莊肖波 李耀明

(江蘇大學(xué)現(xiàn)代農(nóng)業(yè)裝備與技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 鎮(zhèn)江 212013)

0 引言

聯(lián)合收獲機(jī)的使用大幅提高了谷物收獲效率、減輕了勞動(dòng)強(qiáng)度，并顯著降低了農(nóng)業(yè)生產(chǎn)對(duì)勞動(dòng)力的需求。隨著聯(lián)合收獲機(jī)的高速化、智能化發(fā)展，割臺(tái)的自化控制得到了廣泛研究[1-3]。

割臺(tái)高度控制最早出現(xiàn)在20世紀(jì)五六十年代[4]，早期涉及開(kāi)關(guān)控制[5]，直到20世紀(jì)末，開(kāi)關(guān)控制仍被認(rèn)為是最先進(jìn)的[6]。比例控制被引入到PID控制器[7-9]，LQR[10]和LQG[11-12]等二次型控制方法也得到大量研究。文獻(xiàn)[13]分析了聯(lián)合收獲機(jī)割臺(tái)高度控制中機(jī)械設(shè)備的基本限制因素，為了克服這些限制因素，文獻(xiàn)[14-15]提出了機(jī)械參數(shù)與控制器同時(shí)設(shè)計(jì)的方法。反饋線性化是一種控制設(shè)計(jì)策略，可以用來(lái)設(shè)計(jì)非線性系統(tǒng)控制器[16]。盡管反饋線性化具有良好的跟蹤性能，但其主要局限性在于魯棒性較差，因?yàn)榉答伨€性化過(guò)程需使用精確模型來(lái)消除動(dòng)力學(xué)中的非線性。文獻(xiàn)[17-18]使用Lyapunov考慮參數(shù)的不確定性，增強(qiáng)反饋線性化的魯棒性，但這種方法需估計(jì)不確定性的界。另一種魯棒反饋線性化方法是滑?？刂芠19-20]。魯棒反饋線性化控制非常適合于在工作點(diǎn)不能線性化的非線性系統(tǒng)。文獻(xiàn)[21]提出了集成魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)(Integrated robust optimal design，IROD)，該方法比H∞[22]方法具有更好的跟蹤性能，但目前研究主要集中在機(jī)械系統(tǒng)上，對(duì)液壓控制系統(tǒng)的研究較少。為從液壓執(zhí)行器中獲得期望的輸出，需對(duì)液壓系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行理想化，需設(shè)計(jì)一個(gè)單獨(dú)的液壓控制器。為使系統(tǒng)更具魯棒性，可通過(guò)設(shè)計(jì)聯(lián)合收獲機(jī)割臺(tái)高度液壓控制系統(tǒng)的魯棒反饋線性化控制器加以實(shí)現(xiàn)。

本文基于割臺(tái)結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)分析建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，選取正弦角度的近似約簡(jiǎn)條件，將多變量的復(fù)雜非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為典型的非線性系統(tǒng)；分析傳統(tǒng)的反饋線性化控制，在集成魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)(IROD)控制器基礎(chǔ)上提出魯棒反饋線性化(RFL)，通過(guò)構(gòu)建靈敏度方程、選取增益來(lái)穩(wěn)定系統(tǒng)；選取液壓控制機(jī)構(gòu)，以控制液壓輸出的電流為控制系統(tǒng)的輸出來(lái)設(shè)計(jì)控制器。最后，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)和實(shí)物實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證控制方法的有效性。

1 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

建立割臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。以球鉸O′和切割器的兩端CD建立割臺(tái)平面。割臺(tái)ABCD在O′處通過(guò)球鉸與機(jī)架鉸接，兩側(cè)液壓缸MP和NQ提供動(dòng)力FM和FN。設(shè)割臺(tái)繞AB的轉(zhuǎn)角為θ，CD處安裝切割器，使用傳感器采集其兩端離地面高度z1和z2。

圖1 割臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of header

對(duì)圖1所示模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析?？紤]割臺(tái)繞AB的俯仰運(yùn)動(dòng)，得到割臺(tái)yz平面上的旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

其中

(2)

式中k——俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)的等效阻尼系數(shù)

J1——割臺(tái)俯仰的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

m——割臺(tái)質(zhì)量

l——點(diǎn)A與點(diǎn)D間長(zhǎng)度

l1——點(diǎn)A與點(diǎn)P間長(zhǎng)度

α——油缸軸與割臺(tái)平面的夾角

h——點(diǎn)A與點(diǎn)M間高度

從傳感器獲得點(diǎn)C、D離地面高度，并滿足

(3)

(4)

式中z1——點(diǎn)C離地面高度

z2——點(diǎn)D離地面高度

t——割臺(tái)寬度，即點(diǎn)C、D間的距離

為簡(jiǎn)化運(yùn)算，由于割臺(tái)實(shí)際工作時(shí)轉(zhuǎn)角的調(diào)整值Δθ較小，以sinΔθ≈Δθ的近似條件進(jìn)行線性化操作。將式(2)代入式(1)，再對(duì)式(1)、(3)、(4)進(jìn)行線性化，得

(5)

(6)

(7)

式中αs——割臺(tái)處于靜態(tài)平衡狀態(tài)時(shí)的α

θs——割臺(tái)處于靜態(tài)平衡狀態(tài)時(shí)的θ

P——系數(shù)，為θs的函數(shù)

Δz1——點(diǎn)C離地面高度變化量

Δz2——點(diǎn)D離地面高度變化量

ΔFM——液壓缸MP動(dòng)力變化量

ΔFN——液壓缸NQ動(dòng)力變化量

FMs——液壓缸MP處于靜態(tài)平衡時(shí)的FM

FNs——液壓缸NQ處于靜態(tài)平衡時(shí)的FN

綜合式(5)～(7)，可建立割臺(tái)模型為

(8)

可得到狀態(tài)空間方程為

(9)

其中

(10)

根據(jù)式(9)、(10)可得到方程

(11)

式中x——狀態(tài)矢量u——矢量輸入

y——數(shù)量輸出

由此得到一個(gè)典型的非線性系統(tǒng)，可進(jìn)一步轉(zhuǎn)換成輸入輸出的反饋線性化系統(tǒng)。

2 傳統(tǒng)反饋線性化控制

在很多系統(tǒng)中，尤其是液壓系統(tǒng)，為一個(gè)不可控的仿射系統(tǒng)，將式(11)表示為更一般的形式

(12)

(13)

其中

(14)

則得到標(biāo)準(zhǔn)輸入輸出，進(jìn)一步線性化設(shè)計(jì)可用于擴(kuò)展系統(tǒng)。并根據(jù)時(shí)間t離散化輸出y，可得

(15)

(16)

(17)

由式(17)可得，線性化反饋控制映射計(jì)算式為

(18)

v可以參考信號(hào)R來(lái)選擇，計(jì)算式為

(19)

通過(guò)選擇增益K1、K2、…、Kr來(lái)穩(wěn)定系統(tǒng)。理論上，增益越高，跟蹤性能越好，但增益過(guò)高會(huì)導(dǎo)致高頻振蕩或抖動(dòng)，特別是在導(dǎo)數(shù)項(xiàng)較高的情況下，會(huì)導(dǎo)致不穩(wěn)定。

3 魯棒反饋線性化控制

反饋線性化控制器本質(zhì)上缺乏魯棒性，因式(18)計(jì)算的控制輸入高度依賴(lài)于系統(tǒng)的識(shí)別準(zhǔn)確度。如果系統(tǒng)方程中有不確定的參數(shù)，可能會(huì)影響反饋線性化控制器的穩(wěn)定性。為了反饋線性化控制器選定的不確定參數(shù)具有更強(qiáng)的魯棒性，可構(gòu)建系統(tǒng)的靈敏度動(dòng)力學(xué)方程和調(diào)整控制輸入，以盡量減少不確定參數(shù)的影響。

考慮具有不確定參數(shù)的線性系統(tǒng)

(20)

其中，b∈R是一個(gè)未知參數(shù)，也可以推廣到b是多個(gè)未知參數(shù)向量的系統(tǒng)，本文將b假定為標(biāo)量。式(20)的靈敏度動(dòng)力學(xué)可計(jì)算為

(21)

式中xb——靈敏度狀態(tài)向量，xb∈Rn

yb——輸出靈敏度

下標(biāo)b表示未知參數(shù)關(guān)于b的全導(dǎo)數(shù)，可以表達(dá)為

(22)

式(22)意味著控制輸入w與未知參數(shù)b無(wú)關(guān)。在反饋控制的情況下不成立，因?yàn)檩敵鲇糜诳刂戚斎胗?jì)算，所以w間接依賴(lài)于參數(shù)。因此，還必須考慮w相對(duì)于b的導(dǎo)數(shù)，并要求將鏈?zhǔn)揭?guī)則應(yīng)用于式(19)的第2項(xiàng)。隨系統(tǒng)方程增加的靈敏度動(dòng)力學(xué)為

(23)

魯棒反饋控制輸入wb是為了使系統(tǒng)靈敏度最小化，從而使系統(tǒng)更具魯棒性。對(duì)于式(23)的系統(tǒng)，轉(zhuǎn)換輸入的靈敏度vb計(jì)算式為

(24)

將鏈?zhǔn)揭?guī)則應(yīng)用于式(24)中的第2項(xiàng)，靈敏度變成

(25)

其中

(26)

下標(biāo)b遵循式(22)的約定。

因?yàn)樗桁`敏度為0，所以選擇vb為

(27)

選擇增益Kb1、Kb2、…、Kb3來(lái)穩(wěn)定靈敏度。與標(biāo)稱(chēng)系統(tǒng)一樣，理論上較高的增益會(huì)得到更好的跟蹤性能，但過(guò)高的增益會(huì)導(dǎo)致高頻振蕩或抖動(dòng)，特別是高階導(dǎo)數(shù)。魯棒反饋線性化控制系統(tǒng)的框圖如圖2所示。

圖2 一般控制非仿射系統(tǒng)的魯棒反饋線性化控制結(jié)構(gòu)Fig.2 Robust feedback linearization control structure for a general control non-affine system

4 基于魯棒反饋線性化的控制器設(shè)計(jì)

割臺(tái)高度控制由兩個(gè)單獨(dú)作用的液壓機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)，每個(gè)由兩個(gè)比例雙向提升閥控制。一個(gè)閥控制從高壓泵管路流入油缸的流量，而另一個(gè)閥控制流出油缸的流量。選擇HydraForce公司的SP16-20型閥和SP10-20型閥。從HydraForce官網(wǎng)獲得SP16-20型閥和SP10-20型閥性能流量曲線，并通過(guò)Matlab獲得性能流量為

q=a1i+a2iΔp+a3i2+a4i2Δp

(28)

其中，可以用n維數(shù)組表示控制電流i，m維數(shù)組表示壓差Δp，m×n維數(shù)組表示相應(yīng)的流量q。a1～a4的擬合值如表1所示。

表1 提升閥多項(xiàng)式方程常數(shù)Tab.1 Poppet valve polynomial equation constants

單作用液壓執(zhí)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為

(29)

式中X——活塞位置V——活塞速度

V0——活塞初始速度

β、As——系數(shù)p——活塞壓力

(30)

液壓系統(tǒng)的輸出是由液壓缸提供的力，計(jì)算式為

F=pAs

(31)

從液壓運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，建立割臺(tái)高度液壓系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

(32)

其中

(33)

(34)

將期望力和實(shí)際力之間的誤差最小化

(35)

根據(jù)式(35)和實(shí)驗(yàn)，選擇增益為：K1=105和K2=103。

為了調(diào)整輸入電流對(duì)不確定性的影響，使控制器更具魯棒性，計(jì)算了對(duì)不確定參數(shù)的靈敏度。選取不確定參數(shù)為液壓流體體積模量。為了計(jì)算靈敏度動(dòng)態(tài)，根據(jù)式(22)，將等式(33)中的系統(tǒng)與β區(qū)分開(kāi)來(lái)。為了使靈敏度最小，對(duì)增敏系統(tǒng)進(jìn)行反饋線性化。得到wb最簡(jiǎn)單的方法是對(duì)式(34)直接關(guān)于β微分，然后求解wb可得

(36)

根據(jù)式(36)設(shè)計(jì)穩(wěn)定靈敏度輸出。系統(tǒng)選擇的增益為：Kb1=4×106和Kb2=4×104。

5 實(shí)驗(yàn)

在Matlab的Simulink中建立了聯(lián)合收獲機(jī)割臺(tái)提升系統(tǒng)的閉環(huán)控制系統(tǒng)。如圖3所示，本文提出的魯棒反饋線性化(RFL)方法與集成魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)(IROD)方法相結(jié)合，設(shè)計(jì)聯(lián)合收獲機(jī)割臺(tái)高度自動(dòng)控制控制器。其目標(biāo)是聯(lián)合收獲機(jī)向前移動(dòng)時(shí)，提高收割臺(tái)對(duì)地形的跟蹤性能，同時(shí)優(yōu)化控制輸入，使其對(duì)不確定參數(shù)具有魯棒性。機(jī)械系統(tǒng)的控制器基于IROD方法。魯棒反饋線性化(RFL)系統(tǒng)框圖如圖4所示。

圖3 收獲機(jī)割臺(tái)高度控制的仿真系統(tǒng)框圖Fig.3 Block diagram of simulation system for header height control of harvester

圖4 RFL控制器仿真框圖Fig.4 RFL controller simulation block diagram

該系統(tǒng)包括文獻(xiàn)[16]中設(shè)計(jì)的集成魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)(IROD)控制器、本文設(shè)計(jì)的魯棒反饋線性化(RFL)控制器以及使用SimScape環(huán)境的液壓和機(jī)械設(shè)備模型，將其建模為振幅和頻率變化的正弦輸入，由于正弦頻率是車(chē)輛行駛速度和地形剖面的函數(shù)，因此將分別指定地形周期、長(zhǎng)度單位和車(chē)輛行駛速度。

為了測(cè)試設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)性能，將其與PID控制器進(jìn)行了比較。對(duì)于PID系統(tǒng)，IROD/RFL控制器都被一個(gè)單獨(dú)的PID控制器所代替，如圖5所示。增益使用Matlab控制設(shè)計(jì)工具箱進(jìn)行調(diào)整，工具箱自動(dòng)線性化對(duì)象，并基于標(biāo)準(zhǔn)階躍輸入選擇增益，以實(shí)現(xiàn)最佳參考跟蹤。然后，在與模擬測(cè)試相同的條件下，通過(guò)模擬手動(dòng)調(diào)整增益。最終確定為KP=1.3，KI=1.5，KD=0.5。在該應(yīng)用中，通常只使用PI控制器實(shí)現(xiàn)穩(wěn)健目的，但需在測(cè)試的基準(zhǔn)測(cè)試條件下為PID控制器提供最佳的參考跟蹤。

圖5 割臺(tái)高度PID系統(tǒng)控制框圖Fig.5 PID control structure system of header height

在相同條件下對(duì)PID和IROD/RFL控制器進(jìn)行了仿真。行駛速度為0～10 km/h、地形正弦振幅為0.5～1.0 m、地形周期為16～36 m，將仿真時(shí)間設(shè)為30 s。

圖6 IROD/RFL和PID控制器不同行駛速度和地形振幅下的割臺(tái)高度跟蹤最大誤差Fig.6 Maximum header height tracking error of IROD/RFL and PID controllers at various travel speeds and terrain amplitudes

由圖6可知，與PID控制器相比，使用IROD/RFL控制器的收割臺(tái)高度跟蹤明顯更好，表明IROD/RFL控制器的性能更好。在相同的地面條件下，IROD/RFL控制器在5.0 km/h時(shí)的性能優(yōu)于PID在2.0 km/h時(shí)的性能。

在圖7所示的割臺(tái)高度控制實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地上，地形振幅為0.3 m。實(shí)驗(yàn)采用某聯(lián)合收獲機(jī)，相關(guān)參數(shù)如表2所示。分別以2、4、8 km/h的速度在同一起伏路段上行進(jìn)20 m，每隔0.1 m對(duì)割臺(tái)高度和地面高度數(shù)據(jù)進(jìn)行采集。

圖7 割臺(tái)高度控制實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地Fig.7 Experimental site of header height control

實(shí)驗(yàn)調(diào)整割臺(tái)初始高度為0.2 m，設(shè)置控制的目標(biāo)高度為0.1 m。PID和IROD/RFL的控制器效果如圖8、9所示。

表2 某聯(lián)合收獲機(jī)割臺(tái)狀態(tài)參數(shù)Tab.2 Parameters of header at equilibrium

從圖8、9可得，隨著行駛速度的增大，PID和IROD/RFL的高度誤差也在增大，并且前者的誤差增加的幅度明顯大于后者。6組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)高度誤差的均方根如表3所示。由表3可知，同一行駛速度下，IROD/RFL控制的高度誤差小于PID控制時(shí)的高度誤差；并且，隨便行駛速度的增大，IROD/RFL控制的高度誤差變化也明顯小于PID的誤差。

圖8 PID控制系統(tǒng)高度誤差曲線Fig.8 Height error curve based on IROD/RFL

圖9 IROD/RFL控制系統(tǒng)高度誤差曲線Fig.9 Height error curves based on IROD/RFL control

表3 PID控制器和IROD/RFL控制器高度誤差均方根Tab.3 RMS of height error of PID and IROD/RFL

6 結(jié)論

(1)傳統(tǒng)的反饋線性化技術(shù)不適用于不可控的仿射系統(tǒng)。通過(guò)重新定義狀態(tài)和狀態(tài)方程，可將不可控的原始系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為擴(kuò)展的可控仿射系統(tǒng)。

(2)控制系統(tǒng)輸入依賴(lài)于系統(tǒng)參數(shù)的準(zhǔn)確度，使反饋線性化控制器魯棒性較差。增加系統(tǒng)的靈敏度動(dòng)力學(xué)和調(diào)整控制輸入可使反饋線性化控制器對(duì)選定的不確定參數(shù)具有更強(qiáng)的魯棒性。

(3)割臺(tái)高度調(diào)節(jié)反饋由集成魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)決定最優(yōu)控制力，利用魯棒反饋線性化控制液壓流量輸出，能夠有效提高系統(tǒng)的魯棒性。

(4)隨著行駛速度、地形振幅的增加，傳統(tǒng)PID控制和IROD/RFL控制下的割臺(tái)高度誤差均隨之增大；在相同仿真條件下IROD/RFL控制下的誤差均小于傳統(tǒng)PID控制下的誤差。在不同行駛速度下，IROD/RFL控制的高度誤差均小于PID控制的誤差，并且誤差受行駛速度增加的影響較小。本文提出的IROD/RFL的高度控制方法比基于傳統(tǒng)PID高度控制具有明顯的優(yōu)勢(shì)。