羅金炎, 徐 飛, 李 燕, 吳嘉穎, 沈 煜

(1.閩江學(xué)院 數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院, 福州 350108;2.閩江學(xué)院 新華都商學(xué)院, 福州 350108)

0 引 言

福建省地處沿海,其海岸線長(zhǎng)度位居全國(guó)第二位,陸地海岸線長(zhǎng)達(dá)3 751.5 km,其受臺(tái)風(fēng)侵?jǐn)_較為頻繁,從1945—2018年在福建省登陸的臺(tái)風(fēng)多達(dá)130多起,造成直接經(jīng)濟(jì)損失513.1億元。經(jīng)濟(jì)發(fā)展的同時(shí),臺(tái)風(fēng)帶來(lái)的直接經(jīng)濟(jì)損失也越來(lái)越高,臺(tái)風(fēng)等氣象災(zāi)害已經(jīng)成為制約福建省社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的主要因素。因此,在面臨巨大的自然災(zāi)害時(shí),如何基于預(yù)報(bào)信息和觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)其可能造成的經(jīng)濟(jì)損失分布進(jìn)行研究是十分必要的.

極值理論創(chuàng)立之初常用來(lái)分析具有極端概率罕見(jiàn)的情況[1],如海嘯、地震、臺(tái)風(fēng)等。后來(lái)在1990年左右,極值理論被證實(shí)能有效擬合出金融資產(chǎn)報(bào)酬率分布的厚尾特征,在貨幣和信用危機(jī)對(duì)金融市場(chǎng)的沖擊下,極值理論被廣泛應(yīng)用于金融市場(chǎng)[2]的極端價(jià)格波動(dòng),因而極值理論的主要研究對(duì)象也變成了金融收益的尾部特征[3].我國(guó)對(duì)極值理論的研究起步較晚,現(xiàn)有的參考文獻(xiàn)相對(duì)較少。2006年李曉渝等[3]使用極值理論方法研究了期貨保證金設(shè)定的實(shí)證研究;2013年陸靜、張佳等[1]使用極值理論和多元Copula函數(shù)的商業(yè)銀行操作風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量研究。

本文使用復(fù)合模型(POT模型與對(duì)數(shù)正態(tài)分布)對(duì)福建省1992—2018年臺(tái)風(fēng)災(zāi)害的經(jīng)濟(jì)損失額進(jìn)行擬合研究,分析福建省歷年臺(tái)風(fēng)巨災(zāi)損失的厚尾特征。因受極值數(shù)據(jù)的影響,福建省歷年臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失不符合傳統(tǒng)正態(tài)分布,所以使用廣義帕累托分布(GPD)與對(duì)數(shù)正態(tài)分布的復(fù)合分布來(lái)對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,充分體現(xiàn)在極值數(shù)據(jù)影響下的優(yōu)勢(shì)。為今后的氣象災(zāi)害損失額度的分析、金融產(chǎn)品開(kāi)發(fā)等提供科學(xué)依據(jù),具有重要的實(shí)際意義。

1 模型概述

1.1 極值理論的原理

極值理論[4]是次序統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要分支之一,主要用于研究具有極端變異性的數(shù)據(jù)并進(jìn)行建模,能有效的處理與概率分布均值偏離極大的數(shù)據(jù)。極值理論經(jīng)多年的繼承和發(fā)展,現(xiàn)今超閾值模型(POT)和區(qū)間極大值模型(BMM)已較為成熟。POT模型與BMM模型都是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對(duì)分布的尾部進(jìn)行擬合,與慣用的整體建模不同,主要差異在于樣本數(shù)據(jù)的選取方式。POT模型是設(shè)定一個(gè)閾值,選取超出閾值的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行建模,該模型可用廣義帕累托分布(GPD)[4]擬合,但廣義帕累托分布(GPD)閾值的選取方法有多種,因此在選取閾值時(shí)使用的方法具有一定的主觀性,從而易導(dǎo)致閾值設(shè)定不合理。綜上所述,POT模型能彌補(bǔ)BMM模型的缺陷且所需的樣本數(shù)據(jù)量較少,在生產(chǎn)應(yīng)用中更為有效。

1.2 超閾值模型、對(duì)數(shù)正態(tài)分布概述

超閾值模型(Peaks Over Threshold,POT)[4]基于廣義帕累托分布擬合超限分布。換言之也是對(duì)閾值(Threshold)超出額的所有觀測(cè)樣本數(shù)據(jù)來(lái)建模,從而漸近刻畫分布的尾部特征。

POT模型能最大限度的使用極值數(shù)據(jù)且其分布一般具有厚尾性[5]。缺失的數(shù)據(jù)與總體分布對(duì)POT模型影響比較小,但是POT模型在擬合福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失分布時(shí),選取的閾值具有較大的主觀性,而對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失分布的擬合有輔助作用,能彌補(bǔ)POT模型存在的一些缺陷。因此本文使用復(fù)合模型(對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型與POT模型)來(lái)研究福建省臺(tái)風(fēng)巨災(zāi)的損失分布,能讓擬合更加準(zhǔn)確和有效。

2 福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害直接經(jīng)濟(jì)損失的實(shí)證研究

2.1 相關(guān)數(shù)據(jù)的基本統(tǒng)計(jì)描述

以福建省1992—2018年臺(tái)風(fēng)造成的直接經(jīng)濟(jì)損失作為直接觀測(cè)值。對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理優(yōu)化, 剔除了一些殘缺的數(shù)據(jù),總共留下有效數(shù)據(jù)47組。因?yàn)閿?shù)據(jù)時(shí)間的間隔比較大,為消除一些不必要的影響因素如物價(jià)水平,本文將以福建省1992年的真實(shí)發(fā)展指數(shù)GPI(1992=100)為指定基指數(shù),對(duì)福建省歷年每次臺(tái)風(fēng)造成的損失數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整,優(yōu)化調(diào)整所需要的數(shù)據(jù)來(lái)自福建省統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站。

本文采用的優(yōu)化調(diào)整公式[6]為

(1)

其中S=GPI(1992=100),調(diào)整后的數(shù)據(jù)為Yi(i=1,2,3,…),歷年臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失數(shù)據(jù)為Xi(i=1,2,3,…)。調(diào)整完成后用SPSS軟件對(duì)福建省1922—2018年臺(tái)風(fēng)造成的直接經(jīng)濟(jì)損失數(shù)據(jù)進(jìn)行基本的統(tǒng)計(jì)描述,詳細(xì)情況見(jiàn)數(shù)據(jù)表1。

表1 福建省1992—2018年臺(tái)風(fēng)災(zāi)經(jīng)濟(jì)損失額基本統(tǒng)計(jì)描述(億元)

經(jīng)過(guò)基本統(tǒng)計(jì)描述,由表1可以看出,福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害經(jīng)濟(jì)損失額的偏度和峰度分別為3.19、14.48,而正態(tài)分布的值偏度為0,峰度為3,由此可知福建省1992—2018年臺(tái)風(fēng)災(zāi)害經(jīng)濟(jì)損失額明顯偏離了正態(tài)分布。

其中峰度公式為

(2)

當(dāng)Kurt=3時(shí)為正態(tài)分布,當(dāng)Kurt>3時(shí)表現(xiàn)為厚尾,當(dāng)Kurt<3時(shí)表現(xiàn)為薄尾。

2.2 極值數(shù)據(jù)分布的厚尾特征檢驗(yàn)

使用SPSS軟件的正態(tài)P-P圖和頻率直方圖對(duì)福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額進(jìn)行厚尾檢驗(yàn),畫出福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額的P-P圖和頻率直方圖,如圖1和圖2所示。

圖1 1992—2018年福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額正態(tài)P-P圖

圖2 1992—2018年福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額頻率直方圖

由圖2頻率直方圖可知,福建省1992—2018年臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額有明顯的“厚尾、尖峰、右偏”等特征。為提高檢驗(yàn)的可信度和證明福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額的厚尾特征,綜合圖1觀察可得,P-P圖偏離正態(tài)直線向下凸,福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額觀測(cè)的累積概率與期望的累積概率近似分布對(duì)角線在上,由此可知福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額符合厚尾特征。由于受極值數(shù)據(jù)的影響,單一的使用正態(tài)分布來(lái)擬合福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額已不適合,所以將使用廣義帕累托分布(GPD)與對(duì)數(shù)正態(tài)分布復(fù)合模型來(lái)對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。

2.3 廣義帕累托分布檢驗(yàn)

對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行帕累托分布檢驗(yàn),將使用檢驗(yàn)工具帕累托檢驗(yàn)紙,其檢驗(yàn)原理是在其變換下讓符合帕累托分布的函數(shù)表現(xiàn)出一條為直線的圖形。若樣本數(shù)據(jù)xi(i=1,2,3,…)來(lái)自帕累托分布,樣本數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后得到y(tǒng)i=(xi-μ)/σ,則有點(diǎn)(xi,yj)組成一條近似直線。

使用電子表格Excel對(duì)福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額進(jìn)行帕累托分布檢驗(yàn),觀察圖3可以看出福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額近似一條直線,滿足帕累托分布的前提假設(shè),福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額滿足帕累托分布。

圖3 帕累托分布檢驗(yàn)

2.4 對(duì)數(shù)正態(tài)分布檢驗(yàn)

對(duì)數(shù)正態(tài)分布檢驗(yàn)只能使用SPSS軟件中的P-P圖或者Q-Q圖,本文使用P-P圖進(jìn)行對(duì)數(shù)正態(tài)分布檢驗(yàn)。P-P圖檢驗(yàn)對(duì)數(shù)正態(tài)分布主要看其殘差圖形狀是否有規(guī)律,而不僅僅看其波幅,至于波幅在什么范圍并沒(méi)有一個(gè)通用的標(biāo)準(zhǔn),一般波幅最大不超過(guò)0.06,其對(duì)應(yīng)的累積百分點(diǎn)在0.6以上。對(duì)于樣本數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)點(diǎn)基本緊緊地圍繞在P-P圖的45度線上,基本上就符合對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

本文使用樣本數(shù)據(jù)47組,為了提高檢驗(yàn)的準(zhǔn)確性,在進(jìn)行對(duì)數(shù)正態(tài)分布檢驗(yàn)時(shí),將剔除樣本數(shù)據(jù)的異常值,即5組最大值和5組最小值。使用Excel對(duì)37組福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額取對(duì)數(shù),再使用SPSS軟件對(duì)福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額的對(duì)數(shù)進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)并繪制出檢驗(yàn)的Q-Q圖,如表2、圖4所示。

圖4 1992—2018福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額對(duì)數(shù)正態(tài)檢驗(yàn)Q-Q圖

表2 臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額對(duì)數(shù)正態(tài)性檢驗(yàn)

由表2可知,sig.=0.2>0.005,福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額的對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布,進(jìn)一步觀察其Q-Q圖確認(rèn),可見(jiàn)樣本點(diǎn)基本在直線附近,福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額的對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布[7]。

2.5 POT模型的閾值選取

POT模型閾值選取采用平均超出量函數(shù)(Mean Excess Function,MEF)[4]。當(dāng)0<ζ

(3)

由式(3)可以看出超均值函數(shù)為閾u值的線形函數(shù)[8]。將福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額的47組數(shù)據(jù)導(dǎo)入到統(tǒng)計(jì)軟件R.studio中并畫出其平均超限函數(shù)圖和POT模型的Hill圖。如圖5福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失數(shù)據(jù)的MEF圖可以看出,福建省歷年臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失數(shù)據(jù)觀測(cè)樣本的超額均值有明顯的上升趨勢(shì),分析得出觀測(cè)樣本符合廣義帕累托分布(形狀參數(shù)ζ>0)。觀察圖6,看出尾部指數(shù)大概超過(guò)15個(gè)樣本數(shù)據(jù)以后變得相當(dāng)平穩(wěn)。綜上,可以將最初閾值u確定為45.07億元,小于閾值(u=45.07億元)的臺(tái)風(fēng)損失認(rèn)為是正常,超出閾值(u=45.07億元)的臺(tái)風(fēng)損失將視為極值。

圖5 福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失數(shù)據(jù)的MEF圖

圖6 福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失數(shù)據(jù)的Hill圖

2.6 相關(guān)參數(shù)估計(jì)

由于涉及的總體樣本極值數(shù)據(jù)量較小,所以將采用基于GPD分布的極大似然估計(jì)法進(jìn)行相關(guān)參數(shù)的估計(jì)[9]。

使用MATLAB軟件進(jìn)行擬合計(jì)算,得形狀參數(shù)ζ為0.493,尺度參數(shù)β為43.21。1992—2018年福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害經(jīng)濟(jì)損失分布函數(shù)為

(4)

2.7 高分位數(shù)估計(jì)

文獻(xiàn)[6]給定某個(gè)p值,得出高分位數(shù)點(diǎn)的估計(jì)[7]公式:

(5)

由式(5),通過(guò)Excel分析計(jì)算得到結(jié)果,如表3所示。從分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)角度觀察,福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額小于等于147.38億元的概率為0.95,小于等于335.96億元的概率為0.99,小于等于462.42億元的概率為0.995,小于等于828.85億元的概率為0.999。

表3 福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額的高分位數(shù)點(diǎn)估計(jì)

3 結(jié) 論

受極值數(shù)據(jù)的影響,福建省1992—2018年臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額明顯不符合傳統(tǒng)正態(tài)分布,因此本文使用了超閾值模型復(fù)合對(duì)數(shù)正態(tài)模型對(duì)福建省歷年臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失額進(jìn)行了分析研究。選取的POT模型能最大限度的使用極值數(shù)據(jù)并且缺失的數(shù)據(jù)對(duì)POT模型影響比較小,總體分布對(duì)其沒(méi)有影響,復(fù)合的對(duì)數(shù)正態(tài)分布能改善POT模型選取閾值具有的較大主觀性,因此復(fù)合模型能充分體現(xiàn)在極值數(shù)據(jù)影響下的優(yōu)勢(shì)。結(jié)合復(fù)合模型對(duì)福建省1992—2018年臺(tái)風(fēng)災(zāi)損失額進(jìn)行了對(duì)數(shù)正態(tài)分析、帕累托分析和高分位估計(jì),并使用參數(shù)估計(jì)得出進(jìn)行臺(tái)風(fēng)巨災(zāi)金融產(chǎn)品開(kāi)發(fā)的相關(guān)參數(shù)?？蔀榻窈蟮臍庀鬄?zāi)害損失額度的分析、巨災(zāi)類金融產(chǎn)品開(kāi)發(fā)提供科學(xué)依據(jù)[10]。

致謝感謝閩江學(xué)院校長(zhǎng)基金項(xiàng)目(103952019031)的資助。