鄒振弘，印四華

（1.廣東工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣州 510006；2.廣東工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，廣州 510006）

0 引言

輥道窯是重要的一類陶瓷窯爐，主要用于建筑陶瓷材料生產(chǎn)，是陶瓷生產(chǎn)中主要的耗能設(shè)備。在陶瓷生產(chǎn)過程中，若由于物料、參數(shù)控制、人員等因素使得輥道窯的異常情況出現(xiàn)，會導(dǎo)致產(chǎn)品瑕疵以及能源浪費(fèi)等問題，造成極大的經(jīng)濟(jì)損失，情況嚴(yán)重時(shí)甚至發(fā)生安全事故。實(shí)際情況下，通常采用人工巡查和根據(jù)經(jīng)驗(yàn)觀察儀器儀表等方式檢查發(fā)現(xiàn)異常情況，有耗費(fèi)人工、發(fā)現(xiàn)不及時(shí)等缺點(diǎn)。隨著科技發(fā)展，目前大多數(shù)工業(yè)生產(chǎn)設(shè)備配備了數(shù)字儀表和工業(yè)計(jì)算機(jī)進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)控，并進(jìn)行生產(chǎn)數(shù)據(jù)的采集和存儲。

關(guān)于輥道窯的生產(chǎn)運(yùn)行研究，國內(nèi)外學(xué)者主要關(guān)注點(diǎn)在窯爐結(jié)構(gòu)的優(yōu)化、窯爐各過程的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，以及數(shù)值模擬和仿真實(shí)驗(yàn)。Milani[1]等對輥道窯的熱力學(xué)和流體動力學(xué)行為進(jìn)行了數(shù)值分析，并結(jié)合熱力學(xué)模型提出了一種針對窯爐冷卻段的改進(jìn)運(yùn)行策略，以最大程度地降低瓷磚的殘余應(yīng)力。Zhu[2]將傳統(tǒng)的PID 控制方法與卡爾曼濾波方法相結(jié)合，提出了基于卡爾曼濾波器的PID 混合智能控制器，實(shí)現(xiàn)了陶瓷梭式窯煅燒區(qū)溫度的智能控制。Zhang等[3]基于互信息和AdaBoost策略，提出了一個(gè)新的溫度預(yù)測模型，用于陶瓷梭式窯燒結(jié)過程的溫度預(yù)測。賈華[4]提出了Fuzzy-Smith 的復(fù)合控制的輥道窯溫度控制方法。李曉高[5]、曹利鋼[6]分別設(shè)計(jì)開發(fā)了基于專家系統(tǒng)的陶瓷窯爐遠(yuǎn)程監(jiān)測與故障診斷系統(tǒng)。也有部分學(xué)者根據(jù)輥道窯機(jī)理和運(yùn)行狀況，對輥道窯的常見異常進(jìn)行了分析。楊華亮[7]等針對輥棒的異常情況進(jìn)行總結(jié)，并開發(fā)了視覺攝像頭與傳感器結(jié)合的智能輥棒壽命管理系統(tǒng)。

可見，現(xiàn)有針對輥道窯的研究成果眾多，且都有一定效果，但是在異常檢測方面的研究較少，主要集中在異常情況的分類總結(jié)方面。對于這種包含高維度、海量數(shù)據(jù)，且過程復(fù)雜，難以構(gòu)建數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析的對象，使用數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法進(jìn)行異常檢測十分合適。

主元分析（Principle Component Analysis,PCA）方法是一種線性降維方法，可以把線性相關(guān)的多個(gè)觀測變量投影到低維空間中，轉(zhuǎn)換為少數(shù)幾個(gè)線性無關(guān)的變量表示，同時(shí)保留了變量之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)[8]。作為一種經(jīng)典的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析理論，PCA 廣泛地應(yīng)用到數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)壓縮、異常檢測、過程控制等領(lǐng)域，并取得不錯(cuò)的應(yīng)用效果[9-13]。

PCA 最早由 Pearson[14]提出，Rigopoulos 等[15]提出移動窗主元分析（Moving Window PCA, MWPCA），采用不斷隨時(shí)間向后滑動的移動窗口控制用于建模的樣本數(shù)據(jù)，提升更新速度，并使得PCA 模型基于在最近的工況特征下。何小斌[16]提出可變移動窗PCA，可以在異常檢測過程中自適應(yīng)改變窗口長度，并結(jié)合秩r奇異值分解以提高遞推計(jì)算速度。Jeng等[17]提出改進(jìn)的MWPCA方法，在更新協(xié)方差矩陣時(shí)以2次秩1矩陣計(jì)算的算法代替原來的4次秩1計(jì)算，提高計(jì)算速度。

本文提出自適應(yīng)步長移動窗主元分析（Adaptive Step Moving Window PCA,ASMWPCA）方法，在采集到新樣本時(shí)通過計(jì)算其T2統(tǒng)計(jì)量，以判斷是否需要將此樣本通過移動窗方式更新PCA 模型，并累積多個(gè)新樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行一次性的數(shù)據(jù)塊更新，減少過程中的PCA 模型更新次數(shù)，節(jié)省計(jì)算資源，提高計(jì)算效率。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，ASMWPCA 方法可以有效地檢測出輥道窯的異常情況，并大大提高了檢測效率。

1 問題描述

輥道窯是一類大型陶瓷窯爐，其結(jié)構(gòu)可分為預(yù)熱帶、燒成帶和冷卻帶。由于輥道窯系統(tǒng)的氣氛、壓力、溫度之間存在一些耦合關(guān)系，狀態(tài)變量較多，且時(shí)變特性明顯，導(dǎo)致其數(shù)學(xué)模型難以建立?，F(xiàn)階段，對輥道窯的異常檢測主要使用固定閾值報(bào)警，配合人工巡查的方式，效率低，發(fā)現(xiàn)異常情況滯后。

傳統(tǒng)的PCA 方法通過一定數(shù)量的正常數(shù)據(jù)建立模型，該模型是靜態(tài)的、非時(shí)變的。異常檢測過程中，將樣本數(shù)據(jù)映射到低維空間，并計(jì)算T2統(tǒng)計(jì)量和SPE 統(tǒng)計(jì)量，以判斷是否出現(xiàn)異常。然而輥道窯的運(yùn)行過程有明顯的時(shí)變特性，使用靜態(tài)的PCA 模型容易出現(xiàn)緩報(bào)、誤報(bào)等問題，需要對PCA 模型進(jìn)行實(shí)時(shí)更新，以適應(yīng)輥道窯生產(chǎn)過程中屬性的變化。

為了處理時(shí)變特性的情況，在工業(yè)過程中的異常檢測場景中，自適應(yīng)PCA 及各種改進(jìn)方法經(jīng)常被使用，其中遞推主元 分 析 （Recursive Principle Component Analysis, RPCA）[16]、MWPCA是常用且效果較好的異常檢測方法。然而，RPCA在包含的大量舊數(shù)據(jù)會影響模型的精度和更新速度，即使添加遺忘因子也存在難以選定遺忘因子的問題[16]。MWPCA常見的方式是將新采集的樣本逐個(gè)添加到窗口，在正常樣本居多的情況下，會存在一定程度的無效計(jì)算過程。

本文將以輥道窯的生產(chǎn)過程為例，進(jìn)行基于PCA 的理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

2 自適應(yīng)主元分析

傳統(tǒng)PCA 方法的模型建立之后不再改變，是靜態(tài)的、非時(shí)變的，而RPCA、MWPCA 隨著新樣本采集之后，實(shí)時(shí)更新PCA模型，稱為自適應(yīng)PCA方法。

2.1 傳統(tǒng)主元分析

PCA的思路是將m維的初始數(shù)據(jù)通過線性變換，映射到k維的主元空間，實(shí)現(xiàn)降維。假設(shè)樣本數(shù)據(jù)矩陣經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后為X ∈ Rn×m，即有n個(gè)觀測樣本，每個(gè)樣本有m個(gè)屬性，可以分解為[8]：

負(fù)荷矩陣P一般可以通過對X標(biāo)準(zhǔn)化后的協(xié)方差矩陣S進(jìn)行特征值分解獲得：

式中： Λ 為包含特征值λi的對角矩陣。

將S 的特征值由大到小排序，對應(yīng)的特征向量即負(fù)荷向量pi，根據(jù)特征值大小截取前k 個(gè)特征值，對應(yīng)前k 個(gè)特征向量即為主元模型中實(shí)現(xiàn)線性降維的基向量，也是選用的負(fù)荷向量。這意味著在樣本空間中，方差最大的k個(gè)方向?qū)?yīng)著包含信息最多的k個(gè)維度，經(jīng)過線性變換映射到了主元子空間，剩余的主要包含隨機(jī)噪聲的信息則映射到殘差子空間。

主元數(shù)量k 可以通過CPV 方法[8]獲得，定義累計(jì)貢獻(xiàn)率Conti,并指定累計(jì)貢獻(xiàn)率的閾值，從最大的特征值開始累計(jì)計(jì)算，當(dāng)累計(jì)貢獻(xiàn)率恰好大于閾值時(shí)的最少主元個(gè)數(shù)為所選的k。按照經(jīng)驗(yàn)，可以設(shè)定閾值為80%。方差貢獻(xiàn)率Conti為：

建立PCA 模型之后，一般使用兩個(gè)多元統(tǒng)計(jì)量的假設(shè)檢驗(yàn)來檢測異常的發(fā)生，即T2統(tǒng)計(jì)量和SPE 統(tǒng)計(jì)量，分別對應(yīng)單個(gè)樣本向量在主元子空間和殘差子空間中的偏離程度。對樣本x的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式如下：

式中： Λk=diag(λ1,…,λk)，為前k個(gè)協(xié)方差矩陣特征值。

進(jìn)行異常檢測時(shí)，還需要確定兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量的控制限，假設(shè)α為檢驗(yàn)水平，統(tǒng)計(jì)量控制限為：

式中：Fα(k,n-k)為帶有k和n-k個(gè)自由度、置信水平為α的F分布臨界值；cα為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在置信水平α下的閾值。另有：

在異常檢測過程中，T2和SPE 在異常檢測中作用并不等同。T2統(tǒng)計(jì)量衡量樣本投影到主元空間后到原點(diǎn)的距離，包含正常情況下樣本數(shù)據(jù)的絕大部分變化。而SPE 統(tǒng)計(jì)量是樣本在殘差空間中的投影，主要包含噪聲。在實(shí)際應(yīng)用過程中，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)SPE 統(tǒng)計(jì)量超過控制限時(shí)，基本可判斷生產(chǎn)過程出現(xiàn)了異常。而當(dāng)SPE 統(tǒng)計(jì)量沒有超過控制限，T2統(tǒng)計(jì)量超過控制限時(shí)，說明過程出現(xiàn)了明顯的干擾或者工況改變等情況，可以根據(jù)具體生產(chǎn)狀況進(jìn)行分析是否出現(xiàn)異常[8]。

2.2 移動窗主元分析

RPCA是將新樣本通過遞推方式，與舊樣本一起作為建立PCA模型的數(shù)據(jù)，而MWPCA使用一個(gè)可以隨樣本數(shù)增加而不斷向后滑動的窗口，通過窗口內(nèi)的樣本建立PCA 模型，每次有新數(shù)據(jù)產(chǎn)生并更新PCA 模型時(shí)總是新增樣本數(shù)據(jù)并丟棄同樣數(shù)量的舊樣本，保持窗口長度一定。與RPCA相比，MWP-CA有更新速度穩(wěn)定、檢測精度較高、對時(shí)變過程適應(yīng)性更強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，也有計(jì)算量增加的問題。

MWPCA 通過遞歸更新協(xié)方差矩陣的方式更新PCA 模型。假設(shè)預(yù)定義的移動窗長度為L，在第t時(shí)刻移動窗內(nèi)的樣本數(shù)據(jù)矩陣為Xto=(xt-L+1,…,xt-1,xt)T∈RL×m。不失一般性，考慮數(shù)據(jù)塊更新的方式，新樣本的數(shù)量為s，更新后對應(yīng)的數(shù)據(jù)矩陣為Xo=(x ,…,x,x)T∈RL×m。一次數(shù)據(jù)塊更新過t+st+s-L+1t+s-1t+s程即相當(dāng)于把窗口位置從t時(shí)刻移動到t+s時(shí)刻。

遞歸更新協(xié)方差矩陣的過程可以分為兩個(gè)遞推子過程來實(shí)現(xiàn)，具體如下。

（1）遞推中間矩陣協(xié)方差矩陣

中間矩陣指兩個(gè)時(shí)刻樣本矩陣的共同部分X^=(xt+s-L+1,…,xt-1,xt)T∈Rs×m，對于第t時(shí)刻的數(shù)據(jù)矩陣，均值向量為：

根據(jù)均值向量定義，可得中間矩陣的均值向量：

隨后，由文獻(xiàn)[16]可知中間矩陣的協(xié)方差矩陣為：

其中， Σt=diag(σt,1,σt,2,…,σt,m)為t時(shí)刻窗口各個(gè)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，另有：

（2）遞推新窗口協(xié)方差矩陣

將式（12）代入式（15），得到數(shù)據(jù)塊更新方式下，從t時(shí)刻到t+s時(shí)刻的移動窗PCA的協(xié)方差矩陣遞推公式：

之后，對協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解獲得主元模型，得到更新的PCA模型。

MWPCA一般對逐個(gè)樣本進(jìn)行窗口的移動，每次增加一個(gè)新樣本，丟棄一個(gè)舊樣本。然而輥道窯的生產(chǎn)過程平穩(wěn)，異常較少發(fā)生，各個(gè)狀態(tài)變量的變化幅度不大，每次通過正常樣本移動窗遞推產(chǎn)生的PCA 模型變化不大。由此聯(lián)想到，可以等待積累多個(gè)新樣本再進(jìn)行一次數(shù)據(jù)塊更新，減少總體PCA 模型更新的次數(shù)，節(jié)省計(jì)算時(shí)間和計(jì)算資源，即本文提出的ASMWPCA。

3 自適應(yīng)步長移動窗主元分析

本文提出的自適應(yīng)步長移動窗PCA 方法的主要思路是，在正常樣本為主的較平穩(wěn)過程中，積累一定量樣本再進(jìn)行PCA 模型的更新，期間使用上次更新的模型計(jì)算T2和SPE 統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行異常檢測，以這種方式減少PCA 模型更新的次數(shù)，提升算法性能。這里兩次MWPCA模型更新之間所用數(shù)據(jù)塊的樣本數(shù)，稱為更新的步長（step）。當(dāng)步長取得過小時(shí)，計(jì)算資源的節(jié)省和性能的提升不明顯；而當(dāng)步長取得過大時(shí)，會導(dǎo)致模型不能及時(shí)更新，失去MWPCA 中適應(yīng)模型變化的特點(diǎn)。所以，判斷PCA 模型更新的時(shí)刻，或者說確定步長的范圍，是本方法的關(guān)鍵點(diǎn)。

使用MWPCA 的在線異常檢測過程中，需要更新PCA 模型的主要原因是，工業(yè)過程中產(chǎn)生了狀態(tài)變量屬性的漂移，導(dǎo)致原PCA 模型偏離了當(dāng)前的實(shí)際工作狀態(tài)特征，故使用靜態(tài)的PCA 方法常常會產(chǎn)生誤報(bào)。由上文已知，常用T2和SPE兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行異常檢測，其中T2衡量新樣本映射后到主元子空間原點(diǎn)的距離。當(dāng)正常工況下發(fā)生狀態(tài)變量屬性的小幅度漂移時(shí)，由于其變量之間的相關(guān)關(guān)系沒有明顯改變，SPE沒有明顯變化，但是整體偏離了PCA 模型建模時(shí)過程的狀態(tài)變量屬性，會導(dǎo)致T2產(chǎn)生明顯波動和漂移[17]。所以，可以使用T2統(tǒng)計(jì)量作為PCA 樣本是否偏離當(dāng)前工作狀態(tài)的指標(biāo)，并以T2統(tǒng)計(jì)量的控制限作為閾值。若新樣本滿足條件：

則調(diào)整移動窗位置，更新PCA模型，其中μ為預(yù)設(shè)的比例系數(shù)。式（17）的意義在于，以SPE 作為判斷樣本是否正常的主要指標(biāo)，樣本正常的情況下，以T2判斷PCA 模型是否已經(jīng)偏離了當(dāng)前的正常工況，進(jìn)而決定是否要移動窗口位置、更新PCA模型。

另外，若積累一定數(shù)量樣本之后，仍沒有滿足式（17）的條件，會導(dǎo)致PCA 模型長期沒有更新的情況，可以設(shè)定步長的上限smax,使得PCA模型及時(shí)更新，適應(yīng)工況變化。Wang等[18]提出N步超前（N-Step-Ahead）移動窗PCA，指出當(dāng)p時(shí)刻使用p-N時(shí)刻得到的PCA模型進(jìn)行異常檢測，會比使用p時(shí)刻的模型得到更敏感的異常檢測效果。這個(gè)結(jié)論一方面印證使用略早的PCA 模型的有效性，另一方面指導(dǎo)了步長上限的取值，一般取值為一倍窗口長度以下。

所提出的ASMWPCA方法的算法描述如下。

算法：自適應(yīng)步長移動窗PCA方法

輸入：樣本矩陣Xo=(x1,x2,…,xM)T

窗口長度L

比例系數(shù)μ

步長上限smax

過程：（1）截取L個(gè)樣本，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，計(jì)算協(xié)方差矩陣S

（2）對S 進(jìn)行特征分解，使用CPV 法計(jì)算得到主元數(shù)量k,并截取特征向量和特征值，得到負(fù)荷矩陣P、特征值矩陣Λ

（3）計(jì)算初始的控制限和

（4）while L+i ＜ M do

（5）獲取新樣本xL+i,進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化

（6）對xL+i求T2和SPE統(tǒng)計(jì)量

（7）ifSPE≥δ2αthen

（8）此樣本判斷為異常，輸出異常信息

（9）continue

（10）else ifT2＞且SPE＜then

（11）此樣本為正常樣本，加入待更新數(shù)組

（12）continue

（13）else

（14）更新窗口，對待更新數(shù)組的樣本進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化

（15）遞推計(jì)算協(xié)方差矩陣S′

（16）對S′進(jìn)行特征分解，使用CPV法計(jì)算得到主元數(shù)量k′,得到負(fù)荷矩陣P′、特征值矩陣Λ'

（17）計(jì)算新的控制限和

（18）end if

（19）end while

輸出：異常情況的樣本信息

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本文以華南某大型陶瓷磚生產(chǎn)企業(yè)的輥道窯為例，生產(chǎn)數(shù)據(jù)收集自該企業(yè)輥道窯2018年4月，共1 120個(gè)樣本，均為正常樣本，其中每個(gè)樣本包含132個(gè)狀態(tài)變量。根據(jù)數(shù)據(jù)特征和與窯爐生產(chǎn)過程的相關(guān)性，選出98 個(gè)狀態(tài)變量，如表1 所示。另外，通過這1 120 個(gè)樣本，建立仿真模型，引入異常，以此比較PCA、MWPCA、ASMWPCA 方法的異常檢測效果。本文的異常情況為某天然氣燒嘴的流量緩慢減少到原來的一半，異常樣本共800個(gè)，數(shù)據(jù)集劃分如表2所示。

表1 輥道窯狀態(tài)變量

表2 數(shù)據(jù)集劃分

本 文 實(shí) 驗(yàn) 所 使 用 的 環(huán) 境 為 Intel （R） Core （TM）i5-3210M@2.5 GHz，8 GB RAM，Windows 1 064 位系統(tǒng)，算法使用Python 3.6實(shí)現(xiàn)。

本文采用異常檢測領(lǐng)域中常用的兩個(gè)指標(biāo)，即誤報(bào)率、檢出率，對ASMWPCA 方法的異常檢測性能進(jìn)行驗(yàn)證。其中，誤報(bào)率和檢出率的定義如下：

由兩個(gè)指標(biāo)的定義可知，誤報(bào)率越接近0 則算法性能越好，檢出率越接近1則算法性能越好。

在實(shí)驗(yàn)過程中，需要確定的參數(shù)有移動窗長度L、比例系數(shù)μ、步長上限smax。在計(jì)算資源足夠時(shí)，移動窗長度L 應(yīng)該盡量取大，以提高異常檢測的敏感度[16-17]。而當(dāng)L 取得越大時(shí)，smax可以取得越小[18]。比例系數(shù)μ主要與判斷模型需要更新的敏感度有關(guān)，即當(dāng)μ取得越小時(shí)，對應(yīng)著越小的T2統(tǒng)計(jì)量對應(yīng)閾值，觸發(fā)更新PCA模型。在本實(shí)驗(yàn)過程中，設(shè)置L=200，smax=30，μ=0.8，以取得較明顯的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。為了得到一致的初始PCA 模型，傳統(tǒng)PCA 方法的訓(xùn)練集也取200 個(gè)樣本，其余設(shè)置為測試集，如表2 所示。使用CPV 法可得主元數(shù)目為21。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3以及圖1～3所示。

表3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比

圖1 傳統(tǒng)PCA 方法的T2和SPE統(tǒng)計(jì)量

圖2 MWPCA方法的T2和SPE統(tǒng)計(jì)量

圖3 ASMWPCA方法的T2和SPE統(tǒng)計(jì)量

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，PCA、MWPCA、ASMWPCA 這3 種方法都可以有效檢測出輥道窯生產(chǎn)過程中的異常情況。從表3結(jié)果結(jié)合圖1 第500～750 個(gè)樣本部分的圖像，傳統(tǒng)PCA 出現(xiàn)明顯的誤報(bào)問題，而MWPCA和ASMWPCA能有效減低誤報(bào)率，提高檢出率。由于MWPCA對新樣本進(jìn)行逐個(gè)遞推更新模型，而ASMWPCA 積累多個(gè)新樣本再更新模型，其中跳過共713 次，即大概一半的新樣本輸入時(shí)無需即刻更新PCA 模型，在達(dá)到同樣異常檢測效果的情況下，節(jié)省約38%的計(jì)算時(shí)間。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對于以輥道窯為例的存在慢時(shí)變特性的工業(yè)過程，ASMWPCA 可以有效提升算法性能，且獲得令人滿意的異常檢測效果。

5 結(jié)束語

本文提出了一種基于MWPCA方法的改進(jìn)算法，ASMWP-CA，并將此方法與傳統(tǒng)PCA、MWPCA 進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)。該算法通過積累多個(gè)新樣本進(jìn)行數(shù)據(jù)塊更新的方式代替MWPCA逐個(gè)新樣本更新模型的方式，有效提升了算法性能。在輥道窯的異常檢測實(shí)例中，驗(yàn)證了ASMWPCA 的優(yōu)點(diǎn)在于減少PCA模型更新次數(shù)、節(jié)省計(jì)算資源和計(jì)算時(shí)間的情況下，在與MWPCA相當(dāng)?shù)漠惓z測效果時(shí)，檢測效率明顯提高。