李 群 堯 莉 章世晅

(東華理工大學(xué)理學(xué)院 江西 南昌 330013)

1 引言

單擺是一種理想的物理模型，由理想化的擺球和擺線組成.在滿足偏角小于等于5°的條件下，單擺的運(yùn)動(dòng)近似為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，因此，單擺經(jīng)常作為研究簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本內(nèi)容[1].當(dāng)擺角大于5°時(shí)，單擺的運(yùn)動(dòng)變得復(fù)雜，其運(yùn)動(dòng)方式也由線性走向非線性[2,3]，大量研究分析單擺運(yùn)動(dòng)的論文見諸于各類期刊上[4～8].

單擺實(shí)驗(yàn)作為最基礎(chǔ)的內(nèi)容在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程中開設(shè)[9,10]，既可作為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方式測(cè)定本地重力加速度，也可通過大角擺動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析作為學(xué)習(xí)非線性物理的重要基礎(chǔ).因此，單擺實(shí)驗(yàn)成為連接基礎(chǔ)物理與近代物理(非線性物理)的橋梁，通過單擺我們既能了解最簡(jiǎn)單的振動(dòng)方式簡(jiǎn)諧振動(dòng)，又能通過初始條件的變化學(xué)習(xí)非線性動(dòng)力學(xué)的知識(shí).

本文通過討論單擺由線性走向非線性的變化，主要方法采用數(shù)值理論模擬分析線性諧振動(dòng)和非線性諧振動(dòng)的圖像變化；角振幅的變化引起的周期變化以及不同擺長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的周期變化，通過分析這些條件為單擺實(shí)驗(yàn)中取得理想的結(jié)果提供理論借鑒.

2 實(shí)驗(yàn)原理

如圖1所示單擺，小球的質(zhì)量為m，其質(zhì)心到懸掛點(diǎn)O的距離為l(擺長(zhǎng)).偏離平衡位置θ角時(shí)，作用在小球上的切向力的大小為mgsinθ，它總指向平衡點(diǎn)O′.當(dāng)θ角很小時(shí)，有sinθ≈θ，切向力的大小為mgθ.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程為

圖1 單擺

(1)

當(dāng)θ≤5°時(shí)，為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的動(dòng)力學(xué)微分方程，式(1)的通解為

θ(t)=Acos (ω0t+φ)

(2)

(3)

單擺在擺角很小、無阻尼時(shí)的擺動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，簡(jiǎn)諧振動(dòng)是一切線性振動(dòng)系統(tǒng)的共同特性，它們都以自己的固有頻率做正弦振動(dòng).

當(dāng)θ>5°時(shí)，sinθ≈θ不再成立，式(1)為

(4)

此時(shí)的微分方程不再是線性方程，無嚴(yán)格解析解[1,2].

3 簡(jiǎn)諧近似和非線性的振動(dòng)圖像比較

圖2為擺長(zhǎng)l=1 m時(shí)角振幅分別為3°,10°,30°時(shí)的時(shí)間(t)-位移(y)圖像，圖中實(shí)線為簡(jiǎn)諧振動(dòng)圖，虛線為數(shù)值模擬振動(dòng)曲線圖，點(diǎn)實(shí)線為同一時(shí)刻兩者差值曲線圖.圖2中可見當(dāng)角振幅為3°時(shí)，數(shù)值模擬與簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線吻合得很好，可視為簡(jiǎn)諧振動(dòng)；角振幅為10°時(shí)，兩條曲線在很短時(shí)間就不再重合，此時(shí)已不能視為簡(jiǎn)諧振動(dòng)；角振幅增加至30°時(shí)數(shù)值模擬曲線已明顯偏離簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線，即大角擺動(dòng)已非線性諧振動(dòng).

圖2 不同角振幅時(shí)的振動(dòng)曲線

4 大角時(shí)的振動(dòng)周期計(jì)算

可得

將上式兩邊積分得

開方后可得

則周期公式

(5)

式中積分上限θm為角振幅，積分下限0即平衡位置.

上式還可寫為第一類完全橢圓積分形式

(6)

4.1 角度的改變與周期的關(guān)系

圖3為0～90°對(duì)應(yīng)的周期圖，圖中“*”代表簡(jiǎn)諧振動(dòng)式(2)近似下的周期;“o”表示式(5)數(shù)值積分計(jì)算不同角度對(duì)應(yīng)周期;“+”表示式(6)第一類完全橢圓積分的計(jì)算結(jié)果.由圖可以看到數(shù)值計(jì)算與第一類完全橢圓積分完全重合，兩者重合結(jié)果可相互證明方法的正確性.從圖中可知擺角大于10°后與諧振動(dòng)明顯偏離，此時(shí)計(jì)算周期不能采用簡(jiǎn)諧振動(dòng)的計(jì)算方法.

圖3 周期與角振幅關(guān)系

4.2 擺長(zhǎng)對(duì)周期的影響

表1 不同擺長(zhǎng)的周期及相對(duì)誤差

根據(jù)表1的統(tǒng)計(jì)結(jié)果：相同擺角時(shí)擺長(zhǎng)增加相對(duì)誤差也隨之增加，擺長(zhǎng)較小時(shí)相對(duì)誤差也較小.相對(duì)誤差在1%內(nèi)的數(shù)據(jù)在實(shí)際測(cè)量時(shí)當(dāng)然可視為較好的測(cè)量，由表1可知，如果把1%作為標(biāo)準(zhǔn)的話，擺長(zhǎng)為20cm時(shí)擺角25°以內(nèi)都可視為好的測(cè)量數(shù)據(jù)，其誤差在完全可接受的范圍內(nèi)，隨著擺長(zhǎng)增加到100cm時(shí)，擺角15°以內(nèi)的數(shù)據(jù)都可以算合格數(shù)據(jù).當(dāng)然以上分析的前提為不考慮儀器本身誤差和測(cè)量時(shí)的不可控的人為引入誤差等.

單擺實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)者在實(shí)際實(shí)驗(yàn)操作時(shí)會(huì)特別強(qiáng)調(diào)小角擺動(dòng)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的重要性，但5°以內(nèi)的角度在實(shí)際操作中很難嚴(yán)格控制，從上述分析結(jié)果看，可得到結(jié)論，只要控制一定的擺角,測(cè)量出的周期對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果(重力加速度)影響不大.由表1還可得到另一結(jié)論：在擺長(zhǎng)遠(yuǎn)大于擺錘尺寸的前提下(理想單擺)，擺長(zhǎng)不宜過長(zhǎng)，否則大角擺動(dòng)的非線性會(huì)影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

5 結(jié)論

采用理論(數(shù)值)分析的方法對(duì)單擺進(jìn)行研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)單擺由小角到大角的擺動(dòng)過程中振動(dòng)圖像在由線性(小角)到非線性(大角)緩慢變化，角度越大非線性現(xiàn)象越明顯；對(duì)周期的計(jì)算分別采用第一類完全橢圓積分和數(shù)值積分的方法，結(jié)果證明周期與擺長(zhǎng)、角振幅相關(guān)；不同擺長(zhǎng)的周期分析，擺長(zhǎng)較小時(shí)有利于實(shí)際實(shí)驗(yàn)測(cè)量，其帶來的相對(duì)誤差較擺長(zhǎng)較大時(shí)更小，為實(shí)際操作方便和準(zhǔn)確測(cè)量，角振幅(擺角)的選取可適當(dāng)增加，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果不會(huì)引入較大誤差.