張常光，單冶鵬，高本賢，吳凱

(1.長安大學(xué) 建筑工程學(xué)院，西安 710061；2.成都理工大學(xué) 地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護國家重點實驗室，成都 610059)

土壓力大小及其分布在擋墻和地下設(shè)施設(shè)計中占有十分重要的地位，Coulomb、Rankine基于擋墻平移極限狀態(tài)建立了土壓力公式并形成兩類經(jīng)典極限土壓力理論，文獻[1-4]對經(jīng)典極限土壓力理論進行了擴展研究。經(jīng)典極限土壓力的形式簡單、物理意義明確，至今仍被廣泛應(yīng)用。但要達到極限土壓力的狀態(tài)，所對應(yīng)的擋墻位移多數(shù)超過實際設(shè)計允許位移，特別是對于被動狀態(tài)，土壓力的極限平衡狀態(tài)往往不會出現(xiàn)。因此，經(jīng)典極限土壓力理論不能反映土壓力隨擋墻位移變化的中間性態(tài)，有必要研究土壓力的整個變化過程以及擋墻位移效應(yīng)的影響。

土壓力是土體與擋墻相互作用的結(jié)果，不僅與土體性質(zhì)、擋墻高度、擋墻剛度、時間效應(yīng)等有關(guān)，還與擋墻的位移有著密切關(guān)聯(lián)，這些因素對土壓力的影響程度各不相同，不現(xiàn)實也沒必要把所有影響因素一起考慮，筆者將重點探討剛性擋墻位移對某點處土壓力的影響。文獻[5-11]的土壓力模型試驗結(jié)果均表明：擋墻位移效應(yīng)(包括位移狀態(tài)、位移模式和位移大小)對土壓力的影響顯著，且不同位移模式下土壓力沿深度均為非線性分布。

在研究土壓力與擋墻位移關(guān)系的計算方法中，可采用數(shù)學(xué)函數(shù)來表征土壓力隨擋墻位移的變化關(guān)系。筆者針對擋墻位移土壓力的眾多數(shù)學(xué)擬合公式，依據(jù)函數(shù)形式的不同分為三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、雙曲線函數(shù)、冪函數(shù)、S型函數(shù)以及其他函數(shù)等6大類，總結(jié)這些數(shù)學(xué)擬合公式的特點與不足，并指出進一步研究的方向。

1 土壓力及擋墻位移效應(yīng)

文獻[12-14]指出土壓力隨擋墻位移變化而變化，實際擋墻土壓力介于靜止土壓力和極限土壓力之間，并與擋墻位移存在非線性關(guān)系，如圖1所示。擋墻不發(fā)生移動時的土壓力為靜止土壓力p0，背離土體移動時擋墻土壓力隨之衰減并終止于主動極限狀態(tài)，相應(yīng)的土壓力衰減稱為松弛應(yīng)力pr、主動極限狀態(tài)土壓力為主動土壓力pa即土壓力的最小值。同理，朝向土體一側(cè)移動時擋墻土壓力隨之增長并終止于被動極限狀態(tài)，相應(yīng)的土壓力增長稱為擠壓應(yīng)力ps、被動極限狀態(tài)土壓力為被動土壓力pp即土壓力的最大值。

除圖1擋墻位移狀態(tài)(主動、被動)、位移大小顯著影響土壓力以外，圖2中的擋墻位移模式也對土壓力具有重要影響。當(dāng)剛性擋墻發(fā)生平移而處于非極限狀態(tài)時，擋墻沿深度方向各點的位移相同，即研究某點處土壓力與擋墻位移的函數(shù)變化關(guān)系可用于擋墻上的所有點，這使得擋墻位移土壓力求解大為簡化，故現(xiàn)有文獻采用數(shù)學(xué)擬合方法研究擋墻位移土壓力p*時均基于擋墻的平移T模式。

圖2 擋墻位移模式Fig.2 Movement modes of a retaining wall

在位移土壓力的數(shù)學(xué)擬合公式中，對應(yīng)主/被動土壓力的擋墻極限位移δcr是一個關(guān)鍵的物理量，一般通過模型試驗獲得。表1總結(jié)了土體達到極限平衡狀態(tài)時擋墻所需的位移量，其中達到主動土壓力的擋墻極限位移δacr要遠小于被動土壓力相應(yīng)的極限位移δpcr。規(guī)定以被動狀態(tài)的位移為正，主動狀態(tài)的位移為負。

表1 極限平衡狀態(tài)下?lián)鯄O限位移Table 1 Limit displacement of a retaining wall under limit equilibrium conditions

續(xù)表1

2 數(shù)學(xué)擬合公式分類及特點

2.1 擬合公式分類

擋墻位移土壓力的數(shù)學(xué)擬合公式常以靜止土壓力、主/被動土壓力這3個已知土壓力為基礎(chǔ)，對圖1可分別開展主動狀態(tài)、被動狀態(tài)下?lián)鯄ξ灰仆翂毫Φ姆侄螖?shù)學(xué)表征，也可不分段對整條曲線進行數(shù)學(xué)表征。將圖1中擋墻的松弛應(yīng)力pr和擠壓應(yīng)力ps統(tǒng)稱為附加應(yīng)力，進而擋墻位移時土壓力可視為靜止土壓力相加減附加應(yīng)力，如式(1)所示。

(1)

(2)

式中：prmax為松弛應(yīng)力最大值；psmax為擠壓應(yīng)力最大值。

引入位移函數(shù)kaδ、kpδ表征松弛/擠壓應(yīng)力，記pr=kaδ×prmax、ps=kpδ×psmax，則

主動狀態(tài)下的位移土壓力為

(3)

被動狀態(tài)下的位移土壓力為

(4)

將式(3)和式(4)統(tǒng)一表達為

p*=p0+kδ(pcr-p0)

(5)

式中：pcr為主動或被動土壓力。

可將式(5)變換為附加應(yīng)力的比值，即

(6)

擋墻位移土壓力也可以已知土壓力為參考直接作比進行數(shù)學(xué)擬合，即

(7)

(8)

此外，還存在上述3種方式以外的其他構(gòu)造方式。

可以看出：位移函數(shù)kδ1、kδ2、kδ3的量綱為1，對應(yīng)位移函數(shù)kδ的3種構(gòu)造方式，用于描述土壓力隨擋墻位移的變化關(guān)系。當(dāng)構(gòu)造位移函數(shù)的方式確定后，可選用不同形式的數(shù)學(xué)函數(shù)對位移函數(shù)進行表征，并著重研究其待定參數(shù)及取值。因土體類型復(fù)雜且土壓力數(shù)據(jù)少，某種數(shù)學(xué)擬合公式僅在文獻個別土體類型下的預(yù)測效果較好，不同土體類型下的擬合效果不盡一致，故數(shù)學(xué)擬合公式的適用性難以準(zhǔn)確評價。但構(gòu)造位移函數(shù)最突出的特點就是每個數(shù)學(xué)擬合公式都有較為明確的函數(shù)形式，決定擋墻位移土壓力曲線的變化趨勢。

因此，按照文獻所用擬合函數(shù)的不同數(shù)學(xué)形式，將位移土壓力的代表性數(shù)學(xué)擬合公式大致分為6大類。需說明的是，如果同時涉及2種函數(shù)形式，則以主函數(shù)形式進行分類，并按出現(xiàn)年代依次列出；若位移函數(shù)在主動狀態(tài)、被動狀態(tài)中采用同一函數(shù)，則用一個公式表示整條曲線；本文研究對象為剛性擋墻，未考慮擋墻自身的變形影響。

2.1.1 三角函數(shù) 徐日慶等[25]采用反正切函數(shù)描述松弛/擠壓應(yīng)力與擋墻位移的關(guān)系，提出的位移土壓力公式為

(9)

張吾渝等[26]、徐日慶[27]使用正弦函數(shù)擬合土壓力與擋墻位移的關(guān)系，提出的位移土壓力公式為

(10)

在式(10)的基礎(chǔ)上，張燕凱等[28]利用開挖深度反映擋墻位移，喻軍等[29]考慮支護結(jié)構(gòu)水平位移的影響，劉一俊[30]將冪函數(shù)和正弦函數(shù)相結(jié)合，并對正弦函數(shù)取m次方。

2.1.2 指數(shù)函數(shù) 陳頁開等[31]采用指數(shù)函數(shù)描述土壓力隨擋墻位移的變化關(guān)系，提出的位移土壓力公式為

(11)

式中：a為與土性等因素有關(guān)的參數(shù)，0≤a≤1。田培先[32]認(rèn)為參數(shù)a在不同土層中的取值不同。

李德賢[33]使用正切雙曲函數(shù)反映土壓力隨擋墻位移的變化，提出的位移土壓力公式為

(12)

式中：A是與土性有關(guān)的參數(shù)。趙新益[34]指出A=b1+b2δ/δcr，其中b1、b2為與土體類別、變形特性及擋墻位移狀態(tài)有關(guān)的參數(shù)，且b1恒大于0。對于砂性土，b2<0；對于黏性土，b2>0。

柯才桐等[35]提出的指數(shù)型位移土壓力公式為

(13)

式中：φ為土體的內(nèi)摩擦角。

2.1.3 雙曲線函數(shù) 陸瑞明等[36]將土壓力與擋墻位移描述為雙曲線函數(shù)，得到的位移土壓力公式為

(14)

式中：Kh為土體的水平基床系數(shù)。

(15)

式中：k0為靜止土壓力系數(shù)；Ra為主動狀態(tài)發(fā)展系數(shù)。

Duncan等[37]將雙曲線函數(shù)和Duncan-Chang模型相結(jié)合，提出的被動位移土壓力公式為

(16)

式中：Kmax為土體的最大抗力系數(shù)；Rf為破壞比。

夏唐代等[38]對Kmax乘以參數(shù)λ，并令λKmax和Duncan-Chang模型的初始模量Ei相等，將式(16)的適用范圍擴展至擋墻整個位移過程。

姜志強等[39]提出的雙曲線位移土壓力公式為

(17)

姚海明[40]、胡志平等[41]提出主動狀態(tài)下的雙曲線位移土壓力公式為

(18)

張文慧等[42]選用雙曲線函數(shù)，并引入修正項以消除計算值與實際值的顯著差異，提出的位移土壓力公式為

(19)

易南概等[43]將墻后土體視為非線性彈簧，提出的雙曲線位移土壓力公式為

(20)

李青[44]整理劉國彬[45]和胡曉虎[46]有關(guān)上海軟土的卸荷土壓力試驗，將深基坑擋墻主動土壓力采用歸一化的雙曲線函數(shù)描述為

(21)

式中：d1、d2為由卸荷應(yīng)力路徑試驗確定的系數(shù)。

盧坤林等[47-48]綜合分析劉昌清等[49]和陳頁開[22]的土壓力相關(guān)數(shù)據(jù)，得到的雙曲線位移土壓力公式為

(22)

聶宗泉等[51]通過實測值(p1，δ1)、(p2，δ2)反算得到的主動雙曲線位移土壓力公式為

(23)

韓勤等[52]基于軟土基坑工程土壓力實測數(shù)據(jù)，得到主動土壓力與擋墻位移的雙曲線擬合公式為

(24)

式中：g為主動土壓力修正系數(shù)。

伍露露[53]運用雙曲線函數(shù)，提出的位移土壓力公式為

(25)

式中：j1為由邊界條件和初始條件確定的參數(shù)；j2為考慮卸荷影響的參數(shù)。

2.1.4 冪函數(shù) 吳偉強[54]假定在土壓力達到極限平衡狀態(tài)前土體為線彈性，土壓力與擋墻位移采用線性關(guān)系擬合。唐孟雄等[55]、高文華等[56]對基坑開挖進行有限元模擬，也使用線性函數(shù)描述土壓力和擋墻位移的關(guān)系。

蔣鵬等[57]將松弛應(yīng)力與擋墻位移關(guān)系利用二次函數(shù)來擬合，其主動位移土壓力公式為

(26)

譚志勇等[58]在Rankine土壓力的基礎(chǔ)上，提出的位移土壓力公式為

(27)

式中：q為地面超載；γ為土體重度；h為計算點到土體頂面的距離；ka為主動土壓力系數(shù)，kp為被動土壓力系數(shù)；l1和l2為經(jīng)驗系數(shù)。

梁洪水[59]提出的冪函數(shù)主動位移土壓力公式為

(28)

2.1.5 S型函數(shù) S型函數(shù)具有單調(diào)遞增以及映射區(qū)間有限等性質(zhì)，常用于研究土壓力隨擋墻位移的變化問題，其表達式為

(29)

梅國雄等[60]在S型函數(shù)的基礎(chǔ)上，基于現(xiàn)場實測土壓力數(shù)據(jù)分析，提出預(yù)測整條位移土壓力曲線的公式為

(30)

式中：m(δacr，φ)為擋墻主動極限位移和土體內(nèi)摩擦角的函數(shù)，且m(δacr，φ)>0；k(φ)為土體內(nèi)摩擦角的函數(shù)。Ni等[61]在此基礎(chǔ)上做了進一步的拓展研究。

梅國雄等[62]在式(30)的基礎(chǔ)上，得到砂土考慮擋墻位移的Rankine土壓力公式為

(31)

式中：

趙建平等[63]將式(30)適用范圍拓展至黏性土，采用等代摩擦角φD替換內(nèi)摩擦角φ，φD=acrtan[tanφ+c/(γh)]，并在此基礎(chǔ)上引入修正系數(shù)n，指出被動狀態(tài)計算時修正系數(shù)n不大于1.3，當(dāng)達到主動土壓力時，n=1；c為土體的黏聚力。

張春會等[64]對S型函數(shù)進行修正，得到的位移土壓力公式為

(32)

式中：r1、r2為待定參數(shù)。

羅偉等[65]提出的S型函數(shù)位移土壓力公式為

(33)

2.1.6 其他函數(shù) 以上均為基于某一類數(shù)學(xué)函數(shù)形式來預(yù)測土壓力隨擋墻位移的變化關(guān)系，計算公式具有該類函數(shù)的數(shù)學(xué)特征。但有些位移土壓力公式卻難以歸為某一具體的函數(shù)形式，故將這一類位移土壓力中的數(shù)學(xué)函數(shù)統(tǒng)稱為其他函數(shù)。例如，盧國勝[66]結(jié)合Rankine土壓力理論，考慮土體內(nèi)摩擦角以及黏聚力，提出的位移土壓力公式為

(34)

王培清等[67]考慮土體黏聚力提出的位移土壓力公式為

(35)

2.2 擬合公式特點

結(jié)合擋墻位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式的構(gòu)造方式及函數(shù)形式分類可知，同類數(shù)學(xué)擬合公式保留了該類函數(shù)的數(shù)學(xué)特征，繼而土壓力呈現(xiàn)相似的變化趨勢?，F(xiàn)從數(shù)學(xué)擬合公式的目的、構(gòu)造方式、合理性以及參數(shù)確定等方面，對代表性位移土壓力公式進行總結(jié)：

1)這6類位移土壓力公式的目的相同，即采用某一種數(shù)學(xué)函數(shù)描述擋墻在表1極限狀態(tài)范圍內(nèi)土壓力隨擋墻位移的變化規(guī)律，可獲得擋墻非極限狀態(tài)下的位移土壓力，故數(shù)學(xué)擬合方法的途徑明了、簡單易用，不過多探究擋墻位移土壓力的內(nèi)在機理，在工程設(shè)計中已得到一定應(yīng)用。

2)構(gòu)造位移土壓力的數(shù)學(xué)擬合公式存在4種方式，前3種以靜止土壓力、主/被動土壓力為基礎(chǔ)，通過附加應(yīng)力作比或已知土壓力直接作比定義了無量綱的位移函數(shù)，尤以附加應(yīng)力作比的構(gòu)造方式應(yīng)用最為廣泛，可分別對主動狀態(tài)、被動狀態(tài)下?lián)鯄Φ奈灰仆翂毫M行分段數(shù)學(xué)表征，也可不分段對整條曲線進行數(shù)學(xué)表征。以已知土壓力直接作比的構(gòu)造方式，需綜合考慮位移土壓力的整體變化規(guī)律。

3)結(jié)合圖1和6類位移土壓力公式的數(shù)學(xué)特征可知，合理實用的位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式需具備3方面特征：邊界條件與初值滿足、參數(shù)含義明確以及能反映擋墻與土體之間的相互作用。位移土壓力公式的適用性需經(jīng)多種類型土體工程實測、模型試驗和數(shù)值模擬的系統(tǒng)性驗證。

4)位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式重點表征了剛性擋墻位移對土壓力的影響，其待定參數(shù)常與土體內(nèi)摩擦角或黏聚力等土性因素有關(guān)，部分參數(shù)需結(jié)合工程實測或模型試驗確定；土體流變時間效應(yīng)、基坑開挖空間效應(yīng)以及多因素耦合作用等影響，一般是借助不同類型的數(shù)學(xué)函數(shù)相復(fù)合得以實現(xiàn)。

5)位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式大多基于某一類明確具體的函數(shù)形式，其差異主要體現(xiàn)在函數(shù)形式選擇和待定參數(shù)及取值不同，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)擬合公式的多樣性、可選性，同時也表明當(dāng)前位移土壓力數(shù)學(xué)擬合方法研究的廣泛性與非系統(tǒng)性，這實際反映的是對擋墻位移土壓力的認(rèn)知局限性。

3 存在的不足及進一步研究方向

目前，數(shù)學(xué)擬合方法在土壓力與擋墻位移關(guān)系研究中已占據(jù)重要地位，但土壓力的影響因素眾多且錯綜復(fù)雜，使得很多數(shù)學(xué)擬合公式仍停留在理論層面，存在研究不足并需進一步完善。

1)6類數(shù)學(xué)擬合公式重點描述了土壓力隨擋墻位移的變化特征，很大程度上未對墻后土體、擋墻以及土體擾動的相互作用進行闡述，僅針對土壓力有限數(shù)據(jù)做了宏觀規(guī)律性對比驗證，雖在某些條件下說明了數(shù)學(xué)擬合公式的正確性，但只適用于對比所用的特定土，對其他土體的擬合效果不盡理想。

研究方向：應(yīng)將擋墻位移土壓力的形成機理、物理解釋和理論分析與數(shù)學(xué)擬合方法相結(jié)合。另外，數(shù)學(xué)擬合公式提出后，需經(jīng)大量土壓力實測、試驗或模擬的適用性驗證，進而界定公式的適用范圍、應(yīng)用步驟，或以分段函數(shù)形式獲得更具針對性的擬合公式。加強各數(shù)學(xué)擬合公式間的比較和參數(shù)定量化描述。

2)土壓力是土體與擋墻相互作用的結(jié)果，其他影響因素，如溫度、時空效應(yīng)、施工工序、滲流等，有時一同歸并為對擋墻位移的影響，這樣雖然可簡化實際問題，但并不一定客觀。圖2擋墻位移模式對土壓力大小及分布具有顯著影響，而數(shù)學(xué)擬合方法卻均假定擋墻為平移T模式。

研究方向：應(yīng)針對不同位移模式的擋墻，建立相應(yīng)的位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式，并適當(dāng)兼顧其他因素的影響。例如，邾祝融等[68]考慮開挖順序及時間因素，將時空效應(yīng)影響與位移函數(shù)相復(fù)合。如何將其他因素影響也轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)函數(shù)表達，是對現(xiàn)有位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式進行修正的一個重要方向。

3)位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式大多針對的是干土或飽和土，表1中模型試驗的土體也多為干砂、密砂、粉砂、粉土和礦渣，鮮有黏性土，針對不良特殊土體(濕陷性黃土、膨脹土等)的研究也不充分，且尚未開展基于非飽和土力學(xué)原理的擋墻位移土壓力研究。

研究方向：開展各類土體擋墻土壓力的模型試驗或數(shù)值模擬以及現(xiàn)場試驗，特別是黏性土、非飽和土、濕陷性黃土、膨脹土等。工程實踐中遇到的土體大多為非飽和土，與飽和土最大的區(qū)別是基質(zhì)吸力的存在及其產(chǎn)生的吸附強度，可構(gòu)建基于非飽和土力學(xué)原理的擋墻位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式。

4)已有的土體真三軸試驗結(jié)果表明[69-70]，中間主應(yīng)力對土體強度的影響明顯。土體強度的提高必然會對擋墻土壓力產(chǎn)生全方位影響，包括墻后土體滑裂面、土壓力大小和分布，甚至是擋墻的位移模式?，F(xiàn)有位移土壓力的數(shù)學(xué)擬合公式均沒有體現(xiàn)中間主應(yīng)力的影響，獲得的土壓力難以反映土體實際強度。

研究方向：對墻后土體開展真三軸試驗研究，探討中間主應(yīng)力對土體黏聚力及內(nèi)摩擦角的影響規(guī)律，或者基于合理考慮中間主應(yīng)力影響的土體真三軸強度準(zhǔn)則與土體常規(guī)軸對稱壓縮試驗，獲得平面應(yīng)變條件下土體的真實強度參數(shù)用于位移土壓力計算，并加強對墻后土體滑裂面和擋墻位移模式的試驗觀測。

4 結(jié)論

1)擋墻位移土壓力常以靜止土壓力、主/被動土壓力為基礎(chǔ)，存在4種數(shù)學(xué)函數(shù)構(gòu)造方式，尤以第1種附加應(yīng)力作比構(gòu)造位移函數(shù)的應(yīng)用最為廣泛，可相應(yīng)對主動或被動狀態(tài)下?lián)鯄Φ奈灰仆翂毫M行分段數(shù)學(xué)表征，也可不分段對整條曲線進行數(shù)學(xué)表征，目的都是更準(zhǔn)確地描述土壓力隨擋墻位移的變化規(guī)律。

2)將擋墻位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式按函數(shù)形式分為6大類：三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、雙曲線函數(shù)、冪函數(shù)、S型函數(shù)以及其他函數(shù)，可利用某類數(shù)學(xué)函數(shù)應(yīng)具備的3方面特征，確定其適用范圍，以便更好地表達土壓力隨擋墻位移變化的非線性特征。

3)應(yīng)將擋墻位移土壓力的形成機理、物理解釋和理論分析與數(shù)學(xué)擬合方法相結(jié)合，加強位移土壓力數(shù)學(xué)擬合公式間的對比分析，探究各自的合理性及適用性。對擋墻不同位移模式開展全面分析，并進行黏性土、非飽和土、濕陷性黃土、膨脹土等的土壓力試驗和中間主應(yīng)力效應(yīng)研究。