程得到的巖石應(yīng)力-應(yīng)變理論曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)總體吻合度較好。對于巖石的應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰前彈性變形階段，本文模型曲線能夠很好地反映曲線峰前彈性變形階段；對于峰值強(qiáng)度，本文模型曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)存在一定的誤差，出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因是參數(shù)求解采用的是線性擬合的方法，擬合時存在少量數(shù)據(jù)點(diǎn)偏離線性關(guān)系而導(dǎo)致參數(shù)求解存在誤差，從而引起巖石峰值強(qiáng)度的誤差；對于巖石的應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰后應(yīng)變軟化階段，除高圍壓(σ3=27.60 MPa)條件下誤差較大外，其余圍壓條件下模型曲線也均與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合度較高，分析其誤差產(chǎn)生的原因可能是由于巖石試樣的不均勻性造成的，因?yàn)橐话闱闆r下，隨著圍壓的增大，巖石變形特征由脆性轉(zhuǎn)化為延性，即峰后巖石應(yīng)變軟化階段越不明顯，甚至可能會出現(xiàn)巖石應(yīng)變硬化特征[29]，巖石的應(yīng)力-應(yīng)變曲線上表現(xiàn)為峰后階段曲線斜率總體減小，曲線趨于平緩，而觀察該組試驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，前4個圍壓條件下試驗(yàn)結(jié)果表現(xiàn)的正是這種特性，至σ3=27.60 MPa圍壓時，巖石反而向脆性變形趨勢轉(zhuǎn)變，相反，該高圍壓條件下本文模型曲線表現(xiàn)出巖石延性變形趨勢，符合一般規(guī)律?？傮w來說，本文模型能夠充分地反映巖石變形破壞的過程，具有可靠性。

3 討 論

3.1 Weibull分布函數(shù)參數(shù)的物理力學(xué)意義

本文模型中常規(guī)巖石力學(xué)參數(shù)E、μ、G、φ13物理力學(xué)意義已經(jīng)非常明確，這里僅討論Weibull分布函數(shù)的兩個參數(shù)m和F0的物理力學(xué)意義。以圍壓σ3=6.90 MPa條件下的模型為例，固定F0不變，僅變化m時，可得到一系列巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線見圖3；同樣地，固定m不變，僅變化F0時，可得到一系列巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線見圖4。

圖3 不同m下的巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線(σ3=6.90 MPa)Fig.3 Rock stress-strain curves under various m (σ3=6.90 MPa)

由圖3可見，隨著m值的增大，巖石的峰值強(qiáng)度呈現(xiàn)明顯增加的趨勢，巖石的應(yīng)力-應(yīng)變曲線呈“收縮”形式，巖石強(qiáng)度在達(dá)到峰值強(qiáng)度后衰減得更快，反映的是巖石脆性變形程度更大，應(yīng)變軟化現(xiàn)象更加明顯。因此，可以認(rèn)為m是反映巖石脆性變形程度的一個物理量。

圖4 不同F(xiàn)0下的巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線(σ3=6.90 MPa)Fig.4 Rock stress-strain curves under various F0 (σ3=6.90 MPa)

由圖4可見，隨著F0的增大，巖石的峰值強(qiáng)度和殘余強(qiáng)度均增大。因此，可以認(rèn)為F0是反映巖石強(qiáng)度水平的一個物理量。

進(jìn)一步地，通過分析表1可以發(fā)現(xiàn)，Weibull分布函數(shù)的參數(shù)m和F0是隨圍壓σ3而發(fā)生變化的，從這一角度也可以得出圍壓條件綜合影響著巖石的脆性變形程度和強(qiáng)度水平；同時，根據(jù)表1可以得出參數(shù)m和F0與圍壓σ3之間的關(guān)系，本文采用二次多項(xiàng)式對其關(guān)系進(jìn)行擬合，其擬合結(jié)果見圖5和圖6。

圖5 參數(shù)m與圍壓σ3的擬合關(guān)系曲線Fig.5 Fitting relationship curve between m and confining pressure σ3

圖6 參數(shù)F0與圍壓σ3的擬合關(guān)系曲線Fig.6 Fitting relationship curve between F0 and confining pressure σ3

由圖5和圖6可見，Weibull分布函數(shù)的參數(shù)m和F0均與圍壓σ3具有一定的非線性關(guān)系，即隨著圍壓σ3的增大，參數(shù)m大致呈先減小后略增大的趨勢，參數(shù)F0呈先增大后略減小的趨勢,這同時也說明了圍壓條件綜合影響著巖石的脆性變形程度和強(qiáng)度水平。

3.2 任意圍壓條件下巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線的模擬

上述對給定試驗(yàn)圍壓條件下巖石的應(yīng)力-應(yīng)變曲線進(jìn)行了模擬，進(jìn)一步地基于有限數(shù)量的三軸壓縮試驗(yàn)，利用本文模型也可以獲取任意圍壓條件下巖石的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。具體方法如下：首先，將任意設(shè)定的圍壓代入圖5和圖6中的參數(shù)與圍壓之間的關(guān)系式中求取參數(shù)m和F0；然后，將求取的參數(shù)和公式(20)一同代入公式(8)中，即可獲得該圍壓條件下的巖石損傷本構(gòu)關(guān)系方程式；最后，以5個圍壓水平為例，利用本文模型得到相應(yīng)的巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線，見圖7。

圖7 任意圍壓條件下巖石的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.7 Rock stress-strain curves under various confining pressures

由圖7可見，本文模型能夠反映巖石變形破壞過程中的幾大典型特性：①巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰前彈性變形階段基本不隨圍壓變化而變化，即巖石的彈性模量基本不受圍壓的影響；②隨著圍壓的增大，巖石的變形特性由脆性轉(zhuǎn)為延性；③隨著圍壓的增大，巖石強(qiáng)度增大。因此，本文模型具有可靠性和實(shí)用性。

4 結(jié) 論

本文從能量角度出發(fā)，引入統(tǒng)計損傷理論，假定巖石微元強(qiáng)度服從Weibull分布，并基于三剪能量屈服準(zhǔn)則構(gòu)建了巖石的微元強(qiáng)度，進(jìn)而建立了基于三剪能量屈服準(zhǔn)則的應(yīng)變軟化巖石的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型，主要得到了以下結(jié)論：

(1) 從能量角度建立的巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型意義更加明確。

(2) 通過一組巖石三軸壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證，本文建立的基于三剪能量屈服準(zhǔn)則的應(yīng)變軟化巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型能夠反映巖石變形破壞過程中的典型特性，表明本文模型具有可靠性。

(3) 本文模型中各參數(shù)的物理力學(xué)意義明確，模型中特有的參數(shù)m反映的是巖石的脆性變形特性，F(xiàn)0反映的是巖石的強(qiáng)度水平。

(4) 本文模型能夠獲取任意圍壓條件下巖石的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，具有一定的實(shí)用性。