鐘 云，黃 楠，曾俊海

（廣州大學(xué)機(jī)械與電氣工程學(xué)院，廣州 510006）

0 引言

隨著精密制造裝備運(yùn)動(dòng)速度和精度的提高，微納米級別的精密工程也越來越引起人們的關(guān)注。微納定位執(zhí)行器是實(shí)現(xiàn)高精度微納米級定位的驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)。以壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器為代表的智能材料驅(qū)動(dòng)器以其具有無磨損、分辨率高、效率高、強(qiáng)度高、響應(yīng)速度快等優(yōu)良特性，被廣泛應(yīng)用于MEMS、高速原子力顯微鏡、超精密機(jī)床和微加工平臺(tái)的定位系統(tǒng)中[1-2]。存在于壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中的遲滯往往會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)精度下降、振蕩，甚至造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定[3-4]。例如，在開環(huán)情況下，遲滯會(huì)產(chǎn)生高達(dá)10%～15%的定位誤差[5]。與傳統(tǒng)非線性相比，遲滯表現(xiàn)出多值映射和記憶特性，使得其建模和控制變得異常困難。目前，以壓電陶瓷為代表的智能材料特性的建模和補(bǔ)償控制已成為微納定位技術(shù)領(lǐng)域中的一個(gè)熱點(diǎn)問題[6-7]。

遲滯建模主要有3類方法[8-9]，一種是以Jiles Atherton模型為代表的物理建模方法，包括Duhem 模型、Bouc-Wen 模型等；另一種是以Preisach模型為代表的數(shù)學(xué)算子建模方法，包括 Prandtl-Ishlinskii 模 型 和 Krasnosel′ skii-Pokrovskii 模 型 等 ；還有一種是基于計(jì)算智能的智能建模方法。在物理建模方法中，模型通常采用微分方程來描述，模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜，參數(shù)較難確定?；跀?shù)學(xué)算子的遲滯模型采用基本數(shù)學(xué)算子，如relay 算子、play 算子、stop 算子等，進(jìn)行線性疊加而成[9]?；谒阕拥倪t滯模型雖脫離于遲滯特性的物理意義，但能夠準(zhǔn)確描述遲滯現(xiàn)象，也被稱為基于現(xiàn)象的遲滯描述方法?；谒阕拥倪t滯模型，由于求解其逆模型或者近似逆模型相對容易，特別是Prandtl-Ishlinskii 模型存在解析的逆模型，因此，被廣泛應(yīng)用于壓電材料的遲滯建模。近年來，智能建模方法得到了國內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注[10]。這類模型利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊樹對非線性函數(shù)的通用逼近性來描述遲滯。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊樹建?？刂品椒▽?shí)現(xiàn)容易，但系統(tǒng)跟蹤精度不夠高。針對一些特定輸入，也有學(xué)者提出不同的建模方法，例如GU等[11-12]針對正弦輸入信號，提出采用橢圓來對遲滯進(jìn)行描述，取得了不錯(cuò)的效果。

本文以基于dSpace 開發(fā)系統(tǒng)的壓電微位移平臺(tái)為對象，對改進(jìn)的增強(qiáng)型Prandtl-Ishlinskii模型進(jìn)行了驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的模型在低頻段的描述精度與傳統(tǒng)的Prandtl-Ishlinskii模型略有提高，但在高頻段，則其建模精度要高很多。這些都驗(yàn)證了本文基于改進(jìn)的增強(qiáng)型Prandtl-Ishlinski型(EPIM)遲滯建模方法的優(yōu)越性。

1 基于增強(qiáng)型Prandtl-Ishlinskii 模型的磁滯非線性建模

Prandtl-Ishlinskii 模型是典型的唯象遲滯模型，是算子模型的一種，壓電陶瓷存在復(fù)雜的磁滯非線性可以用Prandtl-Ishlinskii模型進(jìn)行描述，如下式所示。

式中：b(ri)為待辨識(shí)的密度函數(shù)。ti＜t＜ti+1，0 ≤t≤N-1；?r≥0。

傳統(tǒng)P-I模型的對稱性，極大降低了該模型描述遲滯非線性現(xiàn)象的精確性。在Prandtl-Ishlinskii 模型（亦被稱為經(jīng)典P-I模型）的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，得到了具有非對稱性的增強(qiáng)型P-I模型。

式中：a1和a2為待辨識(shí)的增強(qiáng)系數(shù)；b(ri)為待辨識(shí)的密度函數(shù)；Fri[v](t)為play算子；ri為play算子的閾值，其具體定義見文獻(xiàn)[13]。

2 基于dSpace開發(fā)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

2.1 硬件結(jié)構(gòu)

如圖1所示，壓電微位移實(shí)驗(yàn)平臺(tái)由4部分組成：帶集成電容式位移傳感器的壓電定位平臺(tái)、低壓驅(qū)動(dòng)放大器、dSpace開發(fā)系統(tǒng)和上位機(jī)。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上使用的壓電微位移定位平臺(tái)被固定安裝在氣動(dòng)隔振臺(tái)上，以減少支撐結(jié)構(gòu)的誘導(dǎo)振動(dòng)。

圖1 壓電微位移實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

壓電微位移實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的架構(gòu)圖如圖2所示，集成電容式位移傳感器將位移信號-30～130 nm轉(zhuǎn)換成-0.3 ～1.3 V的模擬電壓，再通過dSpace開發(fā)系統(tǒng)中的16位ADC轉(zhuǎn)換成所需的數(shù)字信號。低壓驅(qū)動(dòng)放大器的輸出電壓范圍為-30 ～130 V，控制輸入電壓范圍為-2 ～12 V，放大倍數(shù)為10。dSpace開發(fā)系統(tǒng)主要用于輸入信號的產(chǎn)生和控制算法的實(shí)現(xiàn)，以及位移傳感器的信號采集。

2.2 軟件結(jié)構(gòu)

如圖2 所示，dSpace 開發(fā)系統(tǒng)通過上位的ControlDesk 軟件和Matlab/Simulink 環(huán)境來實(shí)現(xiàn)編程和在線測量，從而實(shí)現(xiàn)對壓電微位移實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的控制。ControlDesk 為實(shí)驗(yàn)時(shí)使用的自動(dòng)化軟件，同時(shí)ControlDesk 的圖形用戶界面為壓電微位移實(shí)驗(yàn)平臺(tái)提供了實(shí)時(shí)的參數(shù)監(jiān)控功能。GNU 編譯器和Matlab生成由dSpace獨(dú)立于Simulink運(yùn)行的.sdf后綴可執(zhí)行文件，從而構(gòu)成了dSpace的快速控制原型實(shí)驗(yàn)環(huán)境。DAC和ADC轉(zhuǎn)換器提供了位于dSpace與Simulink及壓電驅(qū)動(dòng)器之間的接口。運(yùn)行于dSpace中的程序采用基于C語言的S-function來實(shí)現(xiàn)。上位機(jī)中的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)模塊為ControlDesk提供數(shù)據(jù)接口，這樣當(dāng)dSpace執(zhí)行實(shí)時(shí)程序時(shí)，ControlDesk可實(shí)時(shí)讀取所需的測量數(shù)據(jù)。

圖2 壓電微位移實(shí)驗(yàn)平臺(tái)架構(gòu)圖

3 測試實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

3.1 實(shí)驗(yàn)步驟

低壓驅(qū)動(dòng)放大器的輸出電壓范圍為-30 ～130 V，控制輸入電壓范圍為-2 ～12 V，放大倍數(shù)為10，因此本實(shí)驗(yàn)將輸入到低壓驅(qū)動(dòng)放大器的電壓在Matlab里面限制為-2～10 V。本實(shí)驗(yàn)采用放大器輸出幅值為20 V的正弦波對壓電微位移平臺(tái)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)?？紤]到dSpace 開發(fā)系統(tǒng)的D/A 輸出硬件接口設(shè)置時(shí)，進(jìn)行了歸一化處理，輸出-1～+1對應(yīng)D/A輸出接口的-10～10 V，因此，對應(yīng)到上位機(jī)Matlab 中的輸入信號則為v( t )=0.2 sin ωt ，其中w為正弦信號的角頻率。dSpace開發(fā)系統(tǒng)執(zhí)行程序的采樣頻率設(shè)置為20 kHz。

設(shè)置好輸入信號后，壓電微位移平臺(tái)的實(shí)際輸出則通過dSpace 的A/D 轉(zhuǎn)換器讀入到上位機(jī)中。為了方便處理，本文將數(shù)據(jù)統(tǒng)一轉(zhuǎn)換為壓電微位移平臺(tái)的實(shí)際輸入和實(shí)際輸出，即壓電微位移平臺(tái)的輸入為壓電驅(qū)動(dòng)器的輸出電壓，輸出則為位移傳感器的輸出。

為了驗(yàn)證模型的有效性，本文在辨識(shí)得到增強(qiáng)型遲滯模型（EPIM）的基礎(chǔ)上，還將與經(jīng)典的Prandtl-Ishlinskii遲滯模型（PIM）進(jìn)行對比。實(shí)驗(yàn)的具體步驟如下：首先，在不同頻率的正弦輸入信號下，利用ControlDesk 軟件實(shí)時(shí)采集壓電定位平臺(tái)的位移傳感器輸出信號；然后，根據(jù)測得的輸入輸出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別對本文提出的PIM遲滯模型和EPIM遲滯模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)；最后，得到不同輸入信號下壓電遲滯模型，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。需要說明的是，為了對比方便，在所有模型參數(shù)辨識(shí)時(shí)，本文均采用的是Matlab中的fmincon函數(shù)來完成。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本實(shí)驗(yàn)針對15 Hz、50 Hz、100 Hz和150 Hz等4個(gè)不同頻率的輸入正弦信號的壓電遲滯特性進(jìn)行建模和遲滯模型參數(shù)辨識(shí)。輸入頻率為50 Hz時(shí)EPIM模型辨識(shí)參數(shù)如表1所示。

本實(shí)驗(yàn)中，對于PIM遲滯模型和EPIM遲滯模型的算子個(gè)數(shù)均取 20，即 m=n=20[13]。分別對 15 Hz、50 Hz、100 Hz 和150 Hz等4個(gè)不同頻率的正弦輸入信號下的遲滯模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。圖3～4給出了輸入為50 Hz正弦信號下的2種模型辨識(shí)結(jié)果，其他3種頻率下也有類似的結(jié)果，不一一給出。圖中，橫坐標(biāo)為歸一化后的輸入信號，縱坐標(biāo)為輸出位移信號，單位為μm 。從圖中可以明顯看出，2 種遲滯模型都能描述壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的遲滯特性。至于模型描述的準(zhǔn)確性，本文采用均方根誤差來進(jìn)行描述和對比。表2 所示為20 kHz 采樣頻率下1.5 s 采用時(shí)間內(nèi)不同輸入信號下2 種模型對應(yīng)的均方根誤差；表3 所示為相應(yīng)的精度提高百分比。由表2～3 可以總結(jié)出，在低頻段，PI遲滯模型、EPI遲滯模型的均方根誤差相差不大，隨著輸入信號頻率的增大，EPI遲滯模型的優(yōu)勢越來越明顯。在輸入信號頻率為50 Hz 時(shí)，EPIM 比PIM 的RMSE精度提高13.47%；當(dāng)輸入信號頻率為150 Hz時(shí)，EPI模型比PI 模型的RMSE 精度提高27.09%。由此，證明EPI 模型對描述遲滯特性比傳統(tǒng)的PI模型具有較大的優(yōu)勢。

表1 輸入頻率為50 Hz時(shí)EPIM模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

圖3 輸入頻率為50 Hz 時(shí)PIM模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖4 輸入頻率為50 Hz 時(shí)EPIM模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表2 EPIM建模方法與PIM比較結(jié)果

表3 EPI模型建模方法與PI模型相比提高的精度

4 結(jié)束語

本文針對周期性的正弦輸入信號，采用增強(qiáng)型遲滯模型（EPIM）來對壓電陶瓷的遲滯特性進(jìn)行描述。在分析了壓電遲滯特性和經(jīng)典的Prandtl-Ishlinskii 遲滯模型特性的基礎(chǔ)上，給出了壓電陶瓷遲滯特性的增強(qiáng)型遲滯模型（EPIM）。然后，搭建了基于dSpace 的硬件在環(huán)測試平臺(tái)用于模型的驗(yàn)證。最后，對比傳統(tǒng)的PI 模型和改進(jìn)的增強(qiáng)EPI 模型，給出了模型的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，針對4種不同頻率的正弦輸入信號，EPI模型比PI模型優(yōu)勢更好，低頻段描述精度略有提高，高頻段則增強(qiáng)型遲滯模型（EPIM）描述精度要高很多。