王國寧 張增龍 潘廷龍 路成萍

（中國兵器工業(yè)第214 研究所，安徽 蚌埠233042）

1 概述

電路最壞情況分析法，它是分析電路組成部分的參數(shù)，在最壞組合情況下，電路性能參數(shù)偏差情況的一種非概率統(tǒng)計方法。它是電路容差分析的重要內(nèi)容，電路容差分析不僅是可靠性的基本要求，也是《GJB450 裝備研制與生產(chǎn)的可靠性通用大綱》規(guī)定的一個工作項目。容差分析技術(shù)實際上是一種預(yù)測電路性能參數(shù)穩(wěn)定性的方法。它主要研究電路組成單元的參數(shù)偏差，在規(guī)定的使用條件范圍內(nèi)，對電路性能容差的影響?！禛JB/Z 89 電路容差分析指南》給出了容差分析的方法和程序。本文從最簡單的分壓電路開始，對容差分析的最壞情況分析方法進行詳細敘述，并利用微分學知識，推導出最壞情況分析的線性展開法函數(shù)誤差公式及其適用范圍，指出其改進之處的解決辦法。

2 電阻分壓電路

電阻分壓電路，由于它原理清晰、結(jié)構(gòu)簡單、經(jīng)濟實用，因而在電子線路中獲得了廣泛的應(yīng)用。一種完整的通用電阻分壓電路如圖1 所示。輸入電壓Vi通過電阻R1、R2進行分壓，分壓結(jié)果通過跟隨器輸出，以提高分壓電路的帶負載能力，但在大多數(shù)情況下，后級負載比R1、R2大很多，R1、R2分壓結(jié)果可以直接輸出，不需要用放大器進行跟隨。因而電路結(jié)構(gòu)更加簡單。

圖1 電阻分壓電路

無論跟隨器是否存在，Vo 與Vi的關(guān)系為：

從式（1）可看出，Vo 的值和偏差范圍由Vi、R1、R2三個變量決定。在通常的實驗或設(shè)計中，我們可能不會關(guān)心這三個參數(shù)的變化對輸出有何具體的影響，而只是調(diào)整R1或R2的值，使得輸出滿足我們的要求即可。但是，在電路設(shè)計中，Vi、R1、R2參數(shù)變化對輸出參數(shù)Vo 的影響等最壞情況分析法是可靠性設(shè)計的重要組成部分，也是我們必須面對的設(shè)計內(nèi)容之一。

3 電阻分壓電路最壞情況分析

《GJB/Z 89 電路容差分析指南》中的最壞情況分析法，包括直接代入法和線性展開法。下面分別用這兩種方法分析電阻分壓電路輸入?yún)?shù)變化對輸出結(jié)果的影響。

3.1 直接代入法

直接代入法，是將設(shè)計參數(shù)的偏差值按最壞情況組合直接代入到電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)表達式中，求出性能參數(shù)的上限值或下限值的一種方法。具體到式（1）的分壓電路，R2的大小對Vo的影響不能直接看出，因而，將式（1）進行數(shù)學變換得到：

從式（2）可以知道，當R1的值最大、R2最小、Vi最小時，Vo的值最小；當R1最小、R2最大、Vi最大時，Vo的值最大。為了直觀，還是以電阻分壓電路進行具體說明。例如：將+5V 電源，通過電阻R1=14kΩ、R2=36kΩ 分壓可得到Vo=3.6V 的參考電壓，假設(shè)R1誤差為±1%，R2誤差為±2%，Vi誤差為±0.5%，試計算Vo偏差值的大小。通過直接代入法，將Vi、R1、R2在最壞情況的值代入式（2），可以求得的Vo的標稱值、上限值、下限值，計算結(jié)果見表1。由表1 可 知，Vi、R1、R2在 最壞情 況下，Vo的正 偏 差1.3345%，負偏差-1.3456%。設(shè)計者可根據(jù)此結(jié)果，判定設(shè)計是否滿足要求，或者修改設(shè)計。

表1 電阻分壓電路偏差計算表

直接代入法需要簡潔明了的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，使得根據(jù)變量的變化趨勢可知函數(shù)值是上限值或下限值。但是，當變量的變化引起函數(shù)值的變化趨勢不容易看出時，需要對函數(shù)變進行變換。這也是式（1）轉(zhuǎn)化為式（2）的原因。當然，也可以對函數(shù)進行偏導數(shù)等計算，將偏導數(shù)為正的電路組成部分的參數(shù)及輸入量的上偏差，偏導數(shù)為負的電路組成部分的參數(shù)及輸入量的下偏差代入網(wǎng)絡(luò)函數(shù)中，求出輸出量參數(shù)的上限值；偏導數(shù)為正的電路組成部分的參數(shù)及輸入量的下偏差，偏導數(shù)為負的電路組成部分的參數(shù)及輸入量的上偏差代入網(wǎng)絡(luò)函數(shù)中，求出輸出量參數(shù)的下限值。但由于計算繁瑣，這時往往采用線性展開法。

3.2 線性展開法

線性展開法是將電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)在工作點附近展開并取偏導數(shù)，簡化為線性關(guān)系式，各變量的偏差代入線性關(guān)系式，從而求出輸出量偏差的一種方法。

從式（4）可知，電阻分壓電路分壓值的相對誤差，等于各變量相對誤差之和減去分壓系數(shù)乘以分壓電阻相對誤差之和。（5）式表明，當R1=R2（假設(shè)它們的精度也相等）即將輸入電壓半分壓時，輸出電壓誤差是輸入電壓誤差與電阻誤差之和。分壓系數(shù)越大，分壓輸出的誤差越小，反之，分壓輸出的誤差越大。

將輸入電壓誤差、電阻誤差等代入（5）式可得，輸出電壓的誤差Ervo 為：

0.5%+1%+2%-0.72×3%=0.134%。與表1 直接代入法的計算結(jié)果基本相同。

4 線性展開法公式推導

3.2 節(jié)利用線性展開法求出輸出量誤差過程中，我們直接給出了多元函數(shù)的相對誤差公式，實際上，根據(jù)微分學的概念，我們很容易得出式（4）的結(jié)論。

從高等數(shù)學中知道，微分指明當自變量有微小變化時，函數(shù)大體上變化多少。這對于電路最壞情況分析法而言，相當于各變量在發(fā)生各自最大誤差的微小變化時，通過函數(shù)（電路輸出表達式）微分，我們可以知道輸出大體上變化多少，從而達到了最壞情況分析的目的。

設(shè)有一元函數(shù)y=f(x)，自變量x 的增量Δx，則函數(shù)的微分dy與自變量增量Δx 有如下關(guān)系：

一元函數(shù)自變量的增量Δx 就是它的微分dx，而函數(shù)的增量Δy 與函數(shù)的微分dy 之間存在如下關(guān)系：Δy=dy+o (Δx)，即函數(shù)的增量Δy 等于函數(shù)的微分dy 與一個比Δx 高階的無窮小o(Δx)之和。我們進行最壞情況分析，需要知道的是函數(shù)的增量而不是它的微分，但由于Δy 與dy 之間僅僅相差一個比Δx高階的無窮小，因而可以認為Δy≈dy。它是線性展開法所有誤差公式的前提。

所以，對于只有一個變量的函數(shù)，其相對誤差為：

式（8）中，dy≈Δy，dx=Δx，并且考慮到最不利的情況，相對誤差應(yīng)是各分量誤差絕對值的和，得出：

絕對誤差公式：

表2 常見函數(shù)表達式的誤差公式

相對誤差傳遞公式：

常見函數(shù)表達式得到的誤差公式見表2。

5 線性展開法公式適用范圍

線性展開法的所有誤差公式，都是基于Δy=dy 的基礎(chǔ)上的，我們知道，函數(shù)增量與其微分之間的準確關(guān)系為：Δy=dy+o(Δx)。因而，以dy 替代Δy，在Δx 越小時越準確，當Δx 較大時，Δy 與dy 的差別也較大，這就是“微分指明當自變量有微小變化時，函數(shù)大體上變化多少”的原因。以電阻分壓電路為例，隨著各變量誤差的增大，也就是Δx 由小變大時，線性展開法描述的函數(shù)增量偏離實際越來越大。表3 是直接代入法和線性展開法對函數(shù)增量的影響。因此，線性展開法僅適用于變量變化范圍較小（誤差?。?、容差分析精度要求不高的電路中。

表3 直接代入法和線性展開法對比

雖然線性展開法的遞推公式存在一定誤差，但基于工程應(yīng)用已經(jīng)足夠，如果對函數(shù)增量的準確值感興趣，可參見高等數(shù)學多元函數(shù)泰勒公式等內(nèi)容。

結(jié)束語

通過電路最壞情況分析法，我們可以知道電路的性能參數(shù)偏差。直接代入法適合分析精度要求特別高的電路，線性展開法對多數(shù)電路而言已經(jīng)足夠。需要說明的是，電路最壞情況分析法只是說明電路性能參數(shù)偏差的最大值，但并不能給出這種最大值出現(xiàn)的機率。事實上，對電路設(shè)計而言，最壞情況分析法分析結(jié)果偏于保守，它只是為我們指明，極端條件下電路性能參數(shù)可能出現(xiàn)的最壞的結(jié)果。