劉玉舒,戴炆君,劉 洋,王全榮

(1.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢) 環(huán)境學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.山東省地質(zhì)科學(xué)研究院，山東 濟(jì)南 250013)

單井注抽(Single-Well Push-Pull,SWPP)試驗(yàn)是在同一口井內(nèi)進(jìn)行注入和抽取示蹤劑，通過擬合獲取的井筒內(nèi)溶質(zhì)穿透曲線，從而獲取含水層物理化學(xué)參數(shù)的一種試驗(yàn)方法[1-3]。由于SWPP試驗(yàn)具有操作簡單、耗時(shí)短和成本低等優(yōu)點(diǎn)，從而被廣泛用于獲取含水層的彌散度、孔隙度、吸附解析系數(shù)等參數(shù)[4]。到目前為止，國內(nèi)外學(xué)者開展了大量的理論模型研究[5-6]。如Gelhar等[7]、Schroth等[8]和Wang等[9]推導(dǎo)了不同條件下SWPP試驗(yàn)的解析解，被廣泛用于獲取含水層的縱向彌散度；Humphrey等[10]、Harvey等[11]和Snodgrass等[12]建立了考慮一階化學(xué)反應(yīng)的SWPP試驗(yàn)數(shù)學(xué)模型。

但是，上述研究均忽略了弱透水層對SWPP試驗(yàn)結(jié)果的影響。實(shí)際的含水層系統(tǒng)通常是由透水性相對強(qiáng)的含水層和透水性相對弱的弱透水層構(gòu)成。弱透水層一般是由黏土或淤泥組成的低滲透性介質(zhì)，吸附性強(qiáng)，對溶質(zhì)運(yùn)移過程起著至關(guān)重要的作用。Zhan等[13]和Wang等[14]建立了考慮弱透水層的溶質(zhì)運(yùn)移模型，并指出弱透水層分子擴(kuò)散作用對含水層中溶質(zhì)遷移產(chǎn)生的影響不可忽略。為此，本文在前人研究的基礎(chǔ)上，將弱透水層效應(yīng)考慮到SWPP試驗(yàn)中，建立了含水層-弱透水層系統(tǒng)中考慮混合效應(yīng)的 SWPP 試驗(yàn)數(shù)學(xué)模型，且在含水層-弱透水層系統(tǒng)中考慮了弱透水層的分子擴(kuò)散作用，采用拉普拉斯變換和格林函數(shù)法獲得模型的半解析解，并通過與前人的解析解模型進(jìn)行對比，以驗(yàn)證本模型的可靠性。

1 含水層-弱透水層系統(tǒng)中SWPP試驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的建立

為了簡化數(shù)學(xué)模型，本文做出如下假設(shè)：①溶質(zhì)為反應(yīng)性溶質(zhì)，考慮一階化學(xué)反應(yīng)；②含水層-弱透水層系統(tǒng)中，假定含水層位于上、下兩個(gè)弱透水層之間，含水層是水平均質(zhì)等厚的，側(cè)向無限延伸；③注抽試驗(yàn)中的井是一口完整井，井半徑為rw。建立的含水層-弱透水層系統(tǒng)中SWPP試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型如下：

(1)

(2a)

(2b)

C(r,t)|t=0=Cu(r,z,t)|t=0=Cl(r,z,t)|t=0

(3)

(0

(4a)

(0

(4b)

(0

(5a)

Cinj(t)|t=0=0 (rw≤r≤re)

(5b)

(6a)

Cext(t)|t=tinj=Cinj(t)|t=inj(rw≤r≤re)

(6b)

C(r,t)|r→∞=Cu(r,t)|z→∞=Cl(r,t)|z→-∞=0

(7)

Cu(r,z=b,t)=C(r,t)

(8)

Cl(r,z=-b,t)=C(r,t)

(9)

2 數(shù)學(xué)模型解析解的推導(dǎo)

(10a)

(10b)

(10c)

(10d)

(10e)

(10f)

式中：s為拉普拉斯變量;Ctinj為注入階段結(jié)束時(shí)刻溶質(zhì)濃度。

2.1 注入階段解析解的推導(dǎo)

在注入階段，采用艾里函數(shù)推導(dǎo)解析解，弱透水層中溶質(zhì)運(yùn)移控制方程(10c)和(10e)的通解如下：

(11a)

(11b)

將弱透水層中溶質(zhì)運(yùn)移的通解(11a)和(11b)代入到(10a)中，可以得到含水層中溶質(zhì)運(yùn)移的控制方程如下：

(12)

含水層中溶質(zhì)運(yùn)移控制方程(12)的通解如下：

(13)

將含水層中溶質(zhì)運(yùn)移控制方程的通解(13)代入到邊界條件(7)、(8)、(9)中，可以得到：b0=0，

故可以得到注入溶質(zhì)階段含水層-弱透水層系統(tǒng)中的拉普拉斯域的解為

(14)

(15)

(16)

2.2 抽取階段解析解的推導(dǎo)

在抽取階段，采用格林函數(shù)法推導(dǎo)解析解，上層弱透水層中溶質(zhì)運(yùn)移的通解如下：

(17)

s)(A0,u,ext+B0,u,extZD);A0,u,ext=-B0,u,ext×ZD|ZD→∞;

0;C4,u,ext=[1-exp(a2,ext-a1,ext+a1,extZD-a2,extZD)]C2,u,ext.

在抽取階段，下層弱透水層中溶質(zhì)運(yùn)移的通解如下：

(18)

可以得到含水層中溶質(zhì)運(yùn)移的控制方程如下：

(19)

邊界條件如下：

(20)

在抽取階段，含水層中溶質(zhì)運(yùn)移的解析解為

(21)

上述推導(dǎo)得到了含水層及弱透水層中溶質(zhì)運(yùn)移在拉普拉斯域的解析解，該解包含艾里函數(shù)、格林函數(shù)等特殊函數(shù)，很難利用解析逆變換的方法進(jìn)行求解。因此，本文采用數(shù)值逆變換的方法來獲得實(shí)空間下的徑向溶質(zhì)遷移的解，即利用Stehfest數(shù)值逆變換方法得到溶質(zhì)遷移在實(shí)空間的解。

3 模型的驗(yàn)證

本研究的半解析解是Chen等[15]的半解析解的拓展，考慮了井筒內(nèi)的混合效應(yīng)和弱透水層的影響。為了檢驗(yàn)本模型的可靠性，將本模型的一個(gè)特解與Chen等[15]的半解析解進(jìn)行了比較。在本模型中，將hw-inj設(shè)置為0，表示本模型將不考慮混合效應(yīng)；將弱透水層中的分子擴(kuò)散系數(shù)設(shè)置為0，表示忽略弱透水層的影響，因此本模型的半解析解將與Chen等的半解析解相同。本模型參數(shù)設(shè)置如下：rw=0.2 m，re=100 m，αr=0.3 m，R=1，μ=10-6m-1，θ=0.2，B=10 m，tinj=100 d，Qinj=2.5 m3/d，text=500 d，Qext=2.5 m3/d。圖1為本研究與Chen等[15]解析解的溶質(zhì)穿透曲線對比。

圖1 本研究與Chen等[15]解析解的溶質(zhì)穿透曲線 對比Fig.1 Comparison between the Breakthrough Curves (BTCs) computed by analytical solution of this study and Chen et al.[15]

由圖1可見，本研究與Chen等[15]解析解的結(jié)果很好地吻合，說明本文建立的含水層-弱透水層系統(tǒng)中SWPP試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型是可靠的。

4 討 論

4.1 弱透水層溶質(zhì)擴(kuò)散作用對含水層中溶質(zhì)運(yùn)移的影響

圖2 弱透水層分子擴(kuò)散系數(shù)對井筒內(nèi)溶質(zhì)穿透 曲線的影響Fig.2 Influence of molecular diffusion coefficient of aquitard on BTCs at well screen

圖2為弱透水層分子擴(kuò)散系數(shù)對井筒內(nèi)溶質(zhì)穿透曲線的影響。圖中的兩條曲線分別表示整個(gè)單井注抽階段是否考慮弱透水層分子擴(kuò)散作用情況下井筒內(nèi)溶質(zhì)的穿透曲線。模型參數(shù)設(shè)置為：rw=0.2 m，re=600 m，αr=2 m，θm=θu=θl=0.36，B=4 m，tinj=1×107s，text=1×107s，Qinj=2.09×10-6m3/s，Qext=2.09×10-6m3/s，Du=Dl=1.16×10-6m2/s。其中αr的取值與Zhan等[13]的研究一致。當(dāng)上、下弱透水層的分子擴(kuò)散系數(shù)Du=Dl=1.16×10-9m2/s時(shí)，可以視為不考慮弱透水層分子擴(kuò)散作用的情況。

由圖2可見，在注入階段，當(dāng)考慮弱透水層分子擴(kuò)散作用的影響時(shí)，從含水層向弱透水層中發(fā)生擴(kuò)散的溶液越多，因此溶質(zhì)穿透曲線越低；在抽取階段前期，因?yàn)榭紤]含水層溶質(zhì)向弱透水層中的分子擴(kuò)散作用，含水層中存留的溶質(zhì)濃度越低，因此抽取階段早期溶質(zhì)穿透曲線越低；而在抽取階段后期，因?yàn)樗鞯姆聪虺槿?，也會有溶質(zhì)從弱透水層向含水層發(fā)生反向擴(kuò)散，因此抽取階段后期溶質(zhì)穿透曲線越高。

4.2 滲透系數(shù)對SWPP試驗(yàn)半解析解模型的影響

在含水層-弱透水層系統(tǒng)中，弱透水層對含水層中溶質(zhì)遷移的影響也是不可忽略的，為了研究本文模型的適用性，采用有限元軟件COMSOL Multiphysics建立了含水層-弱透水層系統(tǒng)中SWPP試驗(yàn)數(shù)值解模型來模擬實(shí)際情況下含水層-弱透水層系統(tǒng)中的溶質(zhì)運(yùn)移情況，并分析弱透水層滲透系數(shù)與含水層滲透系數(shù)的不同比值情況下SWPP試驗(yàn)半解析解模型的適用性。設(shè)置弱透水層滲透系數(shù)與含水層滲透系數(shù)的比值分別為0.01、0.02和0.1，其他模型參數(shù)設(shè)置為：re=100 m，rw=0.5 m，αr=2.5 m，R=1，μ=10-7m-1，θ=0.3，B=10 m，tinj=250 d，Qinj=m3/d，text=250 d，Qext=50 m3/d。在實(shí)際情況中，弱透水層滲透系數(shù)與含水層滲透系數(shù)的比值遠(yuǎn)小于0.1[16]，這里采用滲透系數(shù)比值為0.1的情況是為了與真實(shí)較小的滲透系數(shù)比值情況做對照。圖3為t=500 d時(shí)不同的弱透水層與含水層滲透系數(shù)比值情況下數(shù)值解與半解析解的對比。

圖3 t=500 d時(shí)不同的弱透水層與含水層滲透系數(shù) 比值情況下數(shù)值解與半解析解的對比Fig.3 Comparison between numerical and semi- analytical solutions at different conductivity ratios of the aquitard and aquifer when t=500 d

由圖3可見，當(dāng)弱透水層滲透系數(shù)與含水層滲透系數(shù)的比值越接近0.01時(shí)，半解析解模型與數(shù)值解模型井筒中溶質(zhì)濃度變化的BTC曲線擬合得越好，也就是說在此比值范圍附近半解析解模型的適用性越好，誤差可以忽略，精度可滿足實(shí)際工程需求。這是因?yàn)槿跬杆畬拥臐B透系數(shù)比含水層的滲透系數(shù)要小得多，所以此模型中只考慮含水層中徑向水流與弱透水層中垂向水流[17]，即數(shù)值解在滲透系數(shù)比值更小的情況下與半解析解的擬合度更好。

5 結(jié) 論

本文主要研究了單井注抽(SWPP)試驗(yàn)中弱透水層對SWPP試驗(yàn)中溶質(zhì)徑向彌散的影響，采用拉普拉斯變換和格林函數(shù)得到模型的半解析解，并通過與Chen等[15]的半解析解進(jìn)行比較，驗(yàn)證了此模型的準(zhǔn)確性，得到如下結(jié)論：

(1) 弱透水層的分子擴(kuò)散系數(shù)對溶質(zhì)運(yùn)移同樣具有影響，當(dāng)考慮弱透水層的擴(kuò)散作用時(shí)，含水層注入階段和抽取階段早期的井筒內(nèi)溶質(zhì)穿透曲線越低，而抽取階段晚期的井筒內(nèi)溶質(zhì)穿透曲線越高。

(2) 通過與數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果表明：弱透水層滲透系數(shù)與含水層滲透系數(shù)的比值越接近0.01時(shí)，半解析解模型與數(shù)值解模型井筒中溶質(zhì)濃度變化的BTC曲線擬合得越好，也就是說在此比值范圍附近半解析解模型的適用性越好，誤差可以忽略，精度符合實(shí)際工程需求。此半解析解模型在弱透水層滲透系數(shù)與含水層滲透系數(shù)差異較大時(shí)適用，在弱透水層滲透系數(shù)與含水層滲透系數(shù)的比值接近0.01時(shí)適用性最好。