葛志文，劉劍慰，王一凡

（南京航空航天大學(xué)， 江蘇 南京 210000）

0 引言

近年來，隨著多智能體在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)[1]、編隊(duì)控制[2]、多移動(dòng)機(jī)器人[3]等多方面的應(yīng)用，其協(xié)同控制問題已成為一個(gè)研究熱點(diǎn)。多智能體協(xié)同控制的重要目標(biāo)之一是一致性，即通過合適的控制方案，使所有智能體的狀態(tài)趨于相同。根據(jù)是否存在領(lǐng)航者，多智能體一致性問題可分為兩類：無領(lǐng)航者一致性和領(lǐng)航-跟隨一致性。對(duì)于領(lǐng)航-跟隨一致性問題，其主要目標(biāo)是設(shè)計(jì)控制律，使所有跟隨者狀態(tài)與領(lǐng)航者的相一致。雖然目前對(duì)領(lǐng)航-跟隨一致性問題的研究已經(jīng)十分成熟，對(duì)二階及高階多智能體一致性問題的研究也均有涉及[4-5]，但缺乏普遍性。為此，本文針對(duì)線性定常動(dòng)態(tài)模型所描述的多智能體系統(tǒng)進(jìn)行研究。

目前，已有多種方法應(yīng)用于多智能體一致性控制中，比如最優(yōu)控制[6]、自適應(yīng)控制[7]及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[8]等?；？刂凭哂薪Y(jié)構(gòu)簡單和對(duì)不確定性事物的強(qiáng)魯棒性等優(yōu)點(diǎn)，因此基于滑模控制的多智能體一致性問題受到諸多研究者的關(guān)注[9-11]：文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了一種新型滑模面來解決非線性二階多智能體的一致性問題；文獻(xiàn)[10]基于滑模控制方法研究分?jǐn)?shù)階多智能體系統(tǒng)的一致性跟蹤控制問題；文獻(xiàn)[11]針對(duì)含有干擾的多智能體系統(tǒng)，將滑?？刂坪透蓴_觀測器相結(jié)合，在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)了多智能體的一致性。雖然上述文獻(xiàn)采用滑?？刂茖?shí)現(xiàn)了多智能體的一致性，但其均未考慮由不連續(xù)控制所引起的系統(tǒng)抖振問題。為了實(shí)現(xiàn)連續(xù)滑模一致性控制，文獻(xiàn)[12]提出了針對(duì)二階多智能體的連續(xù)滑模一致性控制方法；然而，當(dāng)多智能體系統(tǒng)由一般線性定常模型描述時(shí)，采用連續(xù)自適應(yīng)滑?？刂品椒ㄟM(jìn)行一致性控制的研究仍不充分。

多智能體系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)一致性控制的前提是每個(gè)智能體都正常工作，但實(shí)際情況下，智能體的執(zhí)行器可能出現(xiàn)故障，從而導(dǎo)致系統(tǒng)性能惡化[13]，因此對(duì)出現(xiàn)執(zhí)行器故障的多智能體系統(tǒng)進(jìn)行容錯(cuò)控制具有重要意義。目前已有許多文獻(xiàn)對(duì)多智能體容錯(cuò)一致性進(jìn)行了研究：文獻(xiàn)[14]采用自適應(yīng)一致性控制算法解決了存在執(zhí)行器故障和外部干擾的多智能體一致性問題；文獻(xiàn)[15]基于自適應(yīng)控制采用主動(dòng)容錯(cuò)控制方式實(shí)現(xiàn)多智能體容錯(cuò)一致性；文獻(xiàn)[16]提出一種容錯(cuò)協(xié)同控制算法解決了多智能體一致性跟蹤問題。

在上述研究中，盡管滑模控制對(duì)外部干擾和執(zhí)行器故障展現(xiàn)了良好的魯棒性，但其在多智能體容錯(cuò)一致性方面的研究仍需深入。為此，本文針對(duì)存在執(zhí)行器故障和外部干擾的多智能體系統(tǒng)，提出一種基于自適應(yīng)滑模的容錯(cuò)一致性控制算法，其與文獻(xiàn)[9-11]所用滑?？刂品椒ㄏ啾?，由于采用連續(xù)控制，故可解決系統(tǒng)的抖振問題；與文獻(xiàn)[14-15]所提方法相比，其在結(jié)構(gòu)上更為簡潔，也更易實(shí)現(xiàn)；與文獻(xiàn)[16]的容錯(cuò)跟蹤控制算法相比，其可使多智能體系統(tǒng)更快實(shí)現(xiàn)一致性，并且對(duì)執(zhí)行器故障具有更好的魯棒性。

1 問題描述

本文首先引入圖論知識(shí)描述多智能體間的信息交互，并以一個(gè)領(lǐng)航者與N個(gè)跟隨者組成的多智能體系統(tǒng)為研究對(duì)象，描述其故障模型。

1.1 圖論知識(shí)

在一個(gè)有向圖中，如果存在一個(gè)根節(jié)點(diǎn)，其能沿某條路徑到達(dá)任意節(jié)點(diǎn)，則稱該圖包含有向生成樹。本研究中考慮含有一個(gè)領(lǐng)航者和N個(gè)跟隨者的多智能體，其中領(lǐng)航者標(biāo)記為0，跟隨者分別標(biāo)記為1, 2,…,N。跟隨者間的通信拓?fù)溆捎邢驁D的拉普拉斯矩陣L定義。領(lǐng)航者和跟隨者之間的通信拓?fù)溆蓪?duì)角矩陣G=diag(g1,g2,…,gN)定義：如果第i個(gè)跟隨者-接收到領(lǐng)航者信息，則gi=1；否則gi=0。此外，用圖表示包含領(lǐng)航者和跟隨者在內(nèi)所有多智能體的通信拓?fù)洹?/p>

假設(shè)1圖包含有向生成樹。

引理1[17]圖包含有向生成樹，則矩陣（L+G）可逆。

1.2 系統(tǒng)描述

考慮一個(gè)由一個(gè)領(lǐng)航者和N個(gè)跟隨者組成的多智能體系統(tǒng)，其中領(lǐng)航者的動(dòng)態(tài)模型被描述為

式中：x0(t)表示領(lǐng)航者的狀態(tài)變量，x0(t)∈Rn；u0(t)表示領(lǐng)航者的控制輸入，u0(t)∈Rp；A∈Rn×n，B∈Rn×p，均表示給定矩陣；Rn表示n維范數(shù)空間；Rn×n，Rn×p表示矩陣。

第i個(gè)跟隨者的動(dòng)態(tài)模型被描述為

式中：xi(t)表示跟隨者的狀態(tài)變量，xi(t)∈Rn；uoi(t)表示跟隨者的控制輸入，uoi(t)∈Rp；di(t)表示外界干擾，di(t)∈Rp；M表示外界干擾矩陣，M∈Rn×p。

假設(shè)領(lǐng)航者無故障，第i個(gè)跟隨者的執(zhí)行器故障模型可被描述為

式中：ui表示設(shè)計(jì)的控制輸入；ρi(t)和ri(t)分別表示執(zhí)行器的部分失效和偏移故障，ρi(t)∈Rp，ri(t)∈Rp。

根據(jù)上述故障模型，第i個(gè)跟隨者的動(dòng)態(tài)模型可被改寫為

則跟隨者的狀態(tài)方程為

式中：IN表示N階單位矩陣；ImN表示mN階單位矩陣；表示Kronecker乘積；ρ(t)=diag[ρ1(t),ρ2(t),…,ρN(t)]Im；。

為了方便后續(xù)控制算法的研究，對(duì)多智能體系統(tǒng)做出如下假設(shè)：

假設(shè)2執(zhí)行器的部分失效故障、偏移故障和領(lǐng)航者控制輸入是有界的，即存在正實(shí)數(shù)滿足，，，其中表示范數(shù)。

假設(shè)3對(duì)于外部干擾，存在一個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，i=1, 2,…,N。

假設(shè)4跟隨者系統(tǒng)完全可控，且rank(B)=p，其中rank(·)表示矩陣的秩。

2 容錯(cuò)一致性控制器設(shè)計(jì)

本文根據(jù)跟蹤誤差設(shè)計(jì)積分滑模面，得到基于自適應(yīng)滑?？刂频亩嘀悄荏w系統(tǒng)容錯(cuò)控制器。

2.1 滑模面

在進(jìn)行滑模面設(shè)計(jì)之前，首先定義跟蹤誤差：

式中：aij為權(quán)重鄰接矩陣中的元素，表示跟隨者i和j間的連接權(quán)重；gi表示第i個(gè)跟隨者和領(lǐng)航者之間的連接權(quán)重。

式中：1N=[1, 1,…, 1]T∈RN。

則跟蹤誤差為

引理2[18]考慮由式（1）和式（2）定義的領(lǐng)航-跟隨系統(tǒng)，如果有向圖包含有向生成樹且e(t)=0，則系統(tǒng)狀態(tài)收斂并滿足式（9）。

基于上述跟蹤誤差，設(shè)計(jì)如下積分滑模面：

2.2 自適應(yīng)滑模容錯(cuò)一致性控制器

基于式（11）的積分滑模面為多智能體系統(tǒng)設(shè)計(jì)容錯(cuò)一致性控制律。含有不連續(xù)控制項(xiàng)的一致性控制律設(shè)計(jì)如下：

式中：ψ(s)為不連續(xù)切換增益，；g=[g1,g2,…,gN]T。

由于系統(tǒng)受到的外界干擾很難被準(zhǔn)確測得，雖然可以選擇足夠大的切換增益ψ(s)來抑制干擾，但這會(huì)造成執(zhí)行器嚴(yán)重抖振；同時(shí)，執(zhí)行器故障的存在也加劇了系統(tǒng)的不穩(wěn)定性，因此需要設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)控制律來抑制干擾同時(shí)處理執(zhí)行器故障問題。

將本文的自適應(yīng)增益設(shè)計(jì)為

式中：α,γ為自適應(yīng)增益參數(shù)，α＞0，γ＞0。

式（12）中的不連續(xù)控制項(xiàng)ψ(s)的改進(jìn)式為

式中：δ＞0。

δ,βi由自適應(yīng)律確定，則自適應(yīng)容錯(cuò)控制律為

定理1針對(duì)存在執(zhí)行器故障和外部干擾的多智能體系統(tǒng)，在加入式（15）所示的容錯(cuò)控制律后，跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)有界穩(wěn)定。

定義：

式中：ρ=diag(ρ1,ρ2,…,ρN)，diag(…)表示對(duì)角矩陣。

由式（16）可知，0＜μ＜1。

證明：考慮Lyapunov函數(shù)

式中：為自適應(yīng)增益的上界，且，其中，常數(shù)βc＞0。

對(duì)Lyapunov 函數(shù)求導(dǎo)并代入式（15），得

將式（16）代入式（18）可得：

下面分3種情況討論Lyapunov函數(shù)的負(fù)定性：

（1）如果所有跟隨者滿足βi||si||≥δ，i=1, 2,…,N，則，可得

（2）如果所有跟隨者滿足βi||si||＜δ，則，可得

（3）如果一部分跟隨者滿足βi||si||≥δ，另一部分滿足βi||si|| ＜δ，可得

式中：ε1≤ε3≤ε2。

綜上，對(duì)于任意的βi||si||，Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足

式中：ε=max{ε1ε2ε3}=ε2；θc為一常數(shù)，且 0＜θc＜1。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證本文所提算法的有效性與優(yōu)越性，本文對(duì)文獻(xiàn)[20]中的四旋翼飛行器模型進(jìn)行簡化，得到四旋翼沿X軸方向運(yùn)動(dòng)模型：

式中：M表示重量；v表示速度；θ為偏航角；F為四旋翼推力。

式中：Km為正增益；ωm為執(zhí)行器帶寬；u為控制輸入。引入執(zhí)行器動(dòng)態(tài)變量κ：

式（28）的狀態(tài)方程為

根據(jù)式（26）～式（29），可建立X軸狀態(tài)空間表達(dá)式：

式中：x，v，κ分別表示X軸方向位移、X軸方向速度和執(zhí)行器的動(dòng)態(tài)變量。

設(shè)定俯仰角弧度θ=0.035 rad，則根據(jù)文獻(xiàn)[20]中的參數(shù)可得

領(lǐng)航者0和跟隨者1，2，3，4的通信拓?fù)淙鐖D1所示。

圖1 多智能體系統(tǒng)通信拓?fù)銯ig. 1 Communication topology of the multi-egent system

其對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣為

領(lǐng)航者和跟隨者之間的連接權(quán)重矩陣為G=diag(0 0 1 1)；外部干擾矩陣M=[0 0 1.5]T；外部干擾函數(shù)為di(t)=0.3sin(0.5it+0.25iπ)，i=1, 2, 3, 4。跟隨者執(zhí)行器故障為ρ(t)=[0 0.2+0.1cost0 0.3+0.1sint]，

領(lǐng)航者控制輸入為u0=-K0x+0.1sin(t)，其中K0=[0.0174 0.0309 -0.7333]；領(lǐng)航者的初始狀態(tài)為x0(0)=[2 0.3 0.1]T。

跟隨者多智能體的初始狀態(tài)為：x1(0)=[-1 0.1 0.15]T，x2(0)=[3 0.3 0.1]T，x3(0)=[1 0.4 0.25]T，x4(0)=[-2 0.3 0.2]T。

當(dāng)跟隨者存在執(zhí)行器故障和外部干擾時(shí)，自適應(yīng)參數(shù)選為α=150，γ=0.000 1，δ=0.9。根據(jù)上述參數(shù)進(jìn)行數(shù)值仿真，圖2和圖3中仿真結(jié)果表明，跟隨者在很短時(shí)間內(nèi)就跟蹤上領(lǐng)航者的位置和速度，不但實(shí)現(xiàn)了多智能體系統(tǒng)的一致性，而且能很好地處理外部干擾問題。

圖2 自適應(yīng)滑?？刂品椒ㄏ碌奈恢酶欆壽EFig. 2 Position trajectory of the system under adaptive sliding mode control

圖3 自適應(yīng)滑模控制方法下的速度跟蹤軌跡Fig. 3 Velocity trajectory of the system under adaptive sliding mode control

由圖4、圖5所示的位置和速度跟蹤誤差仿真曲線可知，即使跟隨者2和跟隨者4存在執(zhí)行器部分失效故障，所有跟隨者也能夠在6 s內(nèi)完成對(duì)領(lǐng)航者的跟蹤；第7s時(shí)刻，跟隨者1和跟隨者3發(fā)生執(zhí)行器偏移故障；第14s時(shí)刻，所有跟隨者都發(fā)生偏移故障，跟蹤誤差曲線只有很小的抖動(dòng)便快速收斂。由圖6所示的自適應(yīng)增益可看出，故障發(fā)生后，自適應(yīng)模塊能迅速對(duì)執(zhí)行器故障做出響應(yīng)。

圖4 自適應(yīng)滑?？刂品椒ㄏ碌奈恢酶櫿`差Fig. 4 Position tracking error of the system under adaptive sliding mode control

圖5 自適應(yīng)滑?？刂品椒ㄏ碌乃俣雀櫿`差Fig. 5 Velocity tracking error of the system under adaptive sliding mode control

圖6 自適應(yīng)滑模控制方法下的自適應(yīng)增益Fig. 6 Adaptive gain of the system under adaptive sliding mode control

為了驗(yàn)證本文所提算法的優(yōu)越性，使用相同系統(tǒng)參數(shù)和故障對(duì)文獻(xiàn)[16]中的容錯(cuò)跟蹤控制方法進(jìn)行數(shù)值仿真，仿真結(jié)果如圖7和圖8所示。在執(zhí)行器部分失效故障情況下，位置和速度跟蹤誤差都需要較長時(shí)間才能收斂；在發(fā)生執(zhí)行器偏移故障后，誤差曲線會(huì)產(chǎn)生較大波動(dòng)。由上述分析可知，本文所提方案對(duì)外界干擾和執(zhí)行器故障問題具有更優(yōu)的控制效果。

圖7 文獻(xiàn)[16]控制方法下的位置跟蹤誤差Fig. 7 Position tracking error of the system with the control protocol in literature [16]

圖8 文獻(xiàn)[16]控制方法下的速度跟蹤誤差Fig. 8 Velocity tracking error of the system with the control protocol in literature [16]

對(duì)圖9和圖10所示結(jié)果進(jìn)行對(duì)比可知，連續(xù)自適應(yīng)滑?？刂坪芎玫亟鉀Q了系統(tǒng)的抖振問題。

圖9 不連續(xù)控制方法下的滑模面Fig. 9 Sliding surface of the system under discontinuous control

圖10 連續(xù)控制方法下的滑模面Fig. 10 Sliding surface of the system under continuous control

4 結(jié)語

本文針對(duì)存在外部干擾和執(zhí)行器故障的多智能體系統(tǒng)，提出了一種自適應(yīng)滑模容錯(cuò)一致性控制算法，其在兩種執(zhí)行器故障及外部干擾情況下，能很好地實(shí)現(xiàn)多智能體系統(tǒng)的一致性，且比傳統(tǒng)算法具有更優(yōu)的容錯(cuò)控制效果；此外，連續(xù)自適應(yīng)滑?？刂坡蛇€解決了系統(tǒng)的抖振問題。后續(xù)，將對(duì)實(shí)際多智能體進(jìn)行容錯(cuò)控制實(shí)驗(yàn)，這將是下一步研究的重點(diǎn)。