翟玉健，李 敬

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七二三研究所，江蘇 揚(yáng)州 225101)

0 引 言

空間直角坐標(biāo)主要是指笛卡爾直角坐標(biāo)系，但是針對(duì)不同的平臺(tái)，笛卡爾坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸略有不同。機(jī)(彈)載坐標(biāo)系又分歐美系和蘇式坐標(biāo)系，加之常用的艦載坐標(biāo)系，組成了常用的右手直角坐標(biāo)的3種坐標(biāo)系。而坐標(biāo)變換主要有2種方式，一種是平移變換，另一種是旋轉(zhuǎn)變換。平移變換只改變?cè)c(diǎn)的位置而不改變軸的方向，旋轉(zhuǎn)變換改變軸的方向而不改變?cè)c(diǎn)的位置。任何系統(tǒng)的坐標(biāo)變換都可以通過(guò)這2種變換或其中一種變換方式完成。下面就根據(jù)平移和旋轉(zhuǎn)推導(dǎo)出艦載平臺(tái)和機(jī)(彈)載平臺(tái)3種地理穩(wěn)定坐標(biāo)系到地心直角坐標(biāo)系的變換，以實(shí)現(xiàn)空間目標(biāo)的定位。

1 變換原理

直角坐標(biāo)平移是指坐標(biāo)軸的指向不變，只改變坐標(biāo)軸的原點(diǎn)位置，具體見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1]，本文具體介紹坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)。

直角坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)是指坐標(biāo)軸原點(diǎn)不變，只調(diào)整坐標(biāo)軸的指向，如圖1所示。

圖1 直角坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)

設(shè)新坐標(biāo)系Sn與原坐標(biāo)系So原點(diǎn)一致，空間中點(diǎn)P在So中的坐標(biāo)為(Xo，Yo，Zo)，點(diǎn)P在Sn中的坐標(biāo)為(Xn，Yn，Zn)，則經(jīng)過(guò)3次旋轉(zhuǎn)有：

(1) 保持舊Zo軸不動(dòng)，OoXoYo按右手規(guī)則旋轉(zhuǎn)ψ角；

(2) 保持新Yo軸不動(dòng)，OoZoXo按右手規(guī)則旋轉(zhuǎn)θ角；

(3) 保持新Xo軸不動(dòng)，OoYoZo按右手規(guī)則旋轉(zhuǎn)φ角。

則：

(1)

引入旋轉(zhuǎn)矩陣符號(hào)如下：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

展開(kāi)為：

(7)

2 穩(wěn)定平臺(tái)地理坐標(biāo)系與空間大地直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換

要進(jìn)行空間坐標(biāo)系變換，首要確定坐標(biāo)系。任何一個(gè)觀測(cè)模型都是依據(jù)狀態(tài)空間模型建立的，選擇合適的坐標(biāo)系，對(duì)于保持空間的一致性、簡(jiǎn)化計(jì)算是非常重要的，坐標(biāo)系的選擇將直接影響跟蹤的精度和計(jì)算量的大小。WGS84大地坐標(biāo)系是以地心作為橢球體中心的參考模型，具體定義和計(jì)算可以參考文獻(xiàn)[1]。這里主要介紹空間大地直角坐標(biāo)系，空間大地直角坐標(biāo)系是地心坐標(biāo)系，即以地球質(zhì)心為原點(diǎn)，軸Zo與地球的旋轉(zhuǎn)軸一致，軸Xo位于起始大地子午面和赤道面的交線上，在赤道面上與Xo軸正交的方向?yàn)閅o軸，見(jiàn)圖2的OoXoYoZo坐標(biāo)系。

圖2 地球直角坐標(biāo)系與艦載平臺(tái)地理坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)關(guān)系

2.1 艦載穩(wěn)定平臺(tái)地理坐標(biāo)系與空間大地直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換

艦載體地理坐標(biāo)系[2]的3條參考軸與艦載體不固連，它不隨艦艇搖擺，因此是“穩(wěn)定”的。它的3條參考軸的取向與地理參考系相同，在大地坐標(biāo)系下Yr軸指向正北，Xr軸指向正東，由于其原點(diǎn)會(huì)隨著艦載體一起移動(dòng)，因此稱它為艦載穩(wěn)定平臺(tái)地理參考系或相對(duì)地理參考系。設(shè)艦載體的地理位置為Or，其大地坐標(biāo)系的坐標(biāo)表示為(LrBrHr)，此處Br為地理維度?？臻g大地直角坐標(biāo)系的表示為(Xor,Yor,Zor)，如圖2所示。

設(shè)目標(biāo)點(diǎn)P在艦載地理坐標(biāo)系(以O(shè)r為原點(diǎn))的位置為Xrt,Yrt,Zrt，如果將P點(diǎn)從以O(shè)r為原點(diǎn)的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到以O(shè)o為原點(diǎn)的(大地空間直角)坐標(biāo)系下，旋轉(zhuǎn)順序?yàn)椋?/p>

(1) 保持舊OrXr軸不動(dòng)，OrYrZr按右手規(guī)則旋轉(zhuǎn)-(90°-Br)角度，此時(shí)Zr軸與Zo平行，OrYrXr平面與OoYoXo平面平行。將旋轉(zhuǎn)角度代入式(6)中的CX(φ),則旋轉(zhuǎn)矩陣為：

(8)

(2) 保持新OrZr軸不變，OrXrYr按右手規(guī)則旋轉(zhuǎn)-(90°+Lr)角度，此時(shí)2個(gè)坐標(biāo)系就平行了。將旋轉(zhuǎn)角度代入式(6)中的CZ(ψ),則旋轉(zhuǎn)矩陣為：

(9)

(3) 再通過(guò)坐標(biāo)平移就可以實(shí)現(xiàn)艦載平臺(tái)地理坐標(biāo)系到地心直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，總的轉(zhuǎn)換公式如下：

(10)

式中：LrBr為觀測(cè)點(diǎn)Or的經(jīng)度、緯度；Xor,Yor,Zor為觀測(cè)點(diǎn)Or的空間大地直角坐標(biāo)位置；Xot,Yot,Zot為目標(biāo)點(diǎn)P的空間大地直角坐標(biāo)系位置；Xrt,Yrt,Zrt為目標(biāo)點(diǎn)P在觀測(cè)點(diǎn)Or坐標(biāo)系的位置。

用旋轉(zhuǎn)矩陣符號(hào)表示如下：

(11)

根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣為正交陣，其逆變換的旋轉(zhuǎn)公式如下：

(12)

則目標(biāo)P空間大地直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到艦載體地理坐標(biāo)系下的完整轉(zhuǎn)換公式為：

(13)

2.2 蘇式坐標(biāo)系下機(jī)(彈)載穩(wěn)定平臺(tái)地理坐標(biāo)系與空間大地直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換

蘇式坐標(biāo)系下機(jī)(彈)載地理坐標(biāo)系[2]OrXrYrZr的原點(diǎn)Or為彈載體發(fā)射點(diǎn)或機(jī)載雷達(dá)的觀測(cè)點(diǎn)，Xr軸是原點(diǎn)Or至目標(biāo)點(diǎn)的照準(zhǔn)面和包含發(fā)射點(diǎn)的水平面的交線，指向目標(biāo)點(diǎn)方向，Yr軸和原點(diǎn)Or的鉛垂線方向一致，指向地球外，Zr軸和Xr、Yr軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。Xr軸與正北(N)軸有一個(gè)射擊方位角Ar(機(jī)載坐標(biāo)系下Ar=0，Xr軸指向正北)，設(shè)發(fā)射坐標(biāo)系的地理位置為(LrBrHr)，射擊方位角Ar，如圖3所示。

圖3 空間大地直角坐標(biāo)系與蘇式坐標(biāo)系下機(jī)(彈)載平臺(tái)地理坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)關(guān)系

設(shè)目標(biāo)點(diǎn)P在蘇式地理坐標(biāo)系(以O(shè)r為原點(diǎn))的位置為Xrt,Yrt,Zrt，如果將P點(diǎn)從以O(shè)r為原點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到以地球中心Oo為原點(diǎn)的坐標(biāo)系下，旋轉(zhuǎn)順序?yàn)椋?/p>

(1) 保持舊OrYr軸不動(dòng)，OrZrXr按右手規(guī)則旋轉(zhuǎn)(90°+Ar)角度，此時(shí)Zr軸指向正北(Zo軸)；

(2) 保持新OrXr軸不變，OrYrZr按右手規(guī)則旋轉(zhuǎn)-Br角度，此時(shí)Zr軸就與Zo軸平行了；

(3) 保持新OrZr軸不變，OrXrYr按右手規(guī)則旋轉(zhuǎn)(90°-Lr)角度，此時(shí)2個(gè)坐標(biāo)系就平行了。

用旋轉(zhuǎn)矩陣表示：

(14)

這與參考文獻(xiàn)[1]中給出的發(fā)射坐標(biāo)系到空間大地直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換公式是一致的。

(4) 再通過(guò)坐標(biāo)平移就可以實(shí)現(xiàn)機(jī)(彈)載平臺(tái)地理坐標(biāo)系到空間大地直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，總的轉(zhuǎn)換公式如下：

(15)

根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣為正交陣，其逆變換的旋轉(zhuǎn)公式如下：

(16)

則目標(biāo)P空間大地直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到機(jī)(彈)體地理坐標(biāo)系下的完整轉(zhuǎn)換公式為：

(17)

2.3 歐美系下機(jī)(彈)載平臺(tái)地理坐標(biāo)系與空間大地直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換

歐美系下機(jī)(彈)載地理坐標(biāo)系[3]的原點(diǎn)同蘇式坐標(biāo)系，只是坐標(biāo)軸指向不同。原點(diǎn)Or為彈載體發(fā)射點(diǎn)或機(jī)載雷達(dá)的觀測(cè)點(diǎn)，Xr軸指向當(dāng)?shù)乇弊游缇€，Yr軸垂直Xr軸指向正東，Zr軸垂直于XrOrYr平面，指向飛行器下方。如果是彈載發(fā)射坐標(biāo)系，則Xr軸與指向正北之間有一個(gè)射擊方位角Ar。設(shè)發(fā)射坐標(biāo)系的地理位置為(LrBrHr)，則如圖4所示。

圖4 空間大地直角坐標(biāo)系與歐美系下機(jī)(彈)載平臺(tái)地理坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)關(guān)系

比對(duì)圖3和圖4，可以看出歐美系下的機(jī)(彈)載平臺(tái)地理坐標(biāo)系與蘇式坐標(biāo)系下的機(jī)(彈)載平臺(tái)地理坐標(biāo)系之間差了一個(gè)90°。只要保持歐美系下的機(jī)(彈)載平臺(tái)地理坐標(biāo)系的OrXr軸不變，OrYrZr按右手規(guī)則旋轉(zhuǎn)-90°，就變成了蘇式坐標(biāo)系下的機(jī)(彈)載平臺(tái)地理坐標(biāo)系，因此，歐美系下將P點(diǎn)從以O(shè)r為原點(diǎn)的觀測(cè)(發(fā)射)地理坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到以地球中心O0為原點(diǎn)的空間大地直角坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)公式順序是：

(1) 先保持OrXr軸不變，OrYrZr按右手規(guī)則旋轉(zhuǎn)-90°；

(2) 按照2.2節(jié)中(1)～(3)的旋轉(zhuǎn)順序進(jìn)行旋轉(zhuǎn)即可，用旋轉(zhuǎn)矩陣表示為：

CY(90°+Ar)CX(-90°)

(18)

(3) 再通過(guò)坐標(biāo)平移就可以實(shí)現(xiàn)機(jī)(彈)載平臺(tái)地理坐標(biāo)系到空間大地直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，總的轉(zhuǎn)換公式如下：

(19)

根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣為正交陣，其逆變換的旋轉(zhuǎn)公式如下：

(20)

則目標(biāo)P空間大地直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到歐美系下機(jī)(彈)體地理坐標(biāo)系下的完整轉(zhuǎn)換公式為：

(21)

3 驗(yàn) 證

假設(shè)觀測(cè)點(diǎn)的大地坐標(biāo)位置是東經(jīng)119°58′42″，緯度39°58′20″，高度架設(shè)27 m，目標(biāo)點(diǎn)的大地坐標(biāo)位置是東經(jīng)119°52′32″，緯度39°59′32″，高度架設(shè)10 m，則將其轉(zhuǎn)換到空間大地直角坐標(biāo)系下的位置見(jiàn)表1。將觀測(cè)點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)的位置信息以及觀測(cè)點(diǎn)的經(jīng)緯度值代入式(13)、式(17)和式(21)可以求得表2中目標(biāo)在觀測(cè)坐標(biāo)系下的位置。

表1 空間大地直角坐標(biāo)

在地理坐標(biāo)系下一點(diǎn)P，用雷達(dá)測(cè)量坐標(biāo)系[4]表示為P(R,α,φ)，方位基準(zhǔn)線位于過(guò)原點(diǎn)O的水平面內(nèi)，指向正北；斜距R為原點(diǎn)O與目標(biāo)點(diǎn)P之間的距離；俯仰角φ為目標(biāo)視線與水平面夾角，向上為正；方位角α為目標(biāo)視線在水平面投影與方位基準(zhǔn)線間夾角，順時(shí)針為正。設(shè)歐美系和蘇式坐標(biāo)系下機(jī)(彈)載的射擊方位角Ar=0，這樣3種平臺(tái)的雷達(dá)測(cè)量坐標(biāo)系就統(tǒng)一了。 因此將目標(biāo)分別通過(guò)3種坐標(biāo)系的平移和旋轉(zhuǎn)后轉(zhuǎn)到雷達(dá)測(cè)量坐標(biāo)系下應(yīng)該是同一個(gè)位置，具體參數(shù)見(jiàn)表2中目標(biāo)在雷達(dá)測(cè)量坐標(biāo)系下的位置。

表2 目標(biāo)在各平臺(tái)地理坐標(biāo)系下位置

4 結(jié)束語(yǔ)

穩(wěn)定平臺(tái)地理坐標(biāo)系與空間大地直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換是目標(biāo)定位的主要計(jì)算方法，參考各種文獻(xiàn)都有提及某個(gè)轉(zhuǎn)換公式，但沒(méi)有具體全面給出轉(zhuǎn)換公式所屬的坐標(biāo)系定義，例如文獻(xiàn)[1]中只給出了發(fā)射坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。本文系統(tǒng)、全面、明確地對(duì)3種坐標(biāo)系進(jìn)行定義，根據(jù)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的原理推導(dǎo)三種坐標(biāo)系下穩(wěn)定平臺(tái)地理坐標(biāo)系與空間大地直角坐標(biāo)系的正反轉(zhuǎn)換公式，并給出了驗(yàn)證，證明轉(zhuǎn)換的正確性。