王賀元, 楊躍男, 柏孟卓

(沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 沈陽 110034)

混沌是非線性系統(tǒng)特有的一種運動形式,產生于確定性系統(tǒng)的依賴于初始條件的往復穩(wěn)態(tài)非周期運動,類似于隨機振動而具有長期不可預測性[1]。1963年,氣象學家洛倫茲在數(shù)值實驗中發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象,隨后,經過Kuhu、Li、和Yorke以及May等對混沌的進一步研究,到近代的呂金虎、陳關榮等又提出統(tǒng)一混沌系統(tǒng)[2]。這些開創(chuàng)性工作對混沌理論的應用起到了至關重要的推動作用?；煦缋碚撛诒姸囝I域均有廣泛的應用,如環(huán)型圓管內的對流問題:豎直放置的環(huán)型圓管內充滿流體,環(huán)境溫度下熱上冷,當?shù)撞繙囟冗_到一定值時,管內流體發(fā)生對流現(xiàn)象。本文通過分析和仿真環(huán)型圓管裝置所對應的數(shù)學模型的動力學行為,分析解釋了圓管內的對流現(xiàn)象。

1 環(huán)型圓管對流的數(shù)學模型

豎直放置的環(huán)型圓管內充滿流體,環(huán)境溫度下熱上冷。開始流體靜止,上下流體內的溫差到達一定值后,流體開始在管內對流耗散,忽略粘性流體運動時能耗所產生的熱量,并假定通過管壁的熱傳導速率正比于流體溫度與壁外環(huán)境溫度的差,得出能量方程的近似分解式[3]。文獻[3]給出了該數(shù)學模型的動力學方程式:

(1)

1.1 系統(tǒng)的對稱性和不變性

該類洛倫茲系統(tǒng)具有對稱性,即在變換(X,Y,Z)→(-X,-Y,Z)下具有不變性,系統(tǒng)(1)關于Z軸具有對稱性,且這種對稱性對所有的系統(tǒng)參數(shù)均成立[4]。

1.2 耗散性和吸引子的存在性

1.3 平衡點及穩(wěn)定性

再線性化,就得到該平衡點的穩(wěn)定性方程為

將(X0,Y0,Z0)=(0,0,0)帶入穩(wěn)定性方程,得該點的雅可比矩陣為

當01時,λ的2個根為負實數(shù),一根為正實數(shù),因此(O)是不穩(wěn)定的,因此r=1是一個過渡點。(O)在該點從穩(wěn)定過渡到不穩(wěn)定。同時,在這一過渡點上,新的平衡點(C1)和(C2)開始出現(xiàn)。

特征方程為λ3+(2+P)λ2+(r+P)λ+2P(r-1)=0。

2 系統(tǒng)參數(shù)的影響

根據(jù)上面的分析,隨著系統(tǒng)參數(shù)的改變,系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性也發(fā)生變化,從而系統(tǒng)將處于不同的狀態(tài)[9]。下面進行分岔及軌道的討論與分析。

當r≤r1=1時,只有一個定點O(0,0,0),它是穩(wěn)定的。當r>r1時,O變?yōu)椴环€(wěn)定,同時出現(xiàn)了另外2個穩(wěn)定的定點C1和C2,故在r=r1=1時出現(xiàn)音叉分岔。當rrh時共軛復根的實部變?yōu)檎摹？梢妑=rh是霍普夫分岔點,這時環(huán)型圓管發(fā)生渦流現(xiàn)象,是正臨界霍普夫分岔,分岔形成的極限環(huán)是不穩(wěn)定的[10]。即當r>rh時,圍繞C1和C2可能出現(xiàn)不穩(wěn)定周期解,這種不穩(wěn)定極限環(huán)在系統(tǒng)內的起伏作用下,將轉變?yōu)槠渌问降倪\動,也就是混沌[11],即此時環(huán)型圓管內的流體的運動方式為混沌運動,這對應于環(huán)型圓管內當?shù)撞繙囟戎饾u升高時,流體由靜止到失穩(wěn),從對流到湍流的復雜流動。

3 系統(tǒng)的分岔與混沌的數(shù)值模擬

隨著雷諾數(shù)r的增大,類洛倫茲系統(tǒng)(1)的動力學行為發(fā)生了一系列變化,如出現(xiàn)霍普夫分岔和混沌等非線性現(xiàn)象[12]。首先,對系統(tǒng)(1)進行數(shù)值求解,進而畫出仿真圖以揭示系統(tǒng)的混沌行為。圖1給出了狀態(tài)變量x隨r變化的全程分岔圖,展示了系統(tǒng)分岔和混沌演變的全過程,系統(tǒng)通過陣發(fā)途徑發(fā)生混沌,在混沌中出現(xiàn)了3個周期窗口,說明此系統(tǒng)的周期運動比較穩(wěn)定[13]。圖2給出了系統(tǒng)隨參數(shù)r變化的最大Lyapunov指數(shù)譜。從圖中可以看出最大Lyapunov指數(shù)大于零的區(qū)域與分岔圖1顯示的混沌區(qū)域是一致的[14]。

圖1 系統(tǒng)(1)雷諾數(shù)在0≤r≤400范圍內狀態(tài)變量x的分岔圖

圖2 系統(tǒng)(1)雷諾數(shù)在0≤r≤400范圍內最大Lyapunov指數(shù)圖

4 結 論

本文研究了環(huán)型圓管內的流體對流的三模態(tài)類洛倫茲型方程組的部分動力學行為。數(shù)值模擬了由不穩(wěn)定周期到達混沌所展現(xiàn)的動力學行為。仿真結果表明,此系統(tǒng)隨著參數(shù)增加,由不穩(wěn)定的周期軌道經暫態(tài)混沌直接進入混沌狀態(tài)。相對應的物理現(xiàn)象表現(xiàn)為隨著底部溫度的逐漸升高,管內流體發(fā)生復雜的對流現(xiàn)象。環(huán)型圓管的對流行為是由于雷諾數(shù)r的不斷增大產生,在此過程中系統(tǒng)發(fā)生由穩(wěn)定的不動點到周期軌道,再失去穩(wěn)定性進入混沌區(qū)域[15]。

致謝感謝沈陽師范大學博士啟動基金項目的支持(054-91900302009)。