■錢志祥

作者單位：江蘇省蘇州市吳江區(qū)蘇州灣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)

方程是指含有未知數(shù)的等式，不等式是指用不等號(hào)(“＞”“＜”“≥”“≤”)連接的式子，從數(shù)學(xué)表達(dá)方式來看，方程相當(dāng)于不等式的一種特殊情況，因此方程和不等式問題具有一定的關(guān)聯(lián)性，下面以一元二次方程和一元二次不等式為例進(jìn)行分析。

一、一元二次方程和一元二次不等式的基本知識(shí)框架

1.一元二次方程的基本知識(shí)

一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0(a≠0)，判別式為Δ=b2-4ac。當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。當(dāng)Δ≥0時(shí)，求根公式為x=。

2.一元二次不等式的基本知識(shí)

一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c≠0，ax2+bx+c＜0，ax2+bx+c≥0，ax2+bx+c≤0(a≠0)。

小結(jié)：一元二次方程和一元二次不等式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式均為f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，因此在求解一元二次方程和一元二次不等式時(shí)，都需要利用對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖像是拋物線，且當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線的開口方向向上，當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線的開口方向向下等性質(zhì)完成求解。

二、求解一元二次方程和一元二次不等式的方法

1.求解一元二次方程的四種常用方法

(1)公式法：確定方程ax2+bx+c=0(a≠0)中a、b、c的值，直接代入求根公式解得方程的根。該方法適用于解答任何一個(gè)有解的一元二次方程。

例1解方程18x2+20x+5=0。

解：因?yàn)閍=18，b=20，c=5，所以b2-4ac=202-4×18×5=40＞0，所以x=，所以。

(2)直接開方法：當(dāng)一元二次方程等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方形式，等號(hào)右邊是常數(shù)項(xiàng)，即x2=m或(ax+b)2=m(m是已知數(shù))的形式時(shí)，可以采用直接開平方法求得方程的根。

例2解方程(2x-1)2=48。

解：因?yàn)?，所?x=，所以。

(3)配方法：運(yùn)用配方法時(shí)，需要先通過移項(xiàng)、合并同類型，把已知方程變換為一般形式；再把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊；然后在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，寫成完全平方的形式；利用直接開方法求得方程的根。

例3已知關(guān)于x的一元二次方程的解析式為x2-(m-3)x-m=0。

①求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

②如果方程的兩個(gè)實(shí)根為x1、x2，且，求m的值。

解：①因?yàn)閤2-(m-3)x-m=0，所以Δ=[-(m-3)]2-4×1×(-m)=m2-2m+9=(m-1)2+8＞0，所以關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

②因?yàn)榉匠蘹2-(m-3)x-m=0的兩個(gè)實(shí)根為x1、x2，且，所以(x1+x2)2-3x1x=7，所以(m-3)2-3×(-m)=7，解得m1=1，m2=2。

點(diǎn)評(píng)：第①問的證明需運(yùn)用一元二次方程的判別式公式；第②問的解答需要在厘清已知條件，構(gòu)建出關(guān)于m的一元二次方程后，采用配方法求解。

(4)因式分解法：運(yùn)用因式分解法時(shí)，需要先將已知一元二次方程等號(hào)右邊轉(zhuǎn)化為零，將等號(hào)左邊通過提取因式轉(zhuǎn)化成可以采用十字相乘法求得根的兩項(xiàng)乘積的形式；再快速求得方程的根。

例4解方程(x-3)(x-5)=3。

解：將原方程轉(zhuǎn)化為x2-8x+12=0，所以(x-2)(x-6)=0，所以x1=2，x2=6。

2.求解一元二次不等式的方法步驟

(1)轉(zhuǎn)化標(biāo)準(zhǔn)式：把已知一元二次不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)式，注意若原不等式的二次項(xiàng)系數(shù)小于零，在轉(zhuǎn)化時(shí)一定要注意變號(hào)。

(2)計(jì)算判別式和方程的根：計(jì)算對(duì)應(yīng)于一元二次不等式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判別式Δ=b2-4ac，以及方程的兩根x1、x2(x1＜x2)。

(3)求符合題意的解集：當(dāng)Δ＞0時(shí)，不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集為{x︱x＜x1或x＞x2}，不等式ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集為{x︱x1＜x＜x2}；當(dāng)Δ=0時(shí)，不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集為，不等式ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集為?；當(dāng)Δ＜0 時(shí)，不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集為R，不等式ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集為?。

例5已知函數(shù)f(x)=(x-1)(px+q)為偶函數(shù)，且在(0，+∞)上單調(diào)遞減，則不等式f(x-3)＜0的解集為____。

解：因?yàn)閒(x)=(x-1)(px+q)=px2+(q-p)x-q是偶函數(shù)，所以q-p=0，即p=q，則f(x)=px2-q。又因?yàn)閒(x-3)=p(x-3)2-q＜0，函數(shù)f(x)在(0，+ ∞)上單調(diào)遞減，所以p＜0，即(x-3)2-1＞0，解不等式得x＜2 或x＞4。所以不等式f(x-3)＜0的解集為{x︱x＜2或x＞4}。