辜 申， 盧文科， 馮 陽， 左 鋒

(東華大學 信息科學與技術學院， 上海 201620)

電容式位移傳感器作為一種高精度位移測量儀器，已經(jīng)被廣泛應用于超精密加工、高精度定位、高精度測量等領域。為研制出更高精度的電容式位移傳感器，研究人員做了廣泛的的研究工作[1-4]。其中，文獻[1]介紹了一種使用激光干涉儀結合單軸精密位移臺對電容式位移傳感器進行校準的方法；文獻[2]設計了一種球型極板結構的電容式位移傳感器,并通過最小二乘法和多項式擬合方法對電容值與位移間的非線性關系進行擬合處理，以提高其測量精度；文獻[3]采用基于開關電容技術的驅動與檢測和以 ADA2200 芯片為中心的位移信號解調方法來設計主要電路模塊，實現(xiàn)了電容極板之間相對微小位移的檢測；文獻[4]研制的電容傳感器測頭在相同體積下采用多層同心圓環(huán)和差動式結構，增大了電容極板的正對面積，提高了傳感器的位移測量量程和精度，實現(xiàn)了電容測頭微型化。

但是電容式位移傳感器在實際工作中易受到周圍環(huán)境因素的影響，例如溫度、濕度、振動、電場、磁場等，尤其以溫度對傳感器的影響最為顯著[5]。外界溫度變化時，將嚴重影響電容式位移傳感器的介電質常數(shù)和尺寸的變化，從而會影響其電容值的大小，進而產(chǎn)生溫度漂移，嚴重影響其測量精度。因此，為提高電容式位移傳感器的測量精度，必須對其進行溫度補償。

傳統(tǒng)上主要采用硬件方法對電容式位移傳感器進行溫度補償。硬件方法主要是指采用具有一定溫度特性的電子器件和電路結構來組成對稱電路結構，進而產(chǎn)生一個與溫度偏移量大小相等和極性相反的信號來對等消除溫度的影響，從而實現(xiàn)溫度補償[6]。常見的硬件補償法有自平衡電橋補償法、二極管補償法、熱敏電阻橋外串接補償法以及雙電橋補償法等。但是硬件補償方法將導致硬件電路設計復雜、成本高、調試難度大、可移植性差，且其補償能力有限。

基于以上考慮，本文采用軟件方法即通過自適應遺傳算法(adaptive genetic algorithm， AGA)優(yōu)化最小二乘支持向量機(least square support vector machine， LSSVM)的正則化參數(shù)γ和核函數(shù)參數(shù)σ2，構建AGA-LSSVM算法模型對電容式位移傳感器進行溫度補償，比較電容式位移傳感器溫度補償前后的靈敏度溫度系數(shù)αs和相對誤差δt的變化，同時將AGA-LSSVM算法模型與LSSVM、遺傳算法優(yōu)化最小二乘支持向量機(GA-LSSVM)和自適應遺傳算法優(yōu)化支持向量機(AGA-SVM)算法模型的預測結果進行比較，研究結果將為軟件方法對電容式位移傳感器的溫度補償研制提供借鑒。

1 電容式位移傳感器的工作原理

電容式位移傳感器是以電容器為敏感元件，將機械位移量轉換為電容量變化的傳感器[7]。本文采用改變極板之間面積的變面積式電容傳感器，它由兩個外圓筒和一個內圓筒組成的差動式結構，其內部結構圖如圖1所示。

圖1 電容式位移傳感器結構示意圖Fig.1 The structure diagram of the capacitive displacement sensor

圖1中，內筒為水平運動的部分，兩個外筒為靜止不動的部分，當內筒做水平運動時，就會改變內圓筒與兩個外圓筒之間的有效面積，從而使整個電容器產(chǎn)生差動電容輸出。經(jīng)計算得到：

(1)

(2)

(3)

式中:C1為內筒與左邊外筒形成的電容;C2為內筒與右邊外筒形成的電容;C為整個電容式位移傳感器的輸出電容;ε0為內筒與外筒之間的介電質常數(shù);x與y分別為內筒在左邊和右邊外筒中的有效長度;R和r分別為外筒和內筒的半徑。當內筒向左的位移為Δx時，C1與C2的改變量分別為

(4)

(5)

則電容式位移傳感器總體的電容改變量為

(6)

從式(6)可以看出，在其他條件不變的情況下電容式位移傳感器總體的電容改變量與內筒的位移改變量成正比關系，因此能夠實現(xiàn)位移測量。

2 二維標定試驗

為了研究溫度對電容式位移傳感器的影響，需要進行二維標定試驗以獲取原始數(shù)據(jù)。電容式位移傳感器的基本測量系統(tǒng)如圖2所示,其中電容式位移傳感器的內圓筒與螺旋測微儀的測微螺桿連在一起，旋轉螺旋測微儀即可改變電容式位移傳感器的內圓筒在外圓筒中的位移s，進而使傳感器的電容發(fā)生變化，通過外圍電路，此電容的變化將會轉化為輸出電壓Us的變化。

圖2 電容式位移傳感器的基本測量系統(tǒng)Fig.2 The basic measurement system of the capacitive displacement sensor

由于本文所設計的電容式位移傳感器的電容值很小，除了內外筒間電容值外，內外筒與周圍器件也會產(chǎn)生電容聯(lián)系，這些電容稱為寄生電容，可以看作寄生電容與傳感器并聯(lián)。寄生電容極不穩(wěn)定，甚至會淹沒電容式位移傳感器的測量電容，進而導致較大的測量誤差。為消除寄生電容的影響，就必須在傳感器與外圍電路之間采取屏蔽措施，為此本文采用運算放大驅動法來消除寄生電容[8]，其電路結構圖如圖3所示。

圖3 運算放大驅動法電路圖Fig.3 The circuit diagram of operation amplification drive method

圖3中，右邊的驅動電纜放大器的輸入是左邊驅動電纜放大器的輸出,且前者輸入電容是后者的負載,因此無附加電容和電容式位移傳感器的電容Cx并聯(lián)。設左邊驅動電纜放大器的放大倍數(shù)為-A,右邊驅動電纜放大器的放大倍數(shù)為-Aa，則Cx兩端電壓為

UCx=Uo1-Uo2=Uo1-(-A·Uo1)=(1+A)Uo1

(7)

右邊驅動電纜放大器的輸出電壓為

Uo3=-Aa·Uo2=AAaUo1

(8)

為實現(xiàn)電纜芯線和內層屏蔽電位相等,則須滿足UCx=Uo3,于是可以得到:

(9)

本文取A=1,Aa=2。

為了采集溫度數(shù)據(jù)，本文使用LM 35型溫度傳感器，此溫度傳感器可將溫度數(shù)值轉化為電壓數(shù)值，且此電壓數(shù)值為溫度數(shù)值的0.01倍。本文還采用恒溫箱，這是因為在一定條件下恒溫箱可以設定任意大小的溫度值。獲取原始試驗數(shù)據(jù)的具體步驟如下：

(1) 將LM 35型溫度傳感器和電容式位移傳感器一起放入恒溫箱；

(2) 在同一穩(wěn)定溫度條件下從初始位移s為10.0 mm處開始旋轉螺旋測微儀，每旋轉0.5 mm記錄一次電容式位移傳感器的輸出電壓Us和LM 35型溫度傳感器的輸出電壓Ut；

(3) 改變恒溫箱的溫度，當溫度穩(wěn)定后重復步驟(2)。

最終測得一系列的輸出電壓Us，如表1所示。

為了衡量電容式位移傳感器的抗溫度干擾能力，本文計算了靈敏度溫度系數(shù)αs和相對誤差δt[9-10]，如式(10)和(11)所示，這兩個指標值越小，說明電容式位移傳感器抗溫度干擾能力越強。

(10)

(11)

式中：Δt為溫度最大變化范圍；UFS為傳感器輸出電壓量程； ΔUm為當溫度變化Δt時，傳感器在全量程范圍中某一位移輸入量對應電壓輸出值隨溫度漂移的最大值;Utmax為傳感器獲得 ΔUm時對應的最大電壓輸出值。

由表1可知，Δt=65.9-25.1=40.8 ℃，UFS=0.98-0.19=0.79 V,當螺旋測微儀旋轉到14.0 mm處時得到ΔUm=0.86-0.64=0.22 V，此時Utmax=0.86 V。將這些數(shù)據(jù)分別代入式(10)和(11)后可得：αs=6.83×10-3℃-1，δt=25.58%。由此可知，溫度對電容式位移傳感器有較大的影響，因此必須對其進行溫度補償。

表1 二維標定試驗數(shù)據(jù)

3 AGA-LSSVM算法建模

3.1 LSSVM算法原理

LSSVM最早是由Suykens等[11]提出的一種機器學習算法, 該算法是在SVM的基礎上基于結構化最小風險改進而來的。與傳統(tǒng)的SVM相比，LSSVM在目標函數(shù)中增加了誤差平方和項，用等式約束條件替代不等式約束條件，使求解過程變?yōu)榻庖唤M等式方程，且它不需要指定逼近精度，因此減少了模型的訓練時間，提高了收斂精度，避免了數(shù)據(jù)高維災難問題。

LSSVM的具體描述過程[12-13]如下：

首先，對于給定的一組n維向量{(xi,yi),i=1, 2, …，n},xi∈Rn為第i個樣本的輸入值，yi為第i個樣本的輸出值，n為樣本數(shù)目。將非線性樣本轉換到高維空間而得到回歸方程為

f(x)=ωT·Φ(x)+b

(12)

式中：ω為權系數(shù)向量；Φ(x)為非線性映射函數(shù)；b為偏置量。LSSVM要優(yōu)化的函數(shù)為

(13)

式中：γ為正則化參數(shù)；ei為誤差。將 Lagrange 乘子引入式(13)，推導出LSSVM的預測函數(shù)為

(14)

式中：αi為Lagrange乘子；K(x,xi)=exp{-‖x-xi‖/2σ2}為徑向基核函數(shù)，其中σ為其寬度。

根據(jù)以上LSSVM的算法原理可知，LSSVM的預測誤差主要受正則化參數(shù)γ和核函數(shù)參數(shù)σ2的影響，因此LSSVM能否準確預測數(shù)據(jù)取決于能否選取合適的γ值和σ2值。傳統(tǒng)的方法是人們根據(jù)經(jīng)驗來選取這兩個值，這樣很難選取最合適的γ值和σ2值，并且容易陷入局部最優(yōu)解，而AGA以良好的全局尋優(yōu)能力為這一問題提供了解決方案。

3.2 AGA優(yōu)化LSSVM的參數(shù)

GA是一種仿生的搜索最優(yōu)化算法，通過交叉、變異等遺傳操作，經(jīng)過不斷迭代得到最優(yōu)的后代，即全局最優(yōu)解[14]。其核心思想是將所要解決的問題看成染色體，根據(jù)適者生存法則，選擇適應度高的染色體進行交叉和變異等一系列操作來產(chǎn)生更適應環(huán)境的染色體作為新的父代，如此循環(huán)往復，直到選出最適應環(huán)境的群體，即得到要優(yōu)化問題的最優(yōu)解。

在遺傳算法中交叉概率和變異概率是影響算法性能的關鍵因素，而在傳統(tǒng)遺傳算法中的交叉概率和變異概率都是固定不變的，無法滿足實際中參數(shù)動態(tài)和變化的要求，以至于它求解的精度不高，會導致早熟現(xiàn)象的發(fā)生[15]，還會導致它的局部搜索能力較差，在進化后期的搜索效率較低，收斂速度變慢[16]。為了克服這些缺點，本文提出用AGA來優(yōu)化LSSVM。

AGA的交叉概率和變異概率是根據(jù)個體的適應度來自動調整的，這樣可保證算法能夠時刻選取最合適的交叉概率和變異概率，從而避免早熟現(xiàn)象的發(fā)生，并且保證算法具備較強的全局搜索能力和收斂性能[17]。

AGA-LSSVM算法建模步驟[18]如下：

(1) 給定AGA的種群規(guī)模、迭代次數(shù)和LSSVM算法的正則化參數(shù)γ和核函數(shù)參數(shù)σ2的搜索范圍以及它的訓練誤差。

(2) 對初始值進行二進制編碼，產(chǎn)生初始化種群，即將γ和σ2作為染色體兩部分，分別對γ和σ2進行二進制編碼并作為種群中的初始化個體。

(3) 用訓練樣本對LSSVM算法進行訓練。

(4) 根據(jù)LSSVM算法的訓練結果計算每個個體的適應度值。為了使AGA-LSSVM算法模型有較高的預測精度和較強的泛化能力，令適應度函數(shù)[13]為

(15)

(5) 選擇操作。采用輪盤賭選的方法選擇交配個體，并組成交配種群。

(6) 交叉操作。將交配種群進行兩兩配對，并計算各配對個體的交叉概率Pc，如式(16)所示。

(16)

式中：fmax為群體中最大的適應度值；favg為每代群體的平均適應度值；f′為要進行交叉的兩個個體中較大的適應度值；Pc1與Pc2為常數(shù),本文取Pc1=0.84，Pc2=0.23。然后按照交叉概率對配對個體進行基因重組，交叉點隨機確定。交叉之后得到基因重組后的子代個體。

(7) 變異操作。對于種群中每個個體計算它們的變異概率Pm，如式(17)所示。

(17)

式中：f為要變異個體的適應度值；Pm1和Pm2為常數(shù)，本文取Pm1=0.06，Pm2=0.02。然后根據(jù)變異概率Pm對種群中的每個個體進行變異操作，產(chǎn)生新的種群。

(8) 判斷收斂條件。若滿足收斂條件，即達到AGA的迭代次數(shù)或LSSVM的訓練誤差，則對種群中的染色體進行解碼，獲得γ和σ2的值，并將γ和σ2的值代入LSSVM算法中，建立起AGA-LSSVM算法模型，并結束；若不滿足收斂條件，轉移至步驟(3)。

AGA-LSSVM算法建模流程如圖4所示。

4 電容式位移傳感器的溫度補償

4.1 AGA-LSSVM算法對電容式位移傳感器的溫度補償

電容式位移傳感器溫度補償系統(tǒng)圖如圖5所示。在不同的溫度條件下改變電容式位移傳感器的位移，將電容式位移傳感器測得的輸出電壓值Us和LM 35型溫度傳感器測得的輸出電壓值Ut組成數(shù)據(jù)集，并將此數(shù)據(jù)集分為訓練集和測試集對AGA-LSSVM算法模型進行訓練，進而實現(xiàn)AGA-LSSVM算法模型預測電容式位移傳感器的輸出位移s′，從而實現(xiàn)溫度補償。

圖5 電容式位移傳感器溫度補償系統(tǒng)圖Fig.5 The temperature compensation system diagram of capacitive displacement sensor

在AGA-LSSVM算法模型中，根據(jù)人為經(jīng)驗通過試湊法將AGA的最大迭代次數(shù)設定為300，種群規(guī)模設定為30，LSSVM的正則化參數(shù)γ和核函數(shù)參數(shù)σ2的搜索范圍設定為(0，1000]，其訓練誤差設定為10-5。經(jīng)AGA優(yōu)化后得到LSSVM算法的最佳正則化參數(shù)γ為84.353 446，核函數(shù)參數(shù)σ2為2.435 226。經(jīng)溫度補償后電容式位移傳感器在不同的溫度條件下的預測位移值如表2所示。

由表2可知，經(jīng)AGA-LSSVM算法進行溫度補償后，在不同的溫度條件下電容式位移傳感器的預測輸出位移值與實際輸入位移值都非常接近，說明傳感器具備了很好的抗溫度干擾性能。為進一步衡量傳感器的抗溫度干擾能力，本文參照式(10)和(11)計算了靈敏度溫度系數(shù)αs和相對誤差δt，如式(18)和(19)所示。

表2 溫度補償后電容式位移傳感器的預測位移值

(18)

(19)

式中：Δt為溫度最大變化范圍；XFS為傳感器預測位移輸出量程；ΔXm為當溫度變化Δt時，傳感器在全量程范圍中某一實際位移輸入值對應的預測位移輸出值隨溫度漂移的最大值；Xtmax為傳感器獲得ΔXm時對應的最大預測位移輸出值。

由表2可知，Δt=65.8-25.1=40.8 ℃，XFS=15.003 5-9.998 1=5.005 4 mm,當螺旋測微儀旋轉至13.5 mm處時，得到ΔXm=13.532 4-13.471 6=0.060 8 mm，此時Xtmax=13.532 4 mm。將這些數(shù)據(jù)分別代入式(18)和(19)可得：αs=2.98×10-4℃-1，δt=0.45%。由此可知，電容式位移傳感器利用AGA-LSSVM算法模型進行溫度補償后，其靈敏度溫度系數(shù)和相對誤差相較補償前均提高了一個數(shù)量級，因此其抗溫度干擾性能得以大幅提升。

4.2 不同溫度補償算法比較

除了建立AGA-LSSVM算法模型，本文還建立了LSSVM、GA-LSSVM和AGA-SVM算法模型對電容式位移傳感器進行溫度補償，這些算法模型的參數(shù)設置如下所述。

LSSVM算法模型：選擇徑向基核函數(shù)作為核函數(shù)，根據(jù)人為經(jīng)驗通過試湊法確定最佳正則化參數(shù)γ為400，核函數(shù)參數(shù)σ2為150。

GA-LSSVM算法模型：根據(jù)人為經(jīng)驗通過試湊法將GA的最大迭代次數(shù)設定為300，種群規(guī)模設定為30，交叉概率設定為0.8，變異概率設定為0.01，并將LSSVM的訓練誤差設定為10-5，其正則化參數(shù)γ和核函數(shù)參數(shù)σ2的搜索范圍設定為(0， 1 000]，LSSVM算法采用徑向基核函數(shù)作為核函數(shù)。經(jīng)GA優(yōu)化后得到LSSVM算法的最佳正則化參數(shù)γ為96.575 358，核函數(shù)參數(shù)σ2為0.050 541。

AGA-SVM算法模型：同樣根據(jù)人為經(jīng)驗通過試湊法將AGA的迭代次數(shù)設定為500，種群規(guī)模設定為30，正則化參數(shù)γ和核函數(shù)參數(shù)σ2的搜索范圍為(0， 1 000]，并將SVM的訓練誤差為10-5，SVM算法采用徑向基核函數(shù)作為核函數(shù)。最終得到SVM算法的最佳正則化參數(shù)γ為185.143 261，核函數(shù)參數(shù)σ2為 24.323 785。

分別利用GA-LSSVM、LSSVM、GA-LSSVM和AGA-SVM算法模型對電容式位移傳感器的輸出位移值進行預測，然后由預測位移數(shù)據(jù)計算出靈敏度溫度系數(shù)αs和相對誤差δt，結果如表3所示。

表3 基于不同算法模型的電容式位移傳感器溫度補償結果

從表3可以看出：利用AGA-LSSVM算法模型進行溫度補償后，電容式位移傳感器的靈敏度溫度系數(shù)αs和相對誤差δt均小于LSSVM、 GA-LSSVM和AGA-SVM的算法模型，表明利用AGA-LSSVM算法模型對電容式位移傳感器進行溫度補償具有較大的優(yōu)越性；同時將AGA-LSSVM算法模型的預測結果與LSSVM算法模型的預測結果進行比較可知，利用AGA 算法優(yōu)化LSSVM算法的正則化參數(shù)γ和核函數(shù)參數(shù)σ2可有效提高LSSVM算法模型的預測能力。

值得注意的是，在實際工業(yè)應用中，本文的電容式位移傳感器是基于訓練完成的AGA-LSSVM算法模型對位移進行直接測量，因此其除了具備良好的抗溫度干擾能力外，還具備快速響應的能力，即能夠實現(xiàn)快速測量。

5 結 語

本文針對實際工業(yè)應用中電容式位移傳感器對溫度較為敏感，其測量精度容易受溫度影響的問題，利用AGA-LSSVM算法模型對其進行溫度補償。在此算法模型中，根據(jù)原始二維標定試驗數(shù)據(jù)，利用AGA對LSSM的兩個參數(shù)γ和σ2進行優(yōu)化，在得到最合適的γ和σ2后，再利用最小二乘支持向量機對輸出位移進行預測，進而計算出溫度補償后的靈敏度溫度系數(shù)αs和相對誤差δt，相比溫度補償前，兩個指標均提高了一個數(shù)量級。此外，本文還將AGA-LSSVM算法模型對電容式位移傳感器進行溫度補償?shù)慕Y果與LSSVM、GA-LSSVM和AGA-SVM算法模型作了比較，對比分析可知，采用AGA-LSSVM算法模型對電容式位移傳感器進行溫度補償可顯著提高其抗溫度干擾能力。