南 頡，董玉成

(新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

數(shù)學(xué)發(fā)展到今天以其高度形式化而令人望而生畏，但正如《幾何原本》這一演繹體系是建立于“簡潔自明”的公理之上，我們始終不能忘記，從最簡單直觀的情形開始，利用類比歸納得到猜想一直是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和問題解決的最基本思想。

著名數(shù)學(xué)家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon marquis de Laplace)曾經(jīng)說過：“在數(shù)學(xué)中，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是類比和歸納?！鳖惐仁侵竿ㄟ^對兩類不同的特殊對象的比較，找出它們在某一方面的相似性，從而使這兩類對象的有關(guān)性質(zhì)、解題思路、推理方法等互相遷移，最后使問題明朗化，簡單化。而歸納法是通過對特例進行觀察與綜合以發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的過程，它最普遍的手段是特殊化和類比。歸納法通常以類比為基礎(chǔ)，并由此更進一步對一些特例加以檢驗，找出所觀察事物背后的規(guī)律性與統(tǒng)一性，最后揭示問題的本質(zhì)[1]。為了說明合情推理的重要性，喬治·波利亞(George Polya)專門撰寫了《mathematics and plausible reasoning》，在序言中他力陳，學(xué)生不僅要學(xué)習(xí)證明法，還要學(xué)習(xí)猜測法。華羅庚先生也曾指出，“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！?/p>

關(guān)于求自然數(shù)冪和，就是求冪數(shù)相同的自然數(shù)之和，它的發(fā)現(xiàn)可追溯到公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達哥拉斯(Pythagoras)也是通過利用形數(shù)的方法獲得了一次冪和[2]。而阿基米德(Archimedes)在他的《論劈錐曲面體和球體》一書中，通過一個引理推導(dǎo)出二次冪和的求解方法[3]。之后，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡克希(Al-karkhi)和阿爾·卡希(Al-Karshi)分別給出了三次冪和與四次冪和的求法[4]。之后，瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)在法國數(shù)學(xué)家帕斯卡(B. Pascal)的基礎(chǔ)上用不完全歸納法得到任意次冪的一般公式[5]。

在中學(xué)數(shù)學(xué)里，求解一、二、三次自然數(shù)冪和是學(xué)生經(jīng)常遇到的情形，大多數(shù)教材只會簡單地陳述這些公式，并通過歸納法證明它們。雖然歸納法是一個完全有效的程序，但它多少有點機械，使人對數(shù)學(xué)對象缺乏感覺，更難使人對一個最初遇見的公式產(chǎn)生見解。本文通過簡單、直觀方法利用類比與歸納的數(shù)學(xué)思想來幫助學(xué)生理解這樣一個歷久彌新的問題。用類比推理得出特例，以此為基礎(chǔ)，對特例進行觀察與綜合，歸納出自然數(shù)冪和的規(guī)律；然后檢驗規(guī)律，驗證結(jié)論的正確性；最后用代數(shù)方法對自然數(shù)冪和求出一般公式，讓學(xué)生體驗到從合情推理到論證推理的一般過程。

1 求解連續(xù)自然數(shù)的k次方和

面對Sk(n)=1k+2k+3k+…+nk這樣一個雙變量問題，我們該如何入手？自然，我們從最簡單形式開始。

1.1 從特殊個例開始，取k=1

S1(n)=1+2+…+(n-1)+m

(1)

將這些項重新反著寫

S1(n)=n+(n-1)+…2+1

(2)

將(1)式，(2)式對應(yīng)項相加，可得

2S1(n)=(n+1)+[(n-1)+2]+…+[2+(n-1)]+(1+n)

(3)

化簡得：

2S1(n)=(n+1)+(n-1)+…+(n-1)+(1+n)

(4)

當(dāng)然也可以利用形數(shù)的思想(即有形狀的數(shù)。畢達哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時，喜歡把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，小石子能夠擺成不同的幾何圖形，一些數(shù)學(xué)性質(zhì)就變得很明顯，于是就產(chǎn)生了一系列的形數(shù))[6]。

怎樣才能把所有正整數(shù)的和算出來呢？如圖1把相應(yīng)的數(shù)字用對應(yīng)的點：如一點對應(yīng)1，二點對應(yīng)2以此類推，排成三角形數(shù)。

圖1 三角形數(shù)

圖2 兩個三角形數(shù)拼成四邊形數(shù)

然后可以在三角形形數(shù)旁補一個倒立的三角形數(shù)，如圖2所示，每一行有n+1個點，總共有n行數(shù)字，用平行四邊形的面積公式來計算，圖形中共有n(n+1)個點，那么所得的數(shù)除以2即是S1(N)=1+2+3+…+n的結(jié)果。

1.2 個例無法發(fā)現(xiàn)有序的規(guī)律，繼續(xù)取特例

當(dāng)時，類比前面形數(shù)的方法(1代表個點)，我們可以想到12等于邊長為1的正方形的面積，以此類推，可以得到如下的圖形

圖3 S2(n)的幾何意義

圖4 S2(n)的補充圖形

圖5 S2(n)與S補(n)拼接而成的圖形S長方形

分析：圖3是我們所要求的S2(n)的幾何意義，用下列等式表示:

S2(n)=12+22+32+…+n2

(5)

圖4為S補，用代數(shù)表示：

S補=12+(1+2)×1+(1+2+3)×1+…+(1+2+3+…+n)×1

(6)

(7)

對(7)式變形，可得到自然數(shù)的一、二次冪和：

(8)

圖3和圖4進行拼接正好組成圖5S長方形這一規(guī)則圖形。由圖5可知：

(9)

S2(n)=S長方形-S補

(10)

將(8)和(9)代入(10)式，得：

(11)

在計算時，類比計算時所使用的幾何法來得到時的最終結(jié)果(從特殊到特殊)。

1.3 類比形數(shù)與面積法

當(dāng)時k=3， S3(n)=13+23+33+…+n3

(12)

可以類比前面兩個方法，將形數(shù)與面積法結(jié)合起來。

圖6 九個單位正方形的面積不同表示形式

分析:如圖6所示，(13+23)×1表示9個單位正方形的面積，它恰好等于邊長為1的正方形面積與邊長為2的正方形面積以及兩個長為2寬為1的長方形面積之和12+2(1×2)+22。

圖7 對S3(2)，S3(3)，S3(4)的幾何意義不同表示

由此可以做出合理猜測，然后通過歸納法證明該公式，參閱圖7(每一個方格都是單位面積為小正方形)的圖形可知：

(13+23)×1=12+2(1×2)+22=(1+2)2

[(13+23)+33]×1=(1+2)2+2[(1+2)×3]+32=(1+2+3)2

[(13+23+33)+43]×=(1+2+3)2+2[(1+2+3)×4]+42=(1+2+3+4)2

[(13+23+33+…+(n-1)3+n3]×1=(1+2+3+…+(n-1))2+2[(1+2+3+…+(n-1))×n]+n2

=(1+2+3+…+n)2用數(shù)學(xué)歸納法證明

(2)假設(shè)n=k時,等式也成立，則

當(dāng)n=k+1時，等式成立，因此猜想正確，命題得證。

(13)

1.4 歸納總結(jié)，做出猜想

當(dāng)k=4時，S4(n)=14+24+34+…+n4，此時結(jié)果如何？

分析：可以觀察k=1,k=2,k=3時的結(jié)果，來猜測時k=4，它的結(jié)果是怎么樣的。

于是我們總結(jié)k=1,k=2,k=3時的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)一個特征：等式兩邊是關(guān)于n得一元多項式，且等式右邊的最高次項的次數(shù)比左邊最高次項的次數(shù)多1，因此可以作出這樣一個假設(shè)：自然數(shù)k次冪和公式的一般形式是n的k+1次有理多項式，即Sk(n)=a0nk+1+a1nk+…+aknak+1，且ak+1=0(令n=0可得)。然后，令k=4，14+24+34+…+n4=a0n5+a1n4+a2n3+a3n2+a4n1，檢驗該假設(shè)。我們可以通過待定系數(shù)法求a0,a1,a2,a3,a4的值。為了方便，

當(dāng)時n=1時，14=15a0+14a1+13a2+12a3+11a4=1；

當(dāng)時n=2時，14+24=25a0+24a1+23a2+22a3+21a4=17；

當(dāng)時n=3時，14+24+34=35a0+34a3+33a2+32a3+31a4=98；

當(dāng)時n=4時，14+24+34+44=45a0+44a3+43a2+42a3+41a4=354；

當(dāng)時n=5時，14+24+34+44+54=55a0+54a3+53a2+52a3+51a4=979；

最終得到：

(14)

嚴(yán)格證明(14)式：

(3)當(dāng)n=k+1時，

2 用代數(shù)方法推導(dǎo)一般規(guī)律

自然數(shù)冪和公式既不是一個等差數(shù)列，也不是一個等比數(shù)列，但是觀察(12)式中的代數(shù)項，這里把它往后推一項，然后排列出來13+23+33+…+n3+(n+1)，接著抽取末尾兩項來分析，用后一項減去前一項，利用二項式定理的展開式，可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，往后可以得到下面的等式：

(n+1)3-n3=3n2+3n+1

n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1

33-23=3×22+3×2+1

23-13=3×12+3×1+1

平方和的推導(dǎo)利用立方公式，將以上個等式累加，左邊就可以消去中間項，右邊提取公因式合并，于是可以得到：

(n+1)3-13=3(12+22+…+n2)+3(1+2+…+n)+n

(15)

顯然對于一次冪(自然數(shù)求和)已經(jīng)解決，將(4)式代入(15)式，化簡就可以得到：

當(dāng)面對自然數(shù)列任意次冪和，如何將Sk(n)的一般公式求出來。因為自然數(shù)列k次冪方和是n的一元k+1次多項式，所以我們可以類比上述的方法：

(16)

原式可化簡為：

(17)

對(17)式右邊用求和符號表示：

(18)

當(dāng)m=1,2,…,n時，(18)式就可以表示為:

……

將以上n個式子相加，可得：

(19)

(20)

因此有 ：

(21)

這不僅僅驗證了“自然數(shù)列k次冪方和是n的k+1次有理多項式”，同時還給出自然數(shù)列任意次冪和的一般公式。

3 小結(jié)

綜上所述，先收集有關(guān)的觀察材料，即考察k=1,2,3三種情形，從特例類比特例，認(rèn)識到一些規(guī)律性，得出一個猜想Sk(n)=a0nk+1+a1nk+…+akn，顯然它在k=1,k=2,k=3是一個正確的結(jié)論。當(dāng)自然數(shù)冪和公式的求解從低次冪到高次冪時，我們猜測其正確性不會停止，這是一種歸納推斷。即從特例得到一般的規(guī)律，這說明歸納建立在類比的基礎(chǔ)上。然后用這個特例檢驗這個規(guī)律的正確性。但是列舉再多的特例，也不過是一個猜想，因為沒有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明它。但是我們可以從自然數(shù)冪和的求解過程中體驗類比與歸納的作用，以及在推理過程中所滲透的思想，最后用代數(shù)方法推出任意次冪求和的一般公式。