于 澗, 劉 玲, 連俊芳

(1.沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034; 2.北華航天工業(yè)學(xué)院 文理學(xué)院, 河北 廊坊 065000; 3.懷仁十一中, 山西 懷仁 038399)

0 引 言

非線性偏微分方程[1]作為數(shù)學(xué)模型在很多領(lǐng)域中都起著重要作用。作為描述波包在非線性介質(zhì)中傳播的方程-非線性薛定諤方程,在非線性物理方程學(xué)中具有重要地位。光纖幾乎都是非均勻的,在實際應(yīng)用中其損耗一般是不能達(dá)到理想化的,于是采用非線性薛定諤方程[2]描述其對應(yīng)的傳輸過程。上述方程已具有其對應(yīng)解法,如相似變換法[3]、Hirota方法[4]等。又因為光脈沖傳播較為復(fù)雜,且長距離傳播和其他客觀原因所引起的損耗是不能忽視的, 于是建立變系數(shù)耦合非線性薛定諤方程[5]模型。高維耦合非線性薛定諤方程[6-9]的解可以解釋相對較豐富的物理現(xiàn)象。所以將(1+1)-變系數(shù)耦合非線性薛定諤方程拓展到(2+1)-維變系數(shù)耦合非線性方程。

1 孤子解

應(yīng)用(2+1)-維變系數(shù)耦合非線性薛定諤系統(tǒng)描述帶有偏振效應(yīng)的二維漸變折射率非線性波導(dǎo)放大器內(nèi)一束光的傳輸過程:

構(gòu)造變換:

這里的g和h是關(guān)于x,y,t的復(fù)函數(shù),f是實函數(shù)。

其中Dx,Dy和Dz是雙線性算子,f(x,y,t)是變量x,y與t的可微函數(shù)。

當(dāng)μ(t)=β(t)γ2(t)-γ′(t),令χ(t)=aβ(t),a為常數(shù),方程(3)和方程(4)的雙線性形式如下所示:

基于式(5)和式(6),方程組(1)和方程組(2)的孤子解可由以下展開式得到:

式中:ε是參量;gi和hi(i=1,3,5,…)是x,y和t的復(fù)函數(shù);fj(j=2,4,6,…)是x,y和t的實函數(shù)。把式(7)和式(8)代入雙線性形式(5)和式(6)中,令ε的同冪次項系數(shù)為零,當(dāng)N=1時,式(5)和式(6)可截斷至

g=εg1=εAeθ,h=εh1=εBeθ,f=1+ε2f2=1+ε2Ceθ+θ*,

可以得到

當(dāng)N=1時,取ε=1,從而可得(2+1)-維變系數(shù)耦合非線性薛定諤方程(1)和方程(2)的單孤子解為

2 孤子的傳輸特性

2.1 畸形波

根據(jù)(2+1)-維變系數(shù)耦合非線性薛定諤方程(1)和方程(2)的解(12)、(13),選取如下所示參量得到畸形波[14-15]解。

圖1 畸形波解u1的演化圖像(y=0;x=0)

2.2 單孤子的傳輸特性

圖2顯示了當(dāng)k1=1,k2=2,A=B=1且β(t)=χ(t)=1時γ(t)=0,即衍射效應(yīng)和非線性效應(yīng)都為常數(shù),增益(損耗)系數(shù)為零,在x-t,y-t平面上單孤子以亮孤子的形式傳輸,且方向、寬度和振幅均保持不變,孤子可以穩(wěn)定的傳輸信息。

圖2 單孤子解u1的演化圖像(y=0;x=0)

3 總結(jié)與展望

基于一類薛定諤方程的孤子解和畸形波解定量分析傳輸特性和衍射效應(yīng)等因素在光束傳輸過程中對光纖傳輸?shù)挠绊?并列舉了不同參數(shù)下畸形波解和孤子解的演化過程。根據(jù)上述對比,結(jié)合實際需求可選取合適的參數(shù)使損耗降到最小。