李 彬，顧 海，張 捷，姜 杰，孫健華

(南通理工學(xué)院1.機(jī)械工程學(xué)院，2.江蘇省3D打印裝備及應(yīng)用技術(shù)重點(diǎn)建設(shè)實(shí)驗(yàn)室，南通 226002)

0 引 言

陶瓷材料因具有較好的穩(wěn)定性、優(yōu)良的耐腐蝕和耐高溫性能等優(yōu)點(diǎn)而廣泛應(yīng)用于機(jī)械工程、航空航天、生物工程以及化工等重要工業(yè)領(lǐng)域，但成形難的特點(diǎn)限制了其進(jìn)一步的應(yīng)用。近年來，增材制造(3D打印)技術(shù)的出現(xiàn)和迅速發(fā)展為陶瓷粉末材料成形提供了一種新思路[1-4]。前期研究發(fā)現(xiàn)，固相含量對3D打印陶瓷漿料的流變性具有較大影響[5]。對于漿料流動過程可以通過試驗(yàn)或仿真進(jìn)行分析，其中仿真計算通常利用Fluent、CFD以及Polyflow等軟件結(jié)合流體力學(xué)原理進(jìn)行求解。然而，在解決復(fù)雜流體流動問題時，仿真計算求解過程繁瑣，存在無法獲得穩(wěn)定解的情況[6-9]。格子玻爾茲曼(LBM)方法從介觀角度入手，通過碰撞和遷移來解釋流動過程，原理簡單易懂，且計算方便，在解決復(fù)雜流體的流動問題方面具有明顯的優(yōu)勢[10-12]。多松弛時間參數(shù)格子玻爾茲曼方法(MRT LBM)則含有更多的參數(shù)，通過參數(shù)設(shè)置可實(shí)現(xiàn)模型性能的優(yōu)化。

在傳統(tǒng)漿料直寫陶瓷3D打印工藝中，通常使用針筒式擠壓作為陶瓷漿料的擠出形式，作者以單螺桿結(jié)構(gòu)替換原有針筒結(jié)構(gòu)，以保證漿料可以連續(xù)平順擠出，并配制不同固相含量的漿料，利用MRT LBM方法對直寫陶瓷3D打印時陶瓷漿料在螺槽內(nèi)的流動性能進(jìn)行了對比分析。

1 試驗(yàn)材料及單螺桿擠出結(jié)構(gòu)

1.1 試驗(yàn)材料

制備陶瓷漿料的有機(jī)溶劑包括季戊四醇三丙烯酸酯、苯偶酰、季戊四醇三丙烯酸酯以及甲基丙烯酸甲酯。將上述4種溶劑混合均勻后加入鋯鈦酸鉛鑭(PLZT)粉末，高速攪拌使粉末迅速分散，獲得陶瓷漿料，固相含量(PLZT體積分?jǐn)?shù)，下同)分別為60%，70%，75%。

利用Rheolab MC型旋轉(zhuǎn)粘度計對不同固相含量的漿料進(jìn)行黏度測定，獲取其流變方程以為后續(xù)數(shù)值模擬分析作準(zhǔn)備。黏度測定結(jié)果顯示，3種漿料均呈現(xiàn)出明顯剪切變稀的非牛頓流體特征。利用MATLAB軟件擬合得到固相含量為60%，70%，75%的3種漿料的流變方程分別為

(1)

(2)

(3)

可見：3種漿料均趨向于Herschel-Bulkley流體種類；在室溫條件下，隨著固相含量的增加，漿料的剪切應(yīng)力呈現(xiàn)逐漸增大的趨勢。

1.2 單螺桿擠出結(jié)構(gòu)

螺桿的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中內(nèi)桿直徑D為15 mm，內(nèi)筒直徑Da為25 mm，螺棱高h(yuǎn)為4 mm，螺距(螺槽寬度)W為8 mm，傾斜角θ=20°，螺槽深度H為6 mm。將其充分展開后呈現(xiàn)出如圖2所示的腔體，陶瓷漿料在原螺道內(nèi)的流動即可轉(zhuǎn)換成在腔體內(nèi)的流動。

圖1 螺桿結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Schematic of screw structure

圖2 螺桿展開結(jié)構(gòu)示意Fig.2 Schematic of the screw expansion structure

2 MRT LBM流動分析

2.1 MRT LBM在非牛頓流體中的應(yīng)用

MRT LBM與單松弛時間參數(shù)的LBM的主要區(qū)別在于前者涉及到矩空間的轉(zhuǎn)換[8]，其基本方程為

f(r+eiδt,t+δt)-f(r,t)=

(4)

速度配置ei的表達(dá)式如下[9]：

(5)

宏觀物理量速度U、密度ρ可以根據(jù)平衡態(tài)分布函數(shù)以及格子聲速獲得，公式[10]如下：

(6)

則式(4)中的分布函數(shù)兩項(xiàng)可以通過中間變換矩陣M轉(zhuǎn)換為矩空間e(r,t)和eeq(r,t)，e(r,t)=Mf(r,t)，eeq(r,t)=Mfeq(r,t)，其中M的表達(dá)式[12]為

M=

(7)

(8)

式中：s0，s3，s5均為與密度和動量相關(guān)的參數(shù)，而密度和動量皆為守恒量，因此其值為0；s7和s8是與松弛過程相關(guān)的量，取值為1/τ(τ為單松弛參數(shù)LBM模型中的松弛時間)；s1，s2，s4，s6為與密度等物理量相關(guān)的參數(shù)，通常稍大于1即可，s1,s2取1.3，s4,s6取1.1。

使用MRT LBM進(jìn)行流體分析時，其基本過程主要由碰撞和遷移組成，其中遷移步的表達(dá)形式為

f(r+eiδt,t+δt)=f+(r,t)

(9)

式中：f+(r,t)為碰撞后的密度分布函數(shù)。

碰撞步的表達(dá)形式[12]為

(10)

在MRT LBM中，應(yīng)變速率張量Sxy比單松弛參數(shù)LBM中的復(fù)雜，可以推導(dǎo)得到：

(11)

應(yīng)變速率張量的第二不變量DII可以描述為

(12)

式中：l表示模型的維數(shù)。

非牛頓流體的動力黏度μ主要與松弛時間τ和密度ρ相關(guān)，公式為

(13)

(14)

綜上，在利用MRT LBM進(jìn)行模擬計算時，其主要過程[9-12]描述如下：(1)確定物理模型的主要基本參數(shù)，如計算域、初始速度或壓力值以及密度等；(2)根據(jù)式(4)計算并確定平衡態(tài)分布函數(shù)；(3)根據(jù)式(11)計算應(yīng)變速率張量；(4)結(jié)合式(6)、式(13)以及非牛頓流體的本構(gòu)模型，計算獲得當(dāng)前計算循環(huán)步內(nèi)的松弛時間τ；(5)計算碰撞步和遷移步，主要參考式(9)和式(10)；(6)選擇非周期性邊界條件進(jìn)行邊界處理[13]；(7)根據(jù)式(6)計算密度和速度；(8)返回第(4)步執(zhí)行下一次循環(huán)計算。

2.2 陶瓷漿料的流動分析

以固相含量為70%的陶瓷漿料為例，對漿料在螺道內(nèi)的流動情況進(jìn)行分析。取圖2中y-z截面，根據(jù)螺桿擠出的實(shí)際運(yùn)動，將速度僅設(shè)定在與z軸方向一致的上表面。根據(jù)螺槽的幾何尺寸，模擬時的網(wǎng)格數(shù)設(shè)置為200×150，螺桿的轉(zhuǎn)速N為36 r·min-1。由圖3～圖4可知，水平流速分量u和垂直流速分量v的分布曲線是穩(wěn)定且光滑的，因此可以認(rèn)為采用MRT LBM方法進(jìn)行陶瓷漿料的流動分析是切實(shí)可行的。由圖3可以看出：越接近螺桿(對應(yīng)的螺槽深度越大)，流速分量u越大；分量v的極限值出現(xiàn)在環(huán)流中心處，而在邊界(螺槽深度為0，6 mm)處，速度分量v均較小。由圖4可以看出，流速分量u在螺棱壁面(對應(yīng)的螺槽寬度為0，8 mm)附近趨近于0，分量v在螺槽流道中部(對應(yīng)的螺槽寬度為4 mm)基本為0，往螺棱逐漸靠近時，漿料流速也隨之發(fā)生變化。

圖3 固相含量70%下陶瓷漿料流速分量u和v沿螺槽深度的分布曲線(螺槽寬度4 mm)Fig.3 Distribution of flow velocity component u (a) and v(b) of ceramic slurry along the screw groove depth at solid content of 70% (screw groove width of 4 mm)

圖4 固相含量70%下陶瓷漿料流速分量u和v沿螺槽寬度的分布曲線(螺槽深度4 mm)Fig.4 Distribution of flow velocity component u (a) and v(b) of ceramic slurry along the screw groove width at solid content of 70% (screw groove depth of 4 mm)

2.3 固相含量對陶瓷漿料流動速度的影響

取螺槽寬度為2 mm、螺槽深度為4 mm和螺槽寬度為4 mm、螺槽深度為2 mm處3種不同固相含量漿料的流速分量進(jìn)行對比分析。由表1可以看出，固相含量越高，漿料流速分量的絕對值越小。因此，當(dāng)其他因素(螺桿尺寸和轉(zhuǎn)速)保持不變時，在保證漿料流變性可以滿足試驗(yàn)要求的情況下，固相含量不應(yīng)過高，以確保其具有足夠好的流動性。

表1 不同固相含量下陶瓷漿料的流動速度Table 1 Flow velocity of ceramic slurry with different solid contents

3 結(jié) 論

(1) 固相含量為60%，70%，75%的3種陶瓷漿料均呈現(xiàn)出明顯的剪切變稀的非牛頓流體特征，并趨向于Herschel-Bulkley流體；MRT LBM原理簡單、計算過程清晰，可以有效實(shí)現(xiàn)單螺桿擠出式3D打印過程中該陶瓷漿料的流動仿真。

(2) 當(dāng)螺槽寬度一定時，流速分量u在靠近套筒內(nèi)壁時最大，流速分量v在套筒壁面和螺桿壁面處最??；當(dāng)螺槽深度一定時，流速分量u在螺槽流道中部最大且保持基本恒定，流速分量v在該處則為0；隨著固相含量的增大，漿料流速變??；在其他因素保持不變且漿料流變性可以滿足要求的情況下，固相含量不應(yīng)過高以滿足較好的流動性能。