白瑞蒲, 張 艷

(河北大學 數(shù)學與信息科學學院, 河北 保定 071002)

0 引 言

3-元代數(shù)系統(tǒng)在數(shù)學和物理的相關(guān)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 例如: 3-李代數(shù)[1-2]廣泛應(yīng)用于可積系統(tǒng)與Nambu力學系統(tǒng)[3-8]; Pre-3-李代數(shù)和局部上循環(huán)3-李雙代數(shù)[9-10]的結(jié)構(gòu)與3-李代數(shù)中Yang-Baxter方程的解緊密相關(guān)； 基于3個變量(記為x,y,z)的經(jīng)典Nambu括號[4], 利用了偏微分中類似Jacobi行列式定義乘積:

且滿足3-李代數(shù)的Filippov等式:

{A,B,{C,D,E}}={{A,B,C},D,E}+{C,{A,B,D},E}+{C,D,{A,B,E}}.

文獻[10]利用非交換算子實現(xiàn)的3-元代數(shù)具有乘積:

[A,B,C]=A[B,C]+B[C,A]+C[A,B]=[B,C]A+[C,A]B+[A,B]C.

雖然3-元運算不滿足Filippov等式, 但3-代數(shù)應(yīng)用廣泛. 因此, 很多研究者利用已知的代數(shù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造3-元代數(shù)結(jié)構(gòu), 并研究其應(yīng)用及與3-李代數(shù)的關(guān)系. 本文構(gòu)造一類不滿足完全結(jié)合律和完全交換律的代數(shù)系統(tǒng), 稱為半結(jié)合3-代數(shù), 并研究其基本結(jié)構(gòu). 若無特殊說明, 本文討論的代數(shù)及線性空間的基域 F是特征為零的域, 對線性空間V的子集S, 〈S〉表示由S張成的子空間. 對給定的代數(shù)A, 列出A在一組基下的乘法表時, 省略了乘積為零的基向量運算.

1 半結(jié)合3-代數(shù)的定義及基本結(jié)構(gòu)

定義1半結(jié)合3-代數(shù)(A,{,,})是具有3-元線性運算{,,}:A?A?A→A的線性空間A, 且滿足?xi∈A, 1≤i≤5, 有

對A的子空間B1,B2,B3, 記{B1,B2,B3}為由{x1,x2,x3}(?xi∈Bi,i=1,2,3)張成的子空間, {A,A,A}記為A1, 稱為A的導代數(shù). 如果A1=0, 則稱A為Abel的.

例如, 設(shè)A為具有一組基v1,v2,v3的3-維線性空間, 則A按下列乘法構(gòu)成半結(jié)合3-代數(shù): {v1,v2,v2}=-{v2,v1,v2}=v3, 其余運算為0.

定義2設(shè)B是半結(jié)合3-代數(shù)A的子空間, 如果B滿足{B,B,B}?B, 則稱B是A的子代數(shù). 如果B滿足{A,A,B}?B且{A,B,A}?B, 則B稱為A的理想.

顯然, {0}和A是A的理想, 稱為A的平凡理想. 如果A沒有真理想, 則稱A是單半結(jié)合3-代數(shù).

對給定A的子空間V, 子代數(shù)

ZA(V)={x|x∈A, {x,V,A}={V,A,x}=0}

稱為V在A中的中心化子.ZA(A)稱為A的中心, 簡記為Z(A), 即

Z(A)={x|x∈A, {x,A,A}={A,A,x}=0}.

易見Z(A)是A的理想.

定義3設(shè)A和A1是兩個半結(jié)合3-代數(shù). 如果線性映射(線性同構(gòu))f:A→A1滿足

f{x,y,z}={f(x),f(y),f(z)}, ?x,y,z∈A,

則稱f是代數(shù)同態(tài)(代數(shù)同構(gòu)).

設(shè)I是A的理想,A/I={x+I|x∈A}是商空間, 則A/I按下列運算構(gòu)成半結(jié)合3-代數(shù):

{x+I,y+I,z+I}={x,y,z}+I, ?x,y,z∈A,

稱為A關(guān)于I的商代數(shù). 顯然, 自然映射π:A→A/I,π(x)=x+I(?x∈A)是滿的代數(shù)同態(tài).

命題1設(shè)A是半結(jié)合3-代數(shù),I1,I2,I3是A的理想, 則下列結(jié)論成立:

1)I1+I2,I1∩I2和{I1,I2,I3}是A的理想;

2) 如果I1?I2, 則I2/I1是A/I1的理想.

證明: 由定義可直接驗證, 故略.

命題2設(shè)A和A1是半結(jié)合3-代數(shù),f:A→A1是代數(shù)同態(tài), 則下列結(jié)論成立:

1)K=Kerf={x∈A|f(x)=0}是A的理想,f(A)是A1的子代數(shù);

證明: 因為f:A→A1是代數(shù)同態(tài), 則?x∈K=Kerf, 有

所以K是A的理想. 直接計算可知f(A)是A1的子代數(shù). 對任意子代數(shù)B1≤A1,B=f-1(B1)是A的滿足K≤B的子代數(shù), 且B1是A1的理想當且僅當B=f-1(B1)是A的理想. 結(jié)論得證.

定理1設(shè)A是半結(jié)合3-代數(shù), 則下列結(jié)論成立:

1) 如果存在非零向量e1,e2,e3,e4∈A, 使得{e1,e2,e3}=e4, 則e4≠λes, 其中:λ∈F,λ≠0;s=1,2,3.

證明: 如果e4=λe1,λ∈F,λ≠0, 則由式(1),(2)有

矛盾. 如果e4=αe3,α∈F,α≠0, 則有

矛盾. 結(jié)論1)得證.

如果存在非零向量e1,e2,e3∈A, 使得{e1,e2,e3}=λe1+μe2≠0(λ,μ∈F). 不失一般性, 假設(shè)μ≠0, 則

矛盾. 所以?λ,μ∈F, {e1,e2,e3}≠λe1+μe2, 結(jié)論得證.

定理2設(shè)A是非Abel的m-維半結(jié)合3-代數(shù),m≥3, 則存在線性無關(guān)向量ei,ej,ek∈A, 使得{ei,ej,ek}≠0.

證明: 因為A是非Abel的, 故由式(1)知存在線性無關(guān)的向量e1,e2∈A, 使得{e1,e2,A}≠0. 設(shè){e1,e2,…,em}是A的一組基. 如果{e1,e2,el}=0(?l≥3), 則存在a,b∈F, 使得{e1,e2,ae1+be2}≠0. 所以{e1,e2,ae1+be2+e3}≠0, 且e1,e2,ae1+be2+e3線性無關(guān). 結(jié)論得證.

定理3設(shè)A是s-維半結(jié)合3-代數(shù),s≤6, 則A1?Z(A).

證明: 只需證明{A,A1,A}={A,A,A1}=0. 對任意非零向量el∈A1, 存在非零向量ei,ej,ek∈A, 使得{ei,ej,ek}=el.

1) 如果ei,ej,ek線性相關(guān), 則可假設(shè)ek=aei+bej,a,b∈F,el=a{ei,ej,ei}+b{ei,ej,ej}. 對任意em,en∈A, 由式(2),(3), 有

所以{A,el,A}={A,A,el}=0.

2) 如果ei,ej,ek線性無關(guān), 則可分如下兩種情形討論.

① 如果ei,ej,ek,el線性相關(guān), 則el=aei+bej+cek, {ei,ej,ek}=aei+bej+cek,a,b,c∈F. 由定理1,ac≠0或bc≠0. 不失一般性, 假設(shè)ac≠0, 則

所以

② 如果ei,ej,ek,el線性無關(guān), 則若dimA=4, 則{ei,ej,ek,el}是A的一組基. 對?em,en∈A, 設(shè)

em=a1ei+b1ej+c1ek+d1el,en=a2ei+b2ej+c2ek+d2el,ai,bi,ci,di∈F,i=1,2.

則

類似上述討論可知{em,en,el}=0.

若dimA=5, 可假設(shè){ei,ej,ek,el,et}是A的一組基. 類似當dimA=4時的討論, 只需證明{et,el,et}=0. 由式(1)～(3)可知

{et,el,et}={et,{ei,ej,ek},et}={et,{ej,et,ek},ei}=-{et,et,{ej,ek,ei}}=0.

若dimA=6, 設(shè)e1,e2,e3,e4,e5,e6是A的一組基, 其中e1=ei,e2=ej,e3=ek,e4=el. 則{e1,e2,e3}=e4. 類似上述討論可得

{B,e4,B}={B,B,e4}=0, {C,e4,C}={C,C,e4}=0,

(4)

其中:B=〈e1,e2,e3,e4,e5〉;C=〈e1,e2,e3,e4,e6〉. 所以, 下面僅需討論3個乘積： {e5,e4,e6},{e6,e4,e5},{e5,e6,e4}. 假設(shè)

{e5,e4,e6}=a3e1+b3e2+c3e3+d3e4+λ3e5+μ3e6,a3,b3,c3,λ3,μ3∈F，

由式(4),

λ3{e5,e4,e6}={{e5,e4,e6}-a3e1-b3e2-c3e3-d3e4-μ3e6,e4,e6}=0.

所以

直接計算可知μ3=0. 所以{e5,e4,e6}=a3e1+b3e2+c3e3+d3e4. 再由式(1),(2), 有

a3e4=a3{e1,e2,e3}={{e5,e4,e6}-b3e2-c3e3-d3e4,e2,e3}=c3{e2,e3,e3},

a3{a3e1+b3e2+c3e3+d3e4}={e5,c3{e2,e3,e3},e6}=c3{e5,e2,{e3,e3,e6}}=0,

得a3=b3=c3=0. 由定理1,d3=0, 即{e5,e4,e6}=0. 所以{e5,e6,e4}={e6,e4,e5}=0, 且A1?Z(A). 結(jié)論得證.

2 半結(jié)合3-代數(shù)的導子與型心

2.1 半結(jié)合3-代數(shù)的導子

定義4設(shè)A是半結(jié)合3-代數(shù),D:A→A是線性映射. 如果D滿足

D{x1,x2,x3}={Dx1,x2,x3}+{x1,Dx2,x3}+{x1,x2,Dx3}, ?x1,x2,x3∈A,

(5)

則稱D是A的導子.A的導子全體記為DerA.

命題3設(shè)A是半結(jié)合3-代數(shù), 則DerA是一般線性李代數(shù)gl(A)的子代數(shù).

證明: 直接計算可得結(jié)果.

對D∈DerA, 如果D滿足D(A)?Z(A), 且D(A1)=0, 則稱D是中心導子. 記Derc(A)為A的中心導子全體. 顯然, DercA是DerA的子代數(shù).

任取x1,x2∈A, 定義線性映射L(x1,x2),R(x1,x2),S(x1,x2):A×A→A,

L(x1,x2)(x)={x1,x2,x},R(x1,x2)(x)={x,x1,x2}, ?x∈A,

(6)

S(x1,x2)=L(x1,x2)-R(x1,x2).

(7)

L(x1,x2)和R(x1,x2)分別稱為由x1,x2確定的左乘映射和右乘映射.

定理4設(shè)A是半結(jié)合3-代數(shù), 則對任意x1,x2,x3,x4∈A, 有

證明: 由式(1)～(3)可得式(8)～(10). 下面只需證明式(11),(12)成立. 對任意xi∈A(1≤i≤5), 由定義易見下列等式成立:

L(x1,x2)L(x3,x4)(x5)-L(x3,x1)L(x2,x4)(x5)=0,

L(x1,x2)L(x3,x4)(x5)-(L(x4,x2)R(x3,x1)(x5)+L(x3,x1)R(x4,x2)(x5))=0.

因此,

R(x3,x4)(R(x1,x2)+R(x2,x1))=0,

L(x1,x2)L(x3,x4)=L(x3,x1)L(x2,x4) =L(x4,x2)R(x3,x1)+L(x3,x1)R(x4,x2)

成立. 證畢.

記L(A),R(A),S(A)分別為End(A)的由L(x1,x2),R(x,x2),S(x1,x2)張成的線性空間, 即

L(A)=〈L(x1,x2)|?x1,x2∈A〉,R(A)=〈R(x,x2)|?x1,x2∈A〉,

S(A)=〈S(x1,x2)|?x1,x2∈A〉,T(A)=L(A)+R(A).

定理5設(shè)A是半結(jié)合3-代數(shù), 則T(A)是gl(A)的Abel子代數(shù),L(A),R(A)為T(A)的理想.

證明: 由式(1),(2), 對任意xi∈A(1≤i≤5), 有

再由式(3), 有

所以[L(A),T(A)]=[R(A),T(A)]=0, [T(A),T(A)]=0. 結(jié)論得證.

定理6設(shè)A是半結(jié)合3-代數(shù), 則下列結(jié)論成立:

1) 對?x1,x2∈A,S(x1,x2)∈DerA;

2)S(A)是DerA的理想, 且[S(A),S(A)]=0,S(A)稱為A的內(nèi)導子李代數(shù).

證明： 對?x1,x2,x,y,z∈A, 由式(6),(7)，有

S(x1,x2){x,y,z}={x1,{x2,x,y},z}+{x1,{x,y,z},x2},

所以,

S(x1,x2){x,y,z}={S(x1,x2)(x),y,z}+{x,S(x1,x2)(y),z}+{x,y,S(x1,x2)(z)}.

結(jié)論1)得證. 對任意S(x1,x2)∈S(A),D∈DerA,x∈A, 因為

[S(x1,x2),D](x)=S(x1,x2)D(x)-DS(x1,x2)(x)=(S{x1,D(x2)}-S{D(x1),x2})(x),

所以[S(A),DerA]?S(A). 由定理4, 有

[S(A),S(A)]=[L(A)-R(A),L(A)-R(A)]=0,

結(jié)論2)得證.

2.2 半結(jié)合3-代數(shù)的型心

定義5設(shè)A是半結(jié)合3-代數(shù), 則

Γ(A)={φ∈End(A)|φ{(diào)x1,x2,x3}={φ(x1),x2,x3}={x1,x2,φ(x3)}, ?x1,x2,x3∈A}

稱為A的型心. 由式(1), 對任意φ∈End(A),φ∈Γ(A) 當且僅當

φ{(diào)x1,x2,x3}={φ(x1),x2,x3}={x1,φ(x2),x3}={x1,x2,φ(x3)}, ?x1,x2,x3∈A.

定理7設(shè)A是半結(jié)合3-代數(shù), 則下列結(jié)論成立:

1)Γ(A)是一般線性李代數(shù)gl(A)的子代數(shù);

2) 對任意φ∈Γ(A), 如果φ(A)?Z(A),φ(A1)=0, 則φ是中心導子;

3) 對任意φ∈Γ(A),D∈DerA, 則φD∈DerA;

4) DercA=Γ(A)∩DerA.

證明: 對任意φ1,φ2∈Γ(A),x1,x2,x3∈A, 由定義可知

[φ1,φ2]{x1,x2,x3}=(φ1φ2-φ2φ1){x1,x2,x3}={[φ1,φ2](x1),x2,x3},

[φ1,φ2]{x1,x2,x3}=(φ1φ2-φ2φ1){x1,x2,x3}={x1,x2,[φ1,φ2](x3)}.

所以 [φ1,φ2]∈gl(A). 結(jié)論1)成立.

對任意φ∈Γ(A), 如果φ(A)?Z(A),φ(A1)=0, 則由定義5和式(5)可知φ∈DerA. 結(jié)論2)成立.

對任意φ∈Γ(A),D∈DerA和x1,x2,x3∈A, 因為

所以φD∈DerA. 結(jié)論3)成立.

對任意φ∈Γ(A)∩DerA, 由定義5和式(5)知, 對任意x1,x2,x3∈A, 有

φ{(diào)x1,x2,x3}={φ(x1),x2,x3}+{x1,φ(x2),x3}+{x1,x2,φ(x3)}=3φ{(diào)x1,x2,x3},

所以φ(A1)=0. 再由

φ{(diào)x1,x2,x3}={φ(x1),x2,x3}={x1,x2,φ(x3)}=0,φ(A)?Z(A)

成立, 可得Γ(A)∩Der(A)?Derc(A). 如果φ∈DercA, 則φ∈Γ(A), 蘊含DercA=Γ(A)∩DerA. 結(jié)論4)成立.

定理8設(shè)A是半結(jié)合3-代數(shù), 則對任意D∈Der(A),φ∈Γ(A), 下列結(jié)論成立:

1) [D,φ]?Γ(A);

2)Dφ∈Γ(A)的充要條件是φD∈DercA.

3)Dφ∈DerA的充要條件是[D,φ]∈DercA.

證明: 對任意D∈DerA,φ∈Γ(A)及x1,x2,x3∈A, 由

Dφ{(diào)x1,x2,x3}={Dφ(x1),x2,x3}+φD{x1,x2,x3}-{φD(x1),x2,x3},

Dφ{(diào)x1,x2,x3}=φD{x1,x2,x3}-{x1,x2,φD(x3)}+{x1,x2,Dφ(x3)},

有

(Dφ-φD){x1,x2,x3}={(Dφ-φD)(x1),x2,x3},

(Dφ-φD){x1,x2,x3}={x1,x2,(Dφ-φD)(x3)}.

所以[D,φ]∈Γ(A). 結(jié)論1)成立.

由定理6知,φD∈DerA. 如果Dφ∈Γ(A), 則由[D,φ]∈Γ(A), 有φD∈Γ(A). 所以φD∈DerA∩Γ(A). 反之, 如果φD∈Γ(A), 則由[D,φ]∈Γ(A)和Dφ∈Γ(A)可得結(jié)論2). 由結(jié)論1)和結(jié)論2)直接可得結(jié)論3). 證畢.