賈 磊，李云峰

(1.河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽 471039；2.商丘工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，河南 商丘 476000)

0 引 言

作為工業(yè)基礎(chǔ)件，滾動軸承被廣泛應(yīng)用于各類機(jī)械產(chǎn)品中。在有些場合，軸承的壽命決定了機(jī)械主機(jī)的壽命；有些場合軸承成為消耗件，主機(jī)需要定期更換新的軸承，軸承壽命的長短決定了每年的維護(hù)成本。

滾動軸承的壽命理論經(jīng)歷了長期的發(fā)展，其中經(jīng)典L-P壽命理論[1]被列入國際及國家標(biāo)準(zhǔn)，因其計算方法簡單而被廣泛應(yīng)用。其定義為90%可靠度下，軸承工作表面出現(xiàn)疲勞剝落之前完成的工作轉(zhuǎn)數(shù)。因此，軸承工作表面的疲勞剝落成為軸承領(lǐng)域關(guān)注的核心。

在線接觸類型軸承中，如圓柱滾子軸承、圓錐滾子軸承、滾針軸承等，軸承工作表面的接觸為滾子和滾道的有限長線性接觸。根據(jù)赫茲接觸理論[2]發(fā)現(xiàn)，線接觸的滾子邊緣會出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，導(dǎo)致邊緣剝落較快。隨后Lundberg[3]提出了對數(shù)曲線輪廓，可以使線接觸實體上的應(yīng)力均勻分布，有效解決了邊緣應(yīng)力集中問題，可以使?jié)L動軸承壽命提高數(shù)倍以上，被認(rèn)為是理想的滾子輪廓形狀。

然而，由于加工技術(shù)的限制，Lundberg對數(shù)理論提出后的很長一段時間內(nèi)，都無法加工出對數(shù)曲線輪廓的滾子[4-6]。因此，在其基礎(chǔ)上，后來又發(fā)展出多種修正線型輪廓滾子[7-8]，如輪廓是中間直線，兩端圓弧的修正線。隨著技術(shù)進(jìn)步，目前對數(shù)輪廓的加工初步得到實現(xiàn)，但尚不成熟。直至今日，絕大部分的線接觸滾動軸承仍使用的是修正線形輪廓滾子，僅相對少數(shù)使用對數(shù)曲線輪廓滾子。其中有很大一部分凸度的加工是采用砂輪多圓弧仿形磨削[9-12]。同時，軸承滾子凸度的檢測技術(shù)中，也采用曲線擬合方法對輪廓誤差進(jìn)行評定[13-14]。由于對數(shù)曲線的加工和測量相對較難，實際生產(chǎn)中更多的采用的是圓弧曲線。

在設(shè)計上容易給出對數(shù)曲線方程，但目前制造和檢測相對困難；同時，依靠多圓弧擬合方法進(jìn)行加工和檢測顯然又會存在誤差。

面對目前大部分軸承還沒有使用對數(shù)曲線的實際現(xiàn)狀，筆者借鑒曲線擬合方法，在設(shè)計源頭對軸承進(jìn)行圓弧輪廓的設(shè)計，使軸承設(shè)計、加工、檢測達(dá)到統(tǒng)一，從而保證軸承滾子的精密度和良好的質(zhì)量。

1 滾子輪廓修形方法

目前，對于線接觸的滾動軸承滾子表面輪廓的介紹已有很多，主要包括：直線不修形、全凸型、相交修正線型、相切修正線型及理想的Lundberg對數(shù)曲線。

不同滾動軸承滾子表面輪廓如圖1所示。

圖1 不同滾動軸承滾子表面輪廓

圖1(a)中，直線型會出現(xiàn)邊緣應(yīng)力集中的現(xiàn)象，因此是不可以應(yīng)用的類型。

圖1(e)中，Lundberg對數(shù)型是最理想的類型，但卻存在難以加工的問題。

其他類型各有特點。目前常用的是圖1(d)所示的中間直線兩端圓弧且圓弧和直線相切的修正線型。

雖然理想的對數(shù)型輪廓可以提高軸承壽命幾倍到幾十倍，但顯然任何非對數(shù)的修形都無法達(dá)到該效果。而修正線型只是一種折中的辦法。

相對應(yīng)的，滾動軸承滾子表面輪廓的修形方法如表1所示。

表1 滾動軸承滾子表面輪廓的修形方法

R0—圓弧半徑，mm；c—直線與圓弧相切或相交的交點坐標(biāo)，mm；Q—軸承中滾子最大受力，N；Lwe—滾子有效接觸長度，mm；E—接觸體彈性模量，MPa；ν—材料泊松比；y—修形值，mm

2 滾子輪廓修形圓弧擬合理論

鑒于以上情況，考慮到與對數(shù)輪廓的相似性，本研究提出一種雙圓弧曲線輪廓，兩段弧曲線輪廓如圖2所示。

圖2 兩段弧曲線輪廓

圖2中，滾子中部為R1圓弧，兩端邊緣為R2圓弧，形成兩段圓弧結(jié)構(gòu)。該輪廓和對數(shù)型輪廓有一定的相似度。加工上可以使用被修整為圓弧R1和R2的砂輪分兩次精磨，容易實現(xiàn)。

基于圓弧擬合理論，筆者擬在無限接近對數(shù)輪廓的情況下，求出兩段圓弧的最優(yōu)參數(shù)，從而完成相關(guān)的設(shè)計。相比較現(xiàn)行的修正線輪廓，該輪廓更接近最優(yōu)的對數(shù)曲線輪廓，而又比對數(shù)輪廓更易于加工實現(xiàn)。

首先，對于已知參數(shù)軸承，可寫出其對數(shù)曲線函數(shù)為：

(1)

圖2的兩段圓弧的坐標(biāo)方程為：

(2)

c為兩段圓弧的交點。如果定義R1圓弧段占滾子有效半長的m倍，那么c為：

(3)

用式(2)擬合式(1)，建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

(4)

由于R1在R2圓弧方程中是一個參數(shù)，要首先擬合R1圓弧段。

首先設(shè)置m值，給出兩段圓弧的交點c，然后在0≤x

f1=

(5)

式中：R1—未知數(shù)，對其進(jìn)行無約束最小值優(yōu)化。

優(yōu)化方法有很多，這里使用牛頓迭代法進(jìn)行運算。設(shè)置一定的收斂精度，并給予適當(dāng)初值，經(jīng)過簡單迭代即可得到最優(yōu)R1的值。

計算出R1后，進(jìn)行R2段圓弧的曲線擬合，建立目標(biāo)函數(shù)：

(6)

類似地，可使用牛頓迭代法進(jìn)行R2值求解。

通過以上步驟，可以得到在特定m值時，無限接近對數(shù)曲線的兩段圓弧曲線。而實際上該特定m值是否設(shè)置得合理，還需要作進(jìn)一步的迭代運算。

參照修正線型曲線的R0圓弧段一般占比不超過30%，所以可以認(rèn)為m值在0.5～0.9之間。那么就可以設(shè)置m值的范圍和步長，逐一進(jìn)行迭代計算(每一個m值均對應(yīng)一條無限接近對數(shù)曲線的圓弧曲線)，最后在結(jié)果中篩選出最接近的一條曲線，即為整個擬合過程的最優(yōu)解。

3 計算實例及分析

3.1 計算程序

筆者對以上步驟采用MATLAB編寫計算程序，其中，牛頓迭代法的收斂精度設(shè)置eps=1×10-10mm，R1和R2的初值均設(shè)置為1 000 mm。

為驗算程序的通用性，本文分別列舉3個不同長度滾子的案例。

其計算流程如圖3所示。

圖3 計算流程圖

3.2 計算案例1

滾子有效長度為Lwe=47 mm，其Lundberg對數(shù)方程為：

(7)

迭代過程不足1 s。

擬合后曲線如圖4所示。

圖4 案例1的擬合曲線

計算后得到的案例1最優(yōu)結(jié)果如表2所示。

表2 案例1最優(yōu)結(jié)果

3.3 計算案例2

滾子有效長度為Lwe=39 mm，其Lundberg對數(shù)方程為：

Y=-0.002 6ln[1-(2x/39)2]

(8)

案例2的擬合曲線如圖5所示。

圖5 案例2的擬合曲線

案例2的最優(yōu)結(jié)果如表3所示。

表3 案例2最優(yōu)結(jié)果

3.4 計算案例3

滾子有效長度為Lwe=30 mm，其Lundberg對數(shù)方程為：

(9)

案例3的擬合曲線如圖6所示。

圖6 案例3的擬合曲線

案例3的最優(yōu)結(jié)果如表4所示。

表4 案例3最優(yōu)結(jié)果

3.5 結(jié)果分析

從以上3個案例可以看到：

(1)不同滾子對應(yīng)的擬合圓弧在滾子長度上所占的比例m值不同，但基本都在0.85左右，與對數(shù)曲線在滾子末端極速下降相似。在m值這一點上，與現(xiàn)行設(shè)計方法還是有所不同。在現(xiàn)行設(shè)計方法中，不論滾子尺寸大小，m值均是定值；

(2)另外，兩條曲線的擬合度非常之高，差值f在10-5或10-6數(shù)量級以上。至于兩端圓弧交點處的尖點，在加工上只需要采取圓滑過渡的方法即可。

在設(shè)計上，上述擬合方法使?jié)L子輪廓非常接近對數(shù)曲線；

在加工過程中，也可以完全按照設(shè)計圖樣進(jìn)行仿形磨削，砂輪可以按照R1和R2進(jìn)行修整；

在檢測上，也可以完全對比圖樣進(jìn)行檢測。

由此可見，該方法在真正意義上實現(xiàn)了軸承滾子在設(shè)計、加工、檢測方面的統(tǒng)一。

4 結(jié)束語

本研究提出了一種新型兩段圓弧型軸承滾子凸度，以最優(yōu)Lundberg對數(shù)曲線為目標(biāo)，借助曲線擬合方法，依次對R1、R2、m值進(jìn)行多次迭代計算，最終得到了最優(yōu)的兩段圓弧曲線半徑值及最優(yōu)的占比值；不同滾子的擬合結(jié)果不同，所有的結(jié)果非常接近對數(shù)曲線，因此，該計算方法具有正確性和通用性。

該方法所得到的結(jié)果比現(xiàn)行設(shè)計方法中直線加圓弧的修正線型設(shè)計更為合理，同時又比對數(shù)曲線更容易加工，在工程應(yīng)用上實現(xiàn)了易加工、應(yīng)用好的效果。

另外，在后續(xù)的研究中，對于其中的迭代程序，則還需要開發(fā)出適合技術(shù)人員易于使用的簡單的交互界面。