劉琬辰

（山東省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)院有限公司，山東 濟(jì)南 250031）

引言

路面在使用過程中出現(xiàn)的各種各樣的破壞問題中，開裂病害極具普遍性和嚴(yán)重性。由于裂縫尖端的特殊性，傳統(tǒng)強(qiáng)度理論回答不了此類問題 ，而斷裂力學(xué)提供了新的思路。與此同時(shí)，數(shù)值計(jì)算科學(xué)的發(fā)展填補(bǔ)了斷裂力學(xué)對于復(fù)雜問題無法獲得解析解的空白。兩者相輔相成，促進(jìn)了路面斷裂的分析研究。

1 理論發(fā)展

路面開裂研究的理論基礎(chǔ)是斷裂力學(xué)。從斷裂力學(xué)的確立到發(fā)展至今不到百年，基本可以歸納為三個(gè)階段：線彈性斷裂，疲勞斷裂，彈塑性斷裂［1］。20 世紀(jì)60 年代末、70 年代初斷裂力學(xué)被引入路面研究中。

1.1 線彈性斷裂

1.1.1 Griffith 理論和應(yīng)力強(qiáng)度因子

1921 年英國科學(xué)家Griffith 最先從探究玻璃的實(shí)際強(qiáng)度的原因出發(fā)，提出脆性材料的斷裂應(yīng)力與材料裂紋尺寸有關(guān)，并用應(yīng)變能釋放率來表征裂紋擴(kuò)展力。1957 年Irwin 針對具有含裂紋板，應(yīng)用彈性理論解得各點(diǎn)應(yīng)力分量，從表達(dá)式中提煉出與荷載和裂紋尺寸有關(guān)的的系數(shù)作為決定裂紋端部應(yīng)力場強(qiáng)度的參量，稱之應(yīng)力強(qiáng)度因子K。

1.1.2 路面工程領(lǐng)域的線彈性斷裂研究

20 世紀(jì)70 年代，Kauffman［2］將斷裂力學(xué)的概念引入到路面結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)思想中，并用線彈性斷裂理論預(yù)測路面開裂問題。隨后的80 年代，Monismith［3］等人用線彈性斷裂理論研究了基層反射裂縫裂縫問題，對加鋪層的應(yīng)力分布進(jìn)行分析。Abdulshafi［4］等人使用盤狀試件結(jié)合線彈性斷裂的概念研究了瀝青混合料的斷裂問題［12］。

國內(nèi)方面,周富杰［5］對舊水泥路面上瀝青層罩面反射裂紋進(jìn)行力學(xué)分析，認(rèn)為裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子KI，控制著裂紋初期的擴(kuò)展，KII控制著裂紋后期的擴(kuò)展。吳贛昌［6］對裂縫尖端的應(yīng)力強(qiáng)度及其與路面溫度分布和路面材料特性參數(shù)的關(guān)系進(jìn)行了數(shù)值分析。

1.2 疲勞斷裂

用什么參量來描述裂紋擴(kuò)展，裂紋擴(kuò)展的推動力是什么，這是疲勞裂紋擴(kuò)展規(guī)律研究中最關(guān)鍵的問題。斷裂力學(xué)是研究疲勞裂紋擴(kuò)展的一個(gè)有用工具和常用方法。

1.2.1 Paris 疲勞壽命預(yù)測

1962 年，Paris 提出一個(gè)為工程界廣泛采用的疲勞裂紋擴(kuò)展速率的半經(jīng)驗(yàn)公式：

式中:a—裂紋長度；N—荷載作用次數(shù)；C、n—材料常數(shù)；ΔK—應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值。成功地將應(yīng)力強(qiáng)度因子，裂紋長度，荷載作用次數(shù)聯(lián)系在一起。對公式積分可得到裂紋生長到指定長度時(shí)的壽命。

1.2.2 對Paris 公式的修正

Slowik 等人［7］結(jié)合混凝土的特性，提出在公式右邊增添一個(gè)加項(xiàng)F（a， σ），表征混凝土裂紋在突加荷載情況下的力學(xué)響應(yīng)，是與裂紋長度和突加荷載大小有關(guān)的函數(shù)。

Majidzadeh 等人［8］于1977 年將斷裂力學(xué)原理應(yīng)用于瀝青混合料，總結(jié)出可用于瀝青混合料的Paris裂縫擴(kuò)展的一般形式：

式中：A,B,C,D—材料斷裂參數(shù)。

隨后Schapery［9］對Paris 公式修正，描述黏彈性材料I 型裂縫擴(kuò)展過程，只是式中的C 和n 有另外求解形式。

Jacobs［10］在Schapery 的理論上額外考慮瀝青混合料的空隙和集料顆粒會影響裂紋擴(kuò)展，提出參數(shù)的修正公式。

1.3 彈塑性斷裂力學(xué)

材料在裂紋擴(kuò)展前，端部都將出現(xiàn)塑性區(qū)，塑性區(qū)尺寸很小時(shí)，可以近似看成線彈性斷裂問題。但當(dāng)外荷載較大時(shí)，塑性區(qū)尺寸急劇增長，此時(shí)就需要彈塑性斷裂理論加以研究。

1.3.1 J 積分

1968 年，針對彈塑性斷裂問題，Rice 提出即J積分理論，考慮對任意一個(gè)圍繞裂紋尖端的逆時(shí)針回路進(jìn)行積分，巧妙地繞過裂縫端部復(fù)雜的應(yīng)力應(yīng)變場而獲得彈塑性斷裂問題中的裂紋力學(xué)參量。

1.3.2 內(nèi)聚力模型

CZM（Cohesive Zone Model）是由Dugdale 和Barenblattt首先提出，自20 世紀(jì)70 年代起，CZM 被大量應(yīng)用于水泥混凝土研究中，并逐步引入瀝青混凝土領(lǐng)域。

CZM 將物理斷裂區(qū)域限定在內(nèi)聚力范圍內(nèi)，這個(gè)區(qū)域由兩個(gè)虛擬的面所包圍，界面上作用有內(nèi)聚力。界面上的內(nèi)聚力和界面的張開位移共同定義了內(nèi)聚力區(qū)域的本構(gòu)關(guān)系。對內(nèi)聚力—位移曲線下的面積通過積分，可得到內(nèi)聚力區(qū)域斷裂能的計(jì)算公式，表述了材料的內(nèi)聚關(guān)系。

國內(nèi)有關(guān)研究［11］利用修正參數(shù)后的雙線性CZM 模型，用數(shù)值模擬的方法，進(jìn)行瀝青混合料的劈裂試驗(yàn)，對比室內(nèi)SCB 試的結(jié)果，進(jìn)一步驗(yàn)證了雙線性模型模擬瀝青混凝土斷裂行為的有效性，同時(shí)分析了試驗(yàn)過程中試件的應(yīng)力分布和裂縫的形成與擴(kuò)展。

1.3.3 瀝青混合料的熱粘彈性斷裂

瀝青混合料是典型的流變材料，其力學(xué)響應(yīng)不僅依賴當(dāng)前應(yīng)力狀態(tài)和環(huán)境溫度，還與加載歷史（黏彈性）和溫變歷史（熱彈性）有關(guān)。

有關(guān)瀝青混合料的黏彈性的本構(gòu)模型經(jīng)歷了Maxwell 模 型、Kelvin 模 型、Burgers 模 型 和 廣 義Kelvin 模型的發(fā)展過程。再依據(jù)時(shí)溫等效性原理，可以將溫變因素對材料力學(xué)性質(zhì)的影響通過時(shí)間尺度來折算。

2 數(shù)值計(jì)算發(fā)展

2.1 有限元原理

有限元法是根據(jù)變分原理求解數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)值計(jì)算方法。將實(shí)體經(jīng)網(wǎng)格劃分離散化，針對單元選定位移模式，結(jié)合幾何方程、物理方程和平衡方程，再整合到整體，得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程。

式中： ［K］—整體剛度矩陣；｛F｝—荷載及邊界條件；｛δ｝—未知應(yīng)力。

在已知荷載作用條件下，考慮幾何邊界條件后，能夠解出所有節(jié)點(diǎn)應(yīng)力或位移（位移可以通過物理方程與應(yīng)力聯(lián)系）。

2.2 特殊單元

裂縫尖端奇異性決定了裂縫尖端附近采用的由參單元退化以后可得到奇異單元而非常規(guī)單元，該單元退化邊為裂縫前端，并將中間結(jié)點(diǎn)移至靠近裂縫尖端1/4 單元邊長時(shí)即可滿足裂縫尖端的奇異性。

在考慮路面面層受到汽車制動或啟動產(chǎn)生的水平力時(shí)，采用表面效應(yīng)單元可以將作用在其上的荷載轉(zhuǎn)化為均布荷載作用，從而模擬實(shí)際中路表面受到水平均布荷載的作用情況。

利用數(shù)值計(jì)算方法模擬路面結(jié)構(gòu)中的夾層，常常通過將夾層材料近似成具有一定厚度的彈性材料；或是采用薄膜單元和界面單元，分別表征夾層材料和層間接觸情況。兩種單元各自有相應(yīng)的剛度矩陣，形函數(shù)和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。

2.3 熱黏彈性斷裂的有限元計(jì)算

熱黏彈性本構(gòu)關(guān)系（采用時(shí)間增量型本構(gòu)關(guān)系）引入到對瀝青面層的描述中，一般考慮采用：

2.4 傳統(tǒng)裂紋擴(kuò)展過程的模擬

對傳統(tǒng)的裂紋擴(kuò)展，一般思路是借助有限元軟件對外荷載作用下的裂紋端部進(jìn)行應(yīng)力場分析，判斷失穩(wěn)擴(kuò)展條件：

式中：K*—混合型應(yīng)力強(qiáng)度因子；KIC—斷裂韌度，由試驗(yàn)測得；θ*—擴(kuò)展角，由方程解得：

沿該方向?qū)α芽p長度增加，Δα并再次計(jì)算裂紋的應(yīng)力場，依此思路逐步模擬裂紋擴(kuò)展過程［12-13］。其間需克服的困難是裂紋擴(kuò)展過程中的網(wǎng)格不連續(xù)問題。

2.5 擴(kuò)展有限元與廣義有限元

擴(kuò)展有限元與廣義有限元是近十年來處理裂縫問題的先進(jìn)技術(shù)。兩者的核心思想是一致的［14-15］，不同之處僅限于單元結(jié)點(diǎn)處自由度的物理涵義不同，所采用的數(shù)值積分技術(shù)也不同。在利用廣義有限元和擴(kuò)展有限元處理路面開裂問題時(shí)，兩者的差異并不會影響結(jié)果。

總體來說，GFEM 和XFEM 在模擬路面結(jié)構(gòu)裂縫問題方面的優(yōu)勢明顯：（1）網(wǎng)格劃分不依賴結(jié)構(gòu)體，極好地解決了裂縫區(qū)域的網(wǎng)格劃分問題。（2）智能化全程化地模擬擴(kuò)展路徑，包含了裂縫萌生和擴(kuò)展的全過程。

Hasan Ozer［16］以斷裂力學(xué)為基礎(chǔ)，以廣義有限元為手段，利用高次等效區(qū)域積分法對柔性路面裂縫的宏觀參量進(jìn)行計(jì)算，評價(jià)分析了路面模型中的60 種不同裂縫的應(yīng)力狀態(tài)和擴(kuò)展路徑。國內(nèi)有相關(guān)人士利用擴(kuò)展有限元分析了路面反射裂紋的斷裂問題［17］和路表面自上而下裂紋的二維擴(kuò)展［18］。

3 結(jié)語

基于斷裂力學(xué)的黏彈性力學(xué)方面的應(yīng)用研究工作主要集中在瀝青混合料的黏彈性及低溫抗裂指標(biāo)的實(shí)驗(yàn)研究及瀝青路面溫度應(yīng)力計(jì)算方面，應(yīng)用黏彈性斷裂力學(xué)理論與方法進(jìn)行理論分析方面的工作尚待擴(kuò)充。

到目前為止，基于斷裂力學(xué)的路面開裂縫問題的研究基本限于靜態(tài)加載或緩慢加載下的裂紋擴(kuò)展問題。對于重載比例擴(kuò)大化，涉及到與時(shí)間有關(guān)的裂紋快速起裂、擴(kuò)展或止裂問題等屬于動態(tài)斷裂力學(xué)范疇的研究將更加廣泛。