劉玉忠, 李珊玉

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

0 引 言

線性參數(shù)變化(LPV)系統(tǒng)是一類時(shí)變系統(tǒng),其狀態(tài)空間模型的矩陣是某些時(shí)變參數(shù)的確定函數(shù),而這些時(shí)變參數(shù)是可以實(shí)時(shí)測(cè)量的[1]。LPV系統(tǒng)的出現(xiàn)從某種意義上解決了復(fù)雜非線性系統(tǒng)的建模問(wèn)題。近年來(lái),LPV系統(tǒng)的控制方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程中,如導(dǎo)彈自動(dòng)導(dǎo)航、飛行控制、機(jī)器人控制等領(lǐng)域,成為控制理論中研究的熱點(diǎn)問(wèn)題[2-5]。

在LPV系統(tǒng)中,系統(tǒng)矩陣已含有參數(shù)不確定的部分,但實(shí)際建模過(guò)程中還有結(jié)構(gòu)不確定性的存在,如測(cè)量誤差、輸入條件的變化、傳感器等部件非正常工作及外界的干擾均會(huì)引起結(jié)構(gòu)不確定性的出現(xiàn)[6-7]。此外,在各類工業(yè)系統(tǒng)中,時(shí)滯現(xiàn)象是很普遍的,如皮帶傳輸、極緩慢的過(guò)程或復(fù)雜的在線分析儀等[8]。因此,對(duì)不確定時(shí)滯LPV系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定問(wèn)題進(jìn)行分析具有更實(shí)際的意義,這給研究工作帶來(lái)相當(dāng)大的難度。目前,對(duì)于不確定時(shí)滯LPV系統(tǒng)的研究結(jié)果還相當(dāng)有限,而且大部分沒(méi)有考慮結(jié)構(gòu)不確定和時(shí)滯帶來(lái)的影響。Apkarian等[9]通過(guò)優(yōu)化方法設(shè)計(jì)線性變參數(shù)控制器,將線性變參數(shù)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)換為魯棒控制問(wèn)題,Ilka和Vesely[10]提出一種基于線性參數(shù)變化的增益調(diào)度控制器的設(shè)計(jì)方法,Buzachero等[11]給出具有衰減率性能指標(biāo)和控制器規(guī)范優(yōu)化的連續(xù)時(shí)間不確定切換LPV系統(tǒng)控制的改進(jìn)方法。Sun和Zhao[12]研究一類時(shí)變時(shí)滯切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性和L2增益問(wèn)題,Wu和Grigoriadis[13]利用參數(shù)相關(guān)Lyapunov函數(shù)法,研究變參數(shù)時(shí)滯LPV系統(tǒng)的穩(wěn)定性和誘導(dǎo)L2范數(shù)性能,Lu和Wu[14]利用多參數(shù)相關(guān)Lyapunov函數(shù)法研究LPV系統(tǒng)的切換控制問(wèn)題,以提高系統(tǒng)性能和控制設(shè)計(jì)的靈活性,Sun等[15]針對(duì)有時(shí)變時(shí)滯的LPV系統(tǒng),考慮時(shí)滯相關(guān)的H∞控制問(wèn)題。

本文對(duì)一類不確定時(shí)滯LPV系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行分析和研究,通過(guò)構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函,利用Schur補(bǔ)性質(zhì),將矩陣不等式轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)MI,然后引入二次型性能指標(biāo),分析系統(tǒng)的魯棒性能,最后由于參數(shù)存在依賴性,利用近似基函數(shù)和網(wǎng)格技術(shù)的方法,將無(wú)限維的LMI轉(zhuǎn)化為有限維的LMI,從而把不確定時(shí)滯LPV系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問(wèn)題歸結(jié)為線性矩陣不等式的求解問(wèn)題。

1 問(wèn)題描述

考慮如下的不確定時(shí)滯LPV系統(tǒng):

(1)

假設(shè)實(shí)矩陣ΔA(ρ),ΔAd(ρ)具有如下不確定的形式:

其中:D(ρ),E(ρ),Ed(ρ)是已知適當(dāng)維數(shù)的矩陣;F(ρ)∈Ri×j是滿足FT(ρ)F(ρ)≤I的未知不確定參數(shù)矩陣。下面是本文用到的引理。

引理1[8]給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y,D,E,其中Y是對(duì)稱的,則

Y+DFE+ETFTDT<0

對(duì)所有滿足FTF≤I的矩陣F成立,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)ε>0,使得

Y+εDDT+ε-1ETE<0

2 主要結(jié)果

本文主要研究不確定時(shí)滯LPV系統(tǒng)(1)的魯棒穩(wěn)定性問(wèn)題。

定理1 如果存在標(biāo)量ε>0,對(duì)稱正定矩陣P(ρ),Q,其中P(ρ)為連續(xù)可微的矩陣函數(shù),使得

(2)

證明 選取Lyapunov-Krasovskii泛函為

(3)

V(x,ρ)沿著系統(tǒng)(1)軌跡的導(dǎo)數(shù)為

(4)

(5)

根據(jù)引理1可知,式(5)中的矩陣小于零,對(duì)所有滿足FT(ρ)F(ρ)≤I的參數(shù)不確定性矩陣F(ρ)都成立,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)標(biāo)量ε>0,使得

整理得

(6)

(7)

為分析系統(tǒng)的魯棒性能,考慮一個(gè)二次型性能指標(biāo),其中S>0為給定的加權(quán)矩陣:

(8)

定理2 對(duì)系統(tǒng)(1)和性能指標(biāo)(8),若存在對(duì)稱正定矩陣P(ρ)和Q,使得對(duì)所有滿足FT(ρ)F(ρ)≤I的參數(shù)不確定矩陣F(ρ)有

(9)

則系統(tǒng)(1)是魯棒穩(wěn)定的,且對(duì)于所允許的不確定參數(shù)不確定矩陣,性能指標(biāo)(8)滿足

證明 從矩陣不等式(9)可以推出

(10)

(11)

將式(11)左右兩邊從t=0到t=∞積分,并利用系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性得

注1 定理2中的條件(9)不是關(guān)于變量P(ρ)和Q的線性矩陣不等式,下面將該定理的條件轉(zhuǎn)化成一個(gè)容易檢驗(yàn)的LMI的可行性問(wèn)題。

定理3 對(duì)于給定的系統(tǒng)(1)和性能指標(biāo)(8),若存在標(biāo)量ε>0,對(duì)稱正定矩陣X(ρ)和Q,使得

(12)

則不確定時(shí)滯LPV系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的,且對(duì)所有允許的不確定性,性能指標(biāo)滿足

證明 與定理1的證明類似,矩陣不等式(9)對(duì)所有允許的不確定性成立,當(dāng)且僅當(dāng)存在標(biāo)量ε>0,使得

(13)

應(yīng)用Schur補(bǔ)性質(zhì),式(13)等價(jià)于

(14)

式(14)左右兩邊的矩陣分別左乘和右乘diag{P-1(ρ),I,I},記X(ρ)=P-1(ρ),則式(14)等價(jià)于

(15)

(16)

利用Schur補(bǔ)性質(zhì),(16)式等價(jià)于式(12),對(duì)式(12)左右兩邊的矩陣分別左乘和右乘矩陣diag{I,Q-1,I,I},記W=Q-1,則式(12)等價(jià)于

因此,系統(tǒng)(1)是魯棒穩(wěn)定的。

注2 由于在對(duì)Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)時(shí)產(chǎn)生參數(shù)部分的導(dǎo)數(shù)項(xiàng),導(dǎo)致線性矩陣不等式(2)和(12)是無(wú)限維的,利用近似基函數(shù)和網(wǎng)格技術(shù),將其轉(zhuǎn)化為有限維的線性矩陣不等式。選取近似基函數(shù)為fi(ρ),i=1,2,…,nf,則

3 結(jié) 論

文章研究了不確定時(shí)滯LPV系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定問(wèn)題。構(gòu)造L-K泛函,利用Schur補(bǔ)引理處理矩陣不等式,并引入二次型性能指標(biāo),分析了系統(tǒng)的魯棒性能。利用近似基函數(shù)和網(wǎng)格技術(shù)的方法,將無(wú)限維的LMI轉(zhuǎn)化為有限維的LMI,有效地解決了LMI的求解問(wèn)題。