洪利，仉文崗

(重慶大學 土木工程學院, 重慶 400045)

基坑坑底抗隆起穩(wěn)定性驗算是軟土地區(qū)基坑設計的重要內(nèi)容之一。目前，基坑抗隆起計算主要包括極限平衡方法[1-4]、強度折減有限元法[4-6]和上限分析法[7-8]。上限分析法源于Drucker[9]提出的極限分析理論，Chen等結合巖土材料的特性，將上限分析法應用于邊坡的穩(wěn)定性分析和地基承載力分析[10-15]。上限分析法主要有上限分析有限元[16]、多塊體法[14]、連續(xù)速度場[8]等多種實現(xiàn)手段。其中，上限分析有限元法最為復雜，需要編制完整的有限元程序，目前，暫無成熟的上限分析有限元軟件，因此，多以后兩種計算方法為主。連續(xù)速度場需預先假設破壞面中的一些參數(shù)，因此，計算結果的準確性很大程度上依賴于假設參數(shù)的合理性。多塊體法不需預先假設破壞面，可以很好地與漸近搜索算法結合。

漸近搜索算法是先利用Monte Carlo思想隨機生成初始破壞面，然后利用“單個結點搜索+整體搜索”的方法，通過多輪搜索，使初始破壞面逐漸逼近臨界破壞面，目前已成功運用于邊坡穩(wěn)定與地基承載力上限分析的破壞面搜索中[11,14]。筆者主要描述基坑抗隆起上限分析中的破壞面搜索技術，并給出破壞面搜索的優(yōu)化問題表達；對搜索程序中的關鍵參數(shù)調(diào)試進行說明，最后通過實例計算與對比分析檢驗漸近搜索算法的應用效果。

1 多塊體上限法計算基坑抗隆起穩(wěn)定性

1.1 上限分析基本原理

極限分析上限定理有多種表示方法，此處采用能量方程表達式，即對于任何運動許可的破壞機構，內(nèi)能耗散率不小于外力功功率，如式(1)。

(1)

應用上限方法求解的一般過程：運動許可破壞機構的建立，相容速度場的計算，上限分析功率方程求解，安全系數(shù)計算。

1.2 運動許可機構建立及相容速度場計算

參考極限平衡法與強度折減有限元法所分析得到的基坑隆起破壞面，以及Goh[3]、Faheem等[6]、秦會來等[7]所做研究，假設內(nèi)支撐與支護墻體構成的支護系統(tǒng)具備足夠的剛度(即暫不考慮支護系統(tǒng)剛度的影響)，因此，墻后土體的破壞面軌跡豎直向下，其余部分則采用“近似圓弧滑動法”，如圖1所示。

圖1 上限分析運動許可機構Fig.1 Kinematically admissible failure mechanism of upper bound analysis

如圖1所示，許可機構以圓弧滑動面為主要參考對象，破壞面由n+1個結點構成，共有多邊形塊體n個(其中2個四邊形塊體，其余為三角形塊體)。為保證計算的準確性，運動許可機構的圓弧部分應用足夠數(shù)量的三角形塊體。圖1中：B為基坑寬度；H為開挖深度；D為支護結構嵌入深度；li為各塊體的破壞面長度；ki為各塊體之間接觸面長度；相容速度場由vi、vi,i+1構成，vi為各塊體破壞面處的速度矢量，vi,i+1為相鄰塊體之間接觸處的速度矢量；θi為vi+1正方向與豎直向下方向的夾角。相容速度場滿足矢量運算法則

vi+1=vi+vi,i+1

(2)

由式(2)可知，式中的3個速度矢量恰好構成矢量三角形，由于功率方程計算中只用到速矢量的相對大小，可令v1=1，由算法給出初始破壞面后，所有速度矢量方向均為已知，此時，依據(jù)矢量三角形計算法則即可依次求出所有速度矢量的大小。速度矢量的詳細計算及推導，可參考秦會來等[15]、鄒廣電[17]的相關文獻。

1.3 功率方程的建立

由式(1)知，功率方程包含方程左端的外力功率和右端內(nèi)能耗散項。外力功率項主要包括地面超載和土體自重兩兩部分。內(nèi)能耗散項主要包括塊體破壞面處內(nèi)能消耗、塊體之間接觸面處內(nèi)能消耗、支護結構與土體接觸面內(nèi)能消耗3部分。如式(3)所示。

fv1l1

(3)

式中：f=αSu，α為墻與土體之間的摩擦系數(shù)，依據(jù)Goh等[18]的建議，可取0.5～1之間，砂性土取0，黏性土取1。

1.4 安全系數(shù)的計算

參考強度折減法的原理，在式(3)的基礎上也可引入安全系數(shù)，定量評估基坑的抗隆起穩(wěn)定性。定義安全系數(shù)為

(4)

由式(4)可得安全系數(shù)為總耗散功率與總外力功率的比值。式(4)中的安全系數(shù)與強度折減法的安全系數(shù)有相同的含義，均表示抗剪強度安全儲備。式(4)中，不排水抗剪強度越大，安全系數(shù)值越大，表示安全系數(shù)儲備越充分。相似地，式(4)中的安全系數(shù)也可以劃分為3個階段：Fs大于1、等于1、小于1；分別對應土體穩(wěn)定、極限平衡、土體失穩(wěn)破壞3種情況。

2 漸近搜索算法的實現(xiàn)

2.1 破壞面搜索過程的優(yōu)化問題表述

由以上的計算過程可知，不同的破壞機構，具有不同的速度場，安全系數(shù)也不同。所以，破壞面的搜索過程實質上可以歸結為求安全系數(shù)最小值的問題，其中，破壞面的形狀、相容速度場大小及方向等均為約束條件。優(yōu)化表達見式(5)。

(5)

目標函數(shù)為FS(xi,yi)，通過不斷更新各節(jié)點坐標，使FS取得最小值。約束條件有兩個：1)塊體節(jié)點坐標自右向左為單調(diào)不增數(shù)列(x1=x2為墻后土體破壞面豎直向下段，-B≤xn為保證破壞面不穿越支護結構截面的幾何條件)；2)保證θi為單調(diào)遞增數(shù)列，在搜索過程中維持破壞面“上凹”。Goh等[18]、陳祖煜[19]、張魯渝等[20]指出，在邊坡破壞面的搜索中，破壞面的上凹會自動實現(xiàn)，無須將保持破壞面上凹作為約束條件；Greco[11]、秦會來等[14]則建議在邊坡搜索過程加入保持破壞面“上凹”為約束條件?？紤]到基坑的破壞面較邊坡復雜，筆者在編制計算程序時對兩種方法均進行了測試，根據(jù)最后的計算結果，加入“上凹”約束條件具有更高的計算效率，建議在搜索程序中加入此約束條件。

2.2 初始破壞面的確定

初始破壞面既可以人為指定，也可以隨機生成， Greco[11]、秦會來等[14]、陳祖煜[19]均采用4結點隨機生成的初始破壞面；考慮到基坑破壞面較復雜，本文采用7結點隨機初始破壞面。參考軟土基坑抗隆起穩(wěn)定性分析方面已有的研究成果，控制初始破壞面在水平方向上邊界為0.5B～1B。由式(6)～式(19)可計算出初始破壞面各處結點的坐標值。

x1=x2=-x6=(0.5+0.5R1)·B

(6)

y1=0,y2=y6=H+D

(7)

x3=0.5x1

(8)

(9)

y3=y2+(x2-x3)·tan(η1)

(10)

x4=0

(11)

y4=H+D+x1

(12)

x6=-x1

(13)

x5=-0.5x6

(14)

(15)

y5=y6-(x6-x5)·tan(η2)

(16)

y7=H

(17)

(18)

x7=x6+(y7-y6)·cot(η3)

(19)

式中：R1、R2、R3為[0,1]之間的隨機數(shù)。在編制計算程序時，應注意x7為破壞面最左側結點，需滿足式(5)中-B≤xn的約束條件。

2.3 破壞面的搜索

破壞面的搜索分為結點搜索和整體搜索兩個階段。結點搜索階段主要確定破壞面的形狀和大小，而整體搜索階段主要確定破壞面的大小。

2.3.1 結點搜索階段 結點搜索主要是針對每個結點逐個搜索；如圖2所示，每個結點給定8個方向(地表和開挖面的結點只允許水平方向移動)，依次進行搜索，只要有一個方向搜索成功，即更新該結點的坐標，并進入下一個結點的搜索；若所有方向搜索均失敗，則該結點的坐標保持原值，并將該結點的搜索步長減半?！八阉鞒晒Α笔侵冈摻Y點沿某方向移動后破壞面的安全系數(shù)減小。結點搜索的公式為

(20)

式中：λi為各結點的搜索步長，根據(jù)算例的計算結果，建議初始步長取B/1 000；Nx、Ny分別有-1、0、1共3種取值，通過組合，實現(xiàn)對8個方向的搜索。

2.3.2 整體搜索階段 考慮到結點搜索的先后順序會對最終的搜索結果造成影響，在結點搜索的基礎上，增加整體搜索階段。具體做法是，在依次完成8個節(jié)點的搜索后，加入一輪整體搜索，即破壞面整體“外擴”或“內(nèi)縮”；坐標更新公式為

(21)

式中：i為結點序號；k為搜索的次數(shù)(依次搜索完各結點計為一次)。

坐標更新后，安全系數(shù)減小，則保留更新后的結點坐標；否則，將保留原坐標值。重復進行結點搜索與整體搜索，滿足收斂準則后，可認為搜索完成。

搜索算法流程圖如圖3所示。圖3所示為7結點破壞面搜索流程，在實際求解過程中，往往7個結點不夠，必須具備一定數(shù)量的結點，才能夠捕捉到破壞面的幾何特征。因此，學者們提出了多種擴充結點的方法，筆者采用張魯渝等[20-22]建議的辦法，即初始破壞面采用較少的結點，先進行數(shù)次搜索，破壞面初步穩(wěn)定后；在每段滑面的中點處內(nèi)插結點進行第2輪、第3輪的計算，直至安全系數(shù)及破壞面達到收斂條件。每一輪的計算流程與圖3所示7結點計算流程相同。

圖3 搜索算法流程圖Fig.3 Flow diagram of search method

另一方面，搜索算法還可能會陷入局部最優(yōu)解的情況，從而搜索不到全局最優(yōu)解[14,19]。為避免此問題，可設置多組初始破壞面，再從中選取安全系數(shù)最小的一組為最終結果。以3.1節(jié)中的算例為例，按式(6)～式(19)計算生成50組初始滑面，如圖4所示。

圖4 50條隨機產(chǎn)生的初始破壞面Fig.4 50 initial four-point failure surfaces generated by Monte Carlo method

2.4 收斂準則

由圖3可知，收斂準則由安全系數(shù)差值和搜索步長兩個指標構成，且它們均與破壞面結點個數(shù)有關，指標閾值由式(22)、式(23)計算。

(22)

λi

(23)

3 搜索算法應用效果檢驗

3.1 計算方案及計算參數(shù)設置

為檢驗搜索算法的應用效果，采用9個算例來檢測。設置一個標準算例檢驗算法的可用性，同時，在此基礎上設置兩組對比算例，觀察開挖寬度(4個)和支護結構嵌入深度(4個)對計算結果的影響，將程序計算結果與目前公認的一些結論相比較，初步檢驗算法的準確性。計算參數(shù)見表1。

表1 算例分析參數(shù)設置Table 1 Parameters of case study

如表1所示，標準算例中，開挖寬度取20 m，支護結構嵌入深度取10 m，其余均取表中值。對比算例中，控制單一參數(shù)變化，其余參數(shù)均取標準算例中的參數(shù)值。

3.2 算例計算結果分析

算例采用4輪搜索，每輪的結點個數(shù)分別為7、11、19、35；根據(jù)式(22)，4輪的搜索步長閾值設置為10-4、5×10-5、10-5、10-6；4輪的搜索次數(shù)分別預設為150、150、100、80。各階段的搜索結果及破壞面形狀見圖5和圖6。

圖5 安全系數(shù)收斂過程Fig.5 Convergence process of safety factor

圖6 破壞面優(yōu)化過程Fig.6 Optimizing process of the failure surface

由圖5和圖6可知，隨著破壞面結點個數(shù)的增加，破壞面的形狀和安全系數(shù)趨于穩(wěn)定。其中，第3階段和第4階段安全系數(shù)差值僅為0.003 2，相對誤差小于1%，表明搜索算法應用效果較好；且各階段的收斂速度均很快，可適當減小每階段的搜索次數(shù)。依據(jù)圖6，建議前3個階段搜索次數(shù)控制在60～80次，第4階段搜索次數(shù)控制在40～60次。由圖7也可以觀察到，第3階段和第4階段的破壞面位置基本一致，因此，搜索算法應控制在3～4輪即可(即破壞面結點個數(shù)20～40)，不宜過多或者過少。

除標準算例外，設置了兩組對比算例，觀察支護結構嵌入深度和基坑寬度對安全系數(shù)及破壞面的影響，計算結果如圖7、圖8所示。

圖7 不同支護結構嵌入深度時基坑抗隆起失穩(wěn)面Fig.7 Failure surfaces of basal heave with different depths of supporting structures

圖8 不同開挖寬度時基坑抗隆起失穩(wěn)面Fig.8 Failure surfaces of basal heave with different excavation widths

由圖8可見，隨著支護結構嵌入深度的增加，基坑失穩(wěn)面逐漸擴大，安全系數(shù)逐漸提高，符合常規(guī)的有限元軟件計算結果及工程經(jīng)驗[23-24]。嵌入深度較小時，坑底隆起破壞面可能延伸至整個基坑寬度；嵌入深度較大時，隆起破壞面向支護墻側靠近，這是因為假設支護墻體為剛性，因此，增加嵌入深度對阻斷隆起破壞面的延伸效果顯著。

由圖9可見，開挖寬度對基坑抗隆起失穩(wěn)面影響較大，隨著開挖寬度的增加，抗隆起失穩(wěn)面不斷擴大，且失穩(wěn)面的半徑約為開挖寬度的0.9倍，這一結果更傾向于Prandtl失效模式；同時，安全系數(shù)也隨著開完寬度的增加而減小，這也同樣符合常規(guī)的有限元計算結果和工程經(jīng)驗[6]。

綜合上述的算例分析可以看出，搜索算法在基坑抗隆起分析中具有良好的應用效果。

4 實際工程案例分析

選用唐震等[8]、Chang[25]的案例進行分析。Chang應用上限分析方法重新分析了基坑的抗隆起穩(wěn)定性，并推導出簡易公式用于計算基坑抗隆起安全系數(shù)。唐震等采用連續(xù)機構場進行上限分析。

計算所需參數(shù)以及計算結果見表2(各符號的意義同表1)。

由表2可知，Chang提出的簡易計算公式雖然計算簡單，但得出的安全系數(shù)誤差較大，普遍偏小，而且接近臨界狀態(tài)時可能出現(xiàn)誤判。唐震等采用的連續(xù)機構場法計算結果偏保守，對于重要建筑物的穩(wěn)定性分析較為適用；而多塊體法的計算結果則在兩者之間，兼具經(jīng)濟性和安全性的要求。

表2 各案例安全系數(shù)計算結果對比Table 2 Comparisons of safety factors among different methods in different cases

5 結論

將漸近搜索算法與多塊體上限法相結合，實現(xiàn)了基坑抗隆起上限分析。針對多塊體上限法的理論要求，給出了初始破壞面的生成公式、幾何約束條件與收斂條件；結合算例分析，就破壞面結點個數(shù)、搜索步長、搜索次數(shù)等參數(shù)進行討論，并給出建議值。為避免出現(xiàn)局部最優(yōu)解，采用設置多組初始破壞面的方法。通過實例分析以及與其他上限分析方法的對比可知，漸近搜索算法應用效果良好，為解決基坑抗隆起分析中破壞面的確定提供了一種新的計算方法。

筆者在運用算法進行分析時，并未考慮支護結構剛度、基巖埋置深度等因素，因此，如何在上限分析(或安全系數(shù))的計算中考慮這些因素，將是下一步研究的重點。