石星星， 葉海平

(東華大學(xué) 理學(xué)院， 上海 201620)

謠言作為一種典型的社會(huì)現(xiàn)象，其傳播手段、傳播途徑不斷變化。隨著科技的進(jìn)步和互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，人們獲取信息的途徑也發(fā)生了巨大的變化。一個(gè)事件的發(fā)生，幾分鐘內(nèi)就可能獲得大量人的關(guān)注和傳播。這使人們能及時(shí)地獲取大量的信息，但對(duì)謠言的傳播也產(chǎn)生巨大的影響。例如，2011年的“搶鹽事件”，2012年的“世界末日”引起的搶購(gòu)熱，“肉毒桿菌”事件造成企業(yè)近200億的營(yíng)業(yè)損失，以及“6翅膀8腿怪雞”的謠言讓人聞雞變色。此類謠言不僅造成了一定的社會(huì)恐慌，也對(duì)企業(yè)和個(gè)人產(chǎn)生很大的影響，因此研究謠言傳播有較大的現(xiàn)實(shí)意義。

謠言在人群中的傳播擴(kuò)散與病毒的傳播相似，因此現(xiàn)有的謠言模型大多借鑒了傳染病模型，但是，鑒于描述謠言實(shí)際傳播過程的增長(zhǎng)和衰變的原理及假設(shè)條件的不同，有很多種不同的建模方法。在經(jīng)典的Daley-kendall謠言傳播模型[1]中，Daley等第一次將模型中的個(gè)體分為3類：未聽過謠言者(Ignorants)、傳播謠言者(Spreads)以及不傳播謠言者(Stiflers)，并類比Kermack-McKendrick 傳染病的討論方法發(fā)展了隨機(jī)謠言傳播模型(D-K模型)。Maki等[2]認(rèn)為謠言在傳播者和其他人之間的傳播是雙向的，因此引入Maki-Thompson模型來描述基于馬爾可夫鏈的謠言傳播。

隨著研究的深入，由于謠言傳播的途徑及受影響因素與傳染病的傳播存在差異，研究者考慮了人們第一次聽到謠言時(shí)的心理反應(yīng)、個(gè)人的受教育程度，以及外界干預(yù)(政府、媒體等)對(duì)謠言傳播的影響，從而建立了不同的謠言傳播模型。對(duì)于常微分方程模型，陳華[3]討論了一類具有媒體播報(bào)效應(yīng)的謠言傳播模型，通過對(duì)該模型的穩(wěn)定性分析表明媒體報(bào)道在謠言傳播中的影響。文獻(xiàn)[4]根據(jù)人們對(duì)謠言的不同態(tài)度進(jìn)行分析，建立了SHIR模型，并討論了該模型在平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性。Zhao等[5]根據(jù)已知謠言者的不同行為，在偏微分方程的基礎(chǔ)上提出了一種新的SIS謠言傳播模型，討論了該模型解的存在唯一性，并分析了解的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[6]分別對(duì)有年齡結(jié)構(gòu)和無年齡結(jié)構(gòu)下的謠言傳播模型進(jìn)行討論。

Zanette[7]研究了交互規(guī)則對(duì)謠言傳播效率和可信度的影響，把謠言傳播放到社交網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行討論分析。文獻(xiàn)[8]在SIR模型的基礎(chǔ)上，引入噪聲干擾，利用隨機(jī)微分方程討論均勻網(wǎng)絡(luò)和異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)的謠言擴(kuò)散動(dòng)力學(xué)。一些學(xué)者認(rèn)為謠言的傳播具有潛伏期，而且對(duì)于一個(gè)社交圈來說并不是固定不變的，因此對(duì)這些情況研究建立了SCIR模型，并做出穩(wěn)定性分析[9]。

傳染病模型的研究[10-13]表明，環(huán)境噪聲對(duì)其傳播有很大的影響，那么類似的環(huán)境噪聲對(duì)謠言的傳播也存在影響。Jia等[14]根據(jù)文獻(xiàn)[15]的研究，在謠言傳播模型中引入白噪聲，一種直接與S(t)和I(t)成比例的隨機(jī)擾動(dòng)，建立了如下模型：

1 隨機(jī)謠言傳播模型的建立

文獻(xiàn)[18]研究了謠言傳播的確定性模型為

R(t))-μS(t)

式中：I(t)為謠言未知者；S(t)為謠言傳播者；R(t)為謠言沉默者, 個(gè)體以常數(shù)A進(jìn)入該群體并成為未知者；μ、β分別為遷入率和傳播率；τ為未知者從第一次聽到謠言到傳播謠言的潛伏期；γ為沉默率, 即謠言傳播者與謠言傳播者或沉默者接觸后成為沉默者的概率.

根據(jù)Laarabi等[18]的建模思想，本文假設(shè)其中未聽過謠言者從第一次聽到謠言到傳播謠言的潛伏期τ=0，并加入遺忘機(jī)制建立SIRS謠言傳播模型。在本文的研究中將模型中的人群分為以下3類：S(t)為從未聽過謠言者，即謠言易感者；I(t)為聽過謠言并且傳播謠言者，即謠言傳播者；R(t)為聽過謠言但不傳播謠言者，即謠言免疫者。

由于現(xiàn)實(shí)中人行為的復(fù)雜性及人際關(guān)系的多變性，一個(gè)人的社交圈并不是恒定不變的，本研究假設(shè)個(gè)體以一定概率B進(jìn)入該社交圈并成為謠言易感者，每類人群以概率μi(i=1, 2, 3)移出該類人群。當(dāng)謠言易感者與謠言傳播者接觸，謠言易感者變?yōu)橹{言傳播者的概率為β。當(dāng)謠言傳播者與謠言傳播者以及謠言免疫者接觸，經(jīng)過信息對(duì)比和綜合判斷，謠言傳播者變?yōu)橹{言免疫者的概率為γ。由于時(shí)間關(guān)系和新謠言的傳播，謠言免疫者遺忘此謠言變?yōu)橹{言易感者的概率為δ。

綜上可以建立一個(gè)確定性的SIRS微分方程模型如式(1)所示。

dS(t)=(B-βS(t)I(t)-μS(t)+δR(t))dt

dI(t)=(βS(t)I(t))-γI(t)(I(t)+R(t))-

μI(t))dt

dR(t)=(γI(t)(I(t)+R(t))-(μ+δ)R(t))dt

(1)

式中：B,β,γ,δ,μ都是正數(shù)；S(0)>0,I(0)>0,R(0)>0。

該模型的基本再生數(shù)為

dS(t)=(B-βS(t)I(t)-μS(t)+

δR(t))dt+σ1S(t)dB1(t)

dI(t)=(βS(t)I(t)-γI(t)(I(t)+R(t))-

μI(t))dt+σ2I(t)dB2(t)

dR(t)=(γI(t)(I(t)+R(t))-(μ+δ)R(t))dt+

σ3R(t)dB3(t)

(2)

式中：B,β,γ,δ,μ都是正數(shù)；S(0)>0,I(0)>0,R(0)>0,而Bi(0)=0。

SIRS謠言傳播模型與目前廣泛研究的傳染病模型有著關(guān)鍵性區(qū)別，其中最本質(zhì)的是謠言在傳播者與社交圈中的其他人之間的傳播是雙向的。在傳染病模型[20]中

dI(t)=βS(t)I(t)-(μ+γ)I(t)dt,
dR(t)=γI(t)-(μ+δ)R(t)dt

其中：β為傳播率；μ為死亡率；γ為恢復(fù)率；δ為非免疫系數(shù)。謠言傳播模型中dI(t), dR(t)多了非線性項(xiàng)γI(t)(I(t)+R(t))，這也使得后面模型的處理不能直接用常規(guī)的方法，很大程度上加大了討論難度。

本文定義微分算子L，其與下列n維隨機(jī)微分等式相關(guān)。

dx(t)=f(x(t),t)dt+g(x(t),t)dB(t),t≥t0

其中：隨機(jī)過程x(t)∈Rn；f(t,x(t))是定義在[t0, +∞)×Rn上的n維函數(shù)；g(t,x(t)) 是一個(gè)n×m矩陣，f與g關(guān)于x滿足局部李普希茨條件，令函數(shù)V∈C2, 1(Rn×R+;R)，則微分算子L作用于V函數(shù)有

(3)

dV(x(t),t)=LV(x(t),t)dt+
Vx(x(t),t)g(x(t),t)dB(t)

(4)

2 全局正解的存在唯一性

(5)

τk=inf{t∈[0,τe)|S(t)?(1/k,k)
或I(t)?(1/k,k) 或R(τ)?(1/k,k)}

假設(shè)式(5)結(jié)論不成立，則存在T>0和ε∈(0,1)使得

P(τ∞ε

即存在整數(shù)k1≥k0，使得當(dāng)k≥k1時(shí)

(6)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(7)

其中：a,b是一個(gè)正數(shù)。由于

因此式(7)為非負(fù)函數(shù)。

當(dāng)t∈[0,T]和k>k1時(shí),根據(jù)式(4)，兩邊求積分再取期望

(8)

其中

K+(aβ-μ)I+(bγ-μ)R

LV(S,I,R)≤K

(9)

K是一個(gè)大于零的常數(shù)。將式(9)代入式(8)兩邊求積分再去期望有

EV(S(t∧τk),I(t∧τk),R(t∧τk))≤V(S(0),
I(0),R(0))+EK(t∧τk)

(10)

EV(S(τk∧T),I(τk∧T),R(τk∧T))≤
V(S(0),I(0),R(0))+KT

(11)

又由式(10)和(11)得

V(S(0),I(0),R(0))+KT≥

E(ΙΩk(ω)V(S(τk,ω),I(τk,ω),R(τk,ω))≥

其中ΙΩk是Ωk上的示性函數(shù)。令k→∞，則有

∞>V(S(0),I(0),R(0))+KT=∞

因此可得τ∞=∞幾乎必然成立，即S(t),I(t),R(t)不會(huì)在有限的時(shí)間內(nèi)爆炸，則定理1得證。

3 隨機(jī)謠言傳播模型在邊界平衡點(diǎn)附近解的漸近性質(zhì)

(12)

其中：

其中X∈R,Y>0,Z>0。考慮如下Lyapunov函數(shù)：

V(X,Y,Z)=(X+Y+Z)2+C1X2+C2(Y+Z)

其中C1,C2是一個(gè)正常數(shù)，會(huì)在后面給出。根據(jù)式(3)可得

-2μX2-2μY2-2μZ2-4μXY-4μXZ-4μYZ+2C1(-μX2-βX2Y-

將上式代入式(4)，并對(duì)等式兩邊取積分后求期望有

由此可得

故有

即定理2得證。

4 隨機(jī)謠言傳播模型在正平衡點(diǎn)附近解的漸近性質(zhì)

其中M=β(Bγ+μ2)+μδ(β+γ)。下面將討論模型(2)在E*附近解的漸近性質(zhì)。

(13)

證明：首先構(gòu)造V(S,I,R)函數(shù)

V(S,I,R)=v1+C2v2+C3v3

(14)

其中：

v1=(S-S*+I-I*+R-R*)2+C1(S-S*)2

-2μ(S-S*)2-2μ(I-I*)2-2μ(R-R*)2-4μ(S-S*)(I-I*)+

-2μ(S-S*)2-2μ(I-I*)2-2μ(R-R*)2-4μ(S-S*)(I-I*)+

(15)

(16)

(17)

整理式(15)～(17)可得

LV(S,I,R)=Lv1+C2Lv2+C3Lv3≤

-2μ(S-S*)2+(-2μ-C2γ+C3γ)(I-I*)2-

2μ(R-R*)2+(-4μ+2C1δ)(S-S*)(R-R*)+

(-4μ+C2β-2C1βS*)(S-S*)(I-I*)+

觀察上式，令：

則有-4μ+2C1δ=0，-4μ+C2β-2C1βS*=0。那么式(18)可以轉(zhuǎn)化為

LV(S,I,R)≤-2μ(S-S*)2-2μ(I-I*)2-2μ(R-R*)2-4μ(I-I*)(R-R*)+

-2μ(S-S*)2-2μ(I-I*)2-2μ(R-R*)2+4μI*R+4μIR*+

由不等式(a+b)2≤2a2+2b2可得

令

(18)

將式(18)代入式(4)，兩邊求積分并取期望有

0≤EV(S,I,R)=

V(S(0),I(0),R(0))+M1t

則有

因此可得

即定理3得證。

5 數(shù)值模擬

根據(jù)模型(1)和模型(2)的實(shí)際意義取不同參數(shù)，用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬[22-23]，通過模擬結(jié)果更直觀地論證以上結(jié)論。這里用S1(t),I1(t),R1(t)表示模型(1)中人群，用S2(t),I2(t),R2(t)表示模型(2)中人群，并取步長(zhǎng)為Δ=10-3。

例1:設(shè)定模型(1)和模型(2)初值S1(0)=S2(0)=0.8,I1(0)=I2(0)=0.4,R1(0)=R2(0)=0.2，各參數(shù)為B=0.4,μ=0.28,β=0.16,δ=0.1,γ=0.16,σ1=0.04,σ2=0.1,σ3=0.1。計(jì)算可得R0=0.8163<1，則根據(jù)定理2可知模型(2)的數(shù)值解在模型(1)邊界平衡點(diǎn)附近徘徊，如圖1所示

例2:設(shè)定模型(1)和模型(2)初值S1(0)=S2(0)=0.8,I1(0)=I2(0)=0.4,R1(0)=R2(0)=0.2。并設(shè)各個(gè)參數(shù)為B=0.8,μ=0.25,β=0.32,δ=0.2,γ=0.14,σ1=0.04,σ2=0.05,σ3=0.05。計(jì)算可得R0=4.096>1，則根據(jù)定理3可知模型(2)的數(shù)值解在模型(1)的正平衡點(diǎn)的附近徘徊，如圖2所示

例3：在例2設(shè)置的各參數(shù)的基礎(chǔ)上，改變隨機(jī)因素干擾強(qiáng)度σi(i=1,2,3)的值，分別設(shè)置干擾強(qiáng)度(a)σ1=0.10,σ2=σ3=0.16; (b)σ1=0.05,σ2=σ3=0.008; (c)σ1=0.025,σ2=σ3=0.04;(d)σ1=0.0125,σ2=σ3=0.02。由圖3可知，隨機(jī)因素干擾強(qiáng)度對(duì)謠言傳播的影響，干擾強(qiáng)度越大對(duì)謠言傳播的干擾越大，干擾強(qiáng)度趨于0，則模型(2)的數(shù)值解曲線趨于平滑。

圖1 邊界平衡點(diǎn)附近解的漸近性Fig.1 Trajectories of the solutions around the disease-free equilibrium

圖2 正平衡點(diǎn)附近解的漸近性Fig.2 Trajectories of the solutions around the endemic equilibrium

(a) σ1=0.10, σ2=σ3=0.16

(b) σ1=0.05, σ2=σ3=0.008

(c) σ1=0.025, σ2=σ3=0.04

(d) σ1=0.0125, σ2=σ3=0.02

6 結(jié) 語(yǔ)

本文將人群分為3類，建立了SIRS隨機(jī)謠言傳播模型，并證明了其全局正解的存在唯一性。利用李雅普諾夫方法討論了該模型在無謠言平衡點(diǎn)和謠言平衡點(diǎn)附近解的漸近性質(zhì)，對(duì)謠言的傳播做了更詳細(xì)深入的研究。用Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬，將上述討論用圖像更清晰直觀地表現(xiàn)出來。此外，研究中通過設(shè)置不同的隨機(jī)因素干擾強(qiáng)度來表現(xiàn)隨機(jī)因素對(duì)模型的影響。結(jié)合數(shù)值模擬可以清晰地觀察到隨機(jī)因素對(duì)謠言傳播的影響，隨機(jī)因素干擾強(qiáng)度越大則對(duì)謠言傳播的干擾就越大，而干擾強(qiáng)度趨于0，對(duì)謠言傳播的影響也趨于0。