梅恒瑞
數(shù)學中,數(shù)和形是兩個最主要的研究對象,它們之間有著十分密切的聯(lián)系。在一定條件下,數(shù)和形之間可以相互轉化,相互滲透。用字母表示數(shù),結合圖形呈現(xiàn)的規(guī)律和特征,把數(shù)和數(shù)量之間的關系巧用代數(shù)式簡明地表示出來,這是解決圖形問題的常規(guī)方法和路徑。
例1925年,數(shù)學家莫倫發(fā)現(xiàn)了世界上第一個完美長方形(見下圖),它恰好可以被分成10個不同的正方形,其中標注1,2的正方形邊長分別為x,y。
(1)用含有x,y的代數(shù)式表示這10個正方形邊長;
(2)當x=5時,求此時完美長方形的周長和面積。
【解題過程】根據(jù)正方形4條邊長相等這一幾何性質,逐一求各個正方形的邊長。
(1)根據(jù)題意:第3個正方形邊長為x+y;第4個正方形的邊長為x+y+y=x+2y;第5個正方形的邊長為x+2y+y=x+3y;第6個正方形的邊長為(x+3y)+(y-x)=4y;第7個正方形的邊長為4y-x;第8個正方形的邊長為(4y-x)+[(4y-x)-x-(x+y)]=7y-4x;第9個正方形的邊長為(7y-4x)+[(4y-x)-x-(x+y)]=10y-7x;第10個正方形的邊長為(4y-x)-x-(x+y)=3y-3x。
(2)由圖形,可知第5個和第6個正方形的邊長之和等于第8個和第9個正方形邊長的和,從而(x+3y)+4y=(10y-7x)+(7y-4x),即6x=5y,當x=5,則y=6,該完美長方形的長為15y-5x=65,寬為(x+3y)+4y=47,所以周長為224,面積為65×47=3055。
【反思】結合圖形,從邊長最易用代數(shù)式表示的正方形開始,由易到難,逐一突破。利用數(shù)形結合思想,用代數(shù)式表示數(shù)量關系和變化規(guī)律,實現(xiàn)思維的質的飛躍。