楊廣新

（1.浙江信息工程學校，浙江湖州 313000；2.湖州工程技師學院，浙江湖州 313000）

0 引言

隨著產業(yè)升級，迫切需要對機器人的設計進行深入的研究[1]，因此分析和掌握機器人軌跡規(guī)劃特性至關重要。

目前機器人關節(jié)空間軌跡規(guī)劃方法比較多，但多集中在采用多項式實現(xiàn)關節(jié)空間的軌跡規(guī)劃。孫增光等[2]研究了三次多項式和五次多項式實現(xiàn)IRB2400 機器人的關節(jié)空間軌跡規(guī)劃算法，并對規(guī)劃效果進行對比。李林升[3]采用組合的5-5-7-5 次復合多項式實現(xiàn)PUMA560 機器人關節(jié)空間軌跡規(guī)劃，計算量較大，需要采用高性能計算機實現(xiàn)關節(jié)空間軌跡規(guī)劃。劉貝貝等[4]在5 次多項式基礎上融合了均勻5 次B 樣條曲線進行機器人關節(jié)空間軌跡規(guī)劃，實現(xiàn)較好的控制效果。此外，梅江平等[5]提出5 次非均勻有理B樣條實現(xiàn)Delta機器人關節(jié)空間軌跡規(guī)劃。

機器人速度雅可比矩陣（簡稱雅可比）表示在具體位置關節(jié)處操作空間速度與關節(jié)空間速度之間的線性映射關系。機器人速度雅克比矩陣是機器人操作空間速度分析的關鍵要素，機器人在不同位置，雅克比矩陣的值是不同的。機器人速度雅克比矩陣求解比較困難，許多學者針對機器人的構型不同研究出不同的機器人速度雅克比矩陣求解方法，但目前主要采用微分變換法、直接構造法和矢量叉乘法等[6-7]。

本文以6R 機器人為研究對象，根據D-H 參數法建立6R機器人運動學方程；在此基礎上，根據直接構造法構建6R機器人速度雅克比矩陣，對機器人關節(jié)空間和操作空間速度關系進行仿真分析，研究機器人三次多項式軌跡規(guī)劃對操作空間速度連續(xù)性及變化的影響。

1 機器人運動學分析

1.1 D-H建模

D-H機器人建模方法由Denavit和Hartenberg提出。如圖1所示，兩個構件相連，中間關節(jié)軸線有兩條公法線與其垂直，每條公法線對應一個連桿，如Zn分別與公法線an和an+1垂直。兩公法線之間的夾角為轉動角，記為θn，其轉向按繞軸線Zn的右手螺旋法確定。

圖1 D-H連桿模型

在每個構件上固結一坐標系，固結在桿n 上的坐標系為onxnynzn，其中坐標系原點on為關節(jié)軸線zn與an的交點，xn與公法線重合，zn與關節(jié)軸線重合。坐標系onxnynzn可以通過坐標系on-1xn-1yn-1zn-1繞xn-1軸轉角an，沿xn-1軸平移an，繞zn軸轉角θn，然后沿zn軸平移dn四步獲得，則變換矩陣如下：

式中：cn為 cos θn；sn為 sin θn； sαn為 sinαn； cαn為 cosαn。

式中： nx、ny、nz，ox、oy、oz，ax、ay、az分別為末端執(zhí)行器的單位主矢量x、y、z 相對于i關節(jié)坐標系的x、y、z 的方向余弦； px、py、pz為末端執(zhí)行器的坐標原點相對于i關節(jié)坐標系的 x、y、z 的位置。

當i=0時，表示在機器人的基坐標系與工具坐標系之間的變換。

1.2 機器人運動學

機器人關節(jié)連桿參數如表1所示。

表1 6R機器人連桿參數

根據D-H方法，第i個關節(jié)坐標系到第i+1個關節(jié)坐標系的變化如下：

2 機器人速度雅克比矩陣的構建

2.1 機器人速度雅克比矩陣

6R機器人關節(jié)變量采用向量θ表示如下：

因此，關節(jié)空間的微小運動可表示為：

機器人工具坐標系在操作空間的位姿為X，其是關節(jié)變量的函數，如下所示：

式中： X 為6 維列矢量； J(θ) 為6R 機器人的速度雅可比（Jacobian）矩陣，其由函數x、y 的偏微分組成，反映了關節(jié)空間微小運動dθ與工具坐標系之間微小運動dX 之間的關系，同時也反映了機器人末端工具坐標系在操作空間的位姿變化速度與機器人關節(jié)變化速度之間的線性關系，該線性變換與機器人的位置相關。

對于6R機器人，根據機器人運動學方程，可以獲得直角坐標位置向量[x, y, z]T的顯式方程，但找不到方位向量[ωx，ωy，ωz]T的一般表達式。采用雅克比矩陣構造法可以更方便求出機器人雅克比矩陣。

對于轉動關節(jié)，關節(jié)n 只繞zn軸以角速度θ˙n轉動，機器人末端在操作空間位姿速度按如下構造：

6R機器人6個關節(jié)均為旋轉關節(jié)，6R機器人雅克比矩陣根據式（7）進行構造，如下所示：

2.2 機器人速度雅克比矩陣構造

機器人速度雅克比矩陣構造步驟如下：

（1）計算各連桿變化矩陣如式（3）；

（3）按式（8）構造J的各列元素。

3 仿真分析

6R 機器人依次經過點P0、P1、P2和P3，對應時間序列為0 s，2 s，5 s和7 s。操作空間點P0～P4對應的關節(jié)值如表2所示。經過MATLAB 三次多項式關節(jié)空間軌跡規(guī)劃，各關節(jié)位置曲線和速度曲線如圖2 所示。由圖可知，6R 機器人關節(jié)空間位置和速度連續(xù)，機器人運行平穩(wěn)。根據三次多項式關節(jié)空間軌跡規(guī)劃結果，對機器人相對于基坐標系的操作空間速度進行分析，如圖3 所示。機器人操作空間沿基坐標系X、Y和Z 方向及合成速度均連續(xù)；沿基坐標系X、Y 和Z 軸的旋轉角速度不連續(xù)，但數值為1×10-16級別，此不連續(xù)是由MATLAB計算誤差造成的。

表2 關節(jié)位置序列 rad

圖2 關節(jié)位置速度曲線圖

4 結束語

采用速度雅克比矩陣直接構造法原理，給出6R機器人速度雅克比矩陣構造過程，機器人力雅克比矩陣是速度雅克比矩陣的轉置，對于6R機器人受力研究具有重要意義；在機器人三次多項式關節(jié)空間軌跡規(guī)劃中，機器人關節(jié)空間及操作空間運行速度均連續(xù)，機器人運動平穩(wěn)，適合機器人PTP 軌跡規(guī)劃要求。