楊育球

(湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)，414100)

由兩數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列問(wèn)題令許多學(xué)生感到困惑.本文以一道高考試題為例介紹求解這類問(wèn)題一種通法,供參考.

例1(2020年全國(guó)高考題)將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項(xiàng)和為______.

分析從兩數(shù)列中選取項(xiàng)增加“較快”的數(shù)列,假如該數(shù)列的第n項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng),然后逐一遞推驗(yàn)證該數(shù)列的第n+1項(xiàng)，第n+2項(xiàng)，…是否為兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng),進(jìn)一步從中找到規(guī)律,得到兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列的數(shù)列{an}通項(xiàng)公式.

解記bn=2n-1,cn=3n-2.再設(shè)bm=cn,即2m-1=3n-2,m,n∈N*.

又cn+2=3(n+2)-2=(3n-2)+6=2m-1+6=2(m+3)-1,而m+3∈N*,可知cn+2∈{bm}=cn,則ak+1=bm+3=cn+2.

上述解法是依次遞推尋找公共項(xiàng)的,我們不妨稱之為“遞推找項(xiàng)法”.運(yùn)用“遞推找項(xiàng)法”求兩個(gè)數(shù)列{bn},{cn}的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列{an}通項(xiàng)的一般步驟:

(1)設(shè)bm=cn=ak,從中得到項(xiàng)數(shù)m,n的等式關(guān)系;

(2)在項(xiàng)增加“較快”的數(shù)列(如{cn})中依次驗(yàn)證某個(gè)相同項(xiàng)(如cn+1,cn+2,…),并將其項(xiàng)的表達(dá)式與另一個(gè)數(shù)列({bn})的通項(xiàng)公式相比較,斷定后面的遞推項(xiàng)是否是另一個(gè)數(shù)列({bn})的項(xiàng),從而發(fā)現(xiàn)項(xiàng)ak后續(xù)相鄰的項(xiàng)an+1；

(3)發(fā)現(xiàn)ak+1,ak之間的遞推關(guān)系，得出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

上述高考題求解的是兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列問(wèn)題,其實(shí),對(duì)于兩個(gè)等比數(shù)列的公共項(xiàng)問(wèn)題,一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的公共項(xiàng)問(wèn)題,運(yùn)用“遞推找項(xiàng)法”同樣可以解決.請(qǐng)見以下兩個(gè)例題.

例2數(shù)列{bn}與{cn}的通項(xiàng)公式分別為bn=4n,cn=8n,它們的公共項(xiàng)由小到大排列得到數(shù)列{an},求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析數(shù)列{cn}的增加“較快”，所以依據(jù)數(shù)列{cn}遞推找公共項(xiàng).

解設(shè)bm=cn,即4m=8n,則2m=3n,m,n∈N*.

又cn+2=8n+2=82·8n=43·4m=4m+3,由m+3∈N*,可知cn+2∈{bm},即cn+2是兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng).

因此，若ak=bm=cn,則ak+1=bm+3=cn+2.

例3數(shù)列{bn}與{cn}的通項(xiàng)公式分別為bn=2n,cn=3n-16,它們的公共項(xiàng)由小到大排列得到新數(shù)列{an}，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解數(shù)列{bn}的增加“較快”，所以依據(jù)數(shù)列{bn}遞推找公共項(xiàng).

設(shè)bm=cn,即2m=3n-16,m,n∈N*.

又bm+2=2m+2=22·2m=4(3n-16)=3(4n-16)-16,由4n-16∈N*,可知bm+2∈{cn},bm+2是兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng).

因此，若ak=bm=cn,則ak+1=bm+2=c4n-16.

綜上可知,“遞推找項(xiàng)法”是一種從整體上從一個(gè)數(shù)列中尋找公共項(xiàng)的解題方法,這種方法自然,通俗易懂,可操作性強(qiáng),適用范圍廣泛,易于同學(xué)們理解和接受,是一種求兩個(gè)數(shù)列{bn},{cn}的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列{an}的一種“通法”.