黃波

（成都大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，四川 成都610106）

1 概述

數(shù)字濾波器是由數(shù)字乘法器、加法器和延時(shí)單元組成的一種裝置。其功能是對輸入離散信號的數(shù)字代碼進(jìn)行運(yùn)算處理，以達(dá)到改變信號頻譜的目的。由于電子計(jì)算機(jī)技術(shù)和大規(guī)模集成電路的發(fā)展，數(shù)字濾波器已可用計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)，也可用大規(guī)模集成數(shù)字硬件實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)[1]。

數(shù)字濾波器是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)，數(shù)字濾波器輸入信號的抽樣率應(yīng)大于被處理信號帶寬的兩倍，其頻率響應(yīng)具有以抽樣頻率為間隔的周期重復(fù)特性，且以折疊頻率即1／2 抽樣頻率點(diǎn)呈鏡像對稱。

數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類，可以分成無限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器和有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器。FIR 濾波器對相位特性有很好的控制，它可以在幅度特性隨意設(shè)計(jì)的同時(shí)，能保證精確、嚴(yán)格的線性相位特性[2]。

2 頻率采樣法

設(shè)計(jì)FIR 數(shù)字濾波器，我們使用頻率采樣法，就是相當(dāng)于從頻域角度開始，通過把給定的理想數(shù)字頻率響應(yīng)Hd(ejω)以等間隔時(shí)間進(jìn)行采樣，進(jìn)而以此Hd(k)作為實(shí)際的FIR 數(shù)字濾波器對應(yīng)的數(shù)字頻率響應(yīng)的采樣值H (k)，就是讓H (k)=Hd(k)=Hd(ejω)|ω=2πk/N k=0, 1, 2, …, N-1，如果我們獲得H(k)后,可以根據(jù)IDFT, 通過利用N 個(gè)采樣值H(k)來唯一確定這個(gè)有限長序列，即

對應(yīng)的數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)H(z)為

這就是我們利用頻率采樣法來設(shè)計(jì)FIR 數(shù)字濾波器的基本方法。

如果我們要考慮設(shè)計(jì)的是那種線性相位的FIR 數(shù)字濾波器，我們必須要考慮其采樣值H(k)的幅度和相位必須要滿足所對應(yīng)的四類線性相位數(shù)字濾波器的相關(guān)約束條件。

首先，對于第一類線性相位FIR 數(shù)字濾波器，當(dāng)h(n)為偶對稱結(jié)構(gòu)，長度N 是奇數(shù)時(shí)，H(ejω)=H(ω)ejθ(ω)。

其次，對于第二類線性相位FIR 數(shù)字濾波器，當(dāng)h(n)為偶對稱結(jié)構(gòu)，長度N 是偶數(shù)時(shí)，其對應(yīng)的幅度函數(shù)H(ω)關(guān)于ω=π是奇對稱結(jié)構(gòu)，關(guān)于ω=0, 2π，卻為偶對稱，因此，對應(yīng)的Hk也應(yīng)該滿足奇對稱結(jié)構(gòu)要求，即

第三，對于第三類線性相位FIR 數(shù)字濾波器，當(dāng)h(n)為奇對稱結(jié)構(gòu)，長度N 是奇數(shù)時(shí)，H(ejω)=H(ω)ejθ(ω)。

最后，對于第四類線性相位FIR 數(shù)字濾波器，當(dāng)h(n)為奇對稱結(jié)構(gòu)，長度N 是偶數(shù)時(shí)，對應(yīng)的H(ejω)其幅度函數(shù)H(ω)是關(guān)于ω=π 偶對稱結(jié)構(gòu)，關(guān)于ω=0, 2π 則是奇對稱結(jié)構(gòu)，因此相應(yīng)的的Hk 也必須要滿足偶對稱結(jié)構(gòu)要求。

通過上述分析，對應(yīng)的逼近誤差和相關(guān)改進(jìn)措施辦法，頻率采樣法實(shí)現(xiàn)FIR 數(shù)字濾波器都是比較簡單可行的，而且我們已經(jīng)分析得到，我們利用N 個(gè)頻域采樣值H(k)可以進(jìn)一步求到FIR 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejω)。我們可以發(fā)現(xiàn)，在對應(yīng)的頻率采樣點(diǎn)ω=2πk/N，k=0, 1, 2, …, N-1 上, 其對應(yīng)的Φ(ω-2πk/N)=1，所以，相應(yīng)的采樣點(diǎn)上數(shù)字濾波器的實(shí)際頻率響應(yīng)函數(shù)是準(zhǔn)確地和理想頻率響應(yīng)函數(shù)數(shù)值對應(yīng)相等的。但是由于在不同采樣點(diǎn)之間的頻率響應(yīng)函數(shù)是由各個(gè)不同采樣點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)通過延伸疊加完成實(shí)現(xiàn)的, 這也導(dǎo)致產(chǎn)生一定的逼近誤差，而且這個(gè)誤差大小往往取決于對應(yīng)的理想頻率響應(yīng)曲線函數(shù)的不同形狀。當(dāng)然，對應(yīng)的理想頻率響應(yīng)特性曲線變化越是平緩，那么相應(yīng)的內(nèi)插值就越是接近理想值，這樣的話，逼近誤差就越小[3]。

3 基于頻率采樣法的FIR 數(shù)字濾波器仿真實(shí)現(xiàn)

本文利用頻率采樣法實(shí)現(xiàn)了設(shè)計(jì)一個(gè)帶阻FIR 數(shù)字濾波器。其中，f 就是歸一化以后的頻率，這個(gè)可以通過FIR 數(shù)字濾波器的采樣頻率進(jìn)而計(jì)算得到，所以，我們可以根據(jù)通帶和阻帶來計(jì)算好相應(yīng)的f 和m 就可以了。相應(yīng)的仿真程序如圖1 所示。

圖1 仿真程序

圖2 頻率采樣法帶阻濾波器

通過圖2 所示的結(jié)果，我們可以分析得到：頻率采樣設(shè)計(jì)法可以實(shí)現(xiàn)直接從頻域進(jìn)行設(shè)計(jì)，這樣的物理概念清楚，實(shí)現(xiàn)過程簡單方便；通過比較發(fā)現(xiàn)，頻率采樣設(shè)計(jì)法對于頻率響應(yīng)具有不多的若干非零取樣值對應(yīng)的窄帶FIR 數(shù)字濾波器的濾波效果更加明顯有效。

結(jié)束語

利用頻率采樣法進(jìn)行FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的最大好處是可以直接從頻域開始進(jìn)行設(shè)計(jì)，過程比較簡單直觀，當(dāng)然也適合于設(shè)計(jì)其他具有任意幅度特性的數(shù)字濾波器。但頻率采樣法也有缺點(diǎn)，就是邊界頻率不太容易控制，雖然說可以增加采樣點(diǎn)數(shù)N，這對確定的邊界頻率確實(shí)有一定好處，但同時(shí)采樣點(diǎn)數(shù)N的加大會增加一定的數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)成本，所以，利用頻率采樣法進(jìn)行FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)一般適用于窄帶FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)工作。