梅恒瑞

數(shù)學中，數(shù)和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系。在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉化，相互滲透。用字母表示數(shù)，結合圖形呈現(xiàn)的規(guī)律和特征，把數(shù)和數(shù)量之間的關系巧用代數(shù)式簡明地表示出來，這是解決圖形問題的常規(guī)方法和路徑。

例1925年，數(shù)學家莫倫發(fā)現(xiàn)了世界上第一個完美長方形（見下圖），它恰好可以被分成10個不同的正方形，其中標注1，2的正方形邊長分別為x，y。

（1）用含有x，y的代數(shù)式表示這10個正方形邊長;

（2）當x=5時，求此時完美長方形的周長和面積。

【解題過程】根據(jù)正方形4條邊長相等這一幾何性質，逐一求各個正方形的邊長。

（1）根據(jù)題意：第3個正方形邊長為x+y;第4個正方形的邊長為x+y+y=x+2y;第5個正方形的邊長為x+2y+y=x+3y;第6個正方形的邊長為（x+3y）+（y-x）=4y;第7個正方形的邊長為4y-x;第8個正方形的邊長為（4y-x）+[（4y-x）-x-（x+y）]=7y-4x;第9個正方形的邊長為（7y-4x）+[（4y-x）-x-（x+y）]=10y-7x;第10個正方形的邊長為（4y-x）-x-（x+y）=3y-3x。

（2）由圖形，可知第5個和第6個正方形的邊長之和等于第8個和第9個正方形邊長的和，從而（x+3y）+4y=（10y-7x）+（7y-4x），即6x=5y，當x=5，則y=6，該完美長方形的長為15y-5x=65，寬為（x+3y）+4y=47，所以周長為224，面積為65×47=3055。

【反思】結合圖形，從邊長最易用代數(shù)式表示的正方形開始，由易到難，逐一突破。利用數(shù)形結合思想，用代數(shù)式表示數(shù)量關系和變化規(guī)律，實現(xiàn)思維的質的飛躍。