崔東文，包艷飛

(1.云南省文山州水務(wù)局，云南 文山 663000； 2.云南省水文水資源局曲靖分局，云南 曲靖 655000)

提高城市需水預(yù)測精度對城市建設(shè)規(guī)劃和供水系統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度等具有重要意義。目前需水預(yù)測方法主要有人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[1-5]、投影尋蹤回歸法[6]、馬爾可夫鏈模型法[7]、隨機森林法[8]、優(yōu)選GM(0,N)模型法[9]、組合模型法[10-11]等。生長模型作為趨勢外推法的一種重要方法，除用于描述和預(yù)測生物個體的生長發(fā)育以外，已在某些技術(shù)、經(jīng)濟特性等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[12]。常用的生長模型有Logistic模型、Richards模型、MMF模型、Hyperbola模型、Korf模型、Weibull模型、Gompertz模型、Usher模型等，已在人口預(yù)測[13]、林火預(yù)測[14]、地表沉降[15-17]、林分?jǐn)嗝娣e研究[18]、油氣田產(chǎn)量預(yù)測[19]、電能消費量預(yù)測[20]、徑流預(yù)測[21]等行業(yè)領(lǐng)域得到應(yīng)用，但在需水預(yù)測相關(guān)研究中應(yīng)用較少。研究表明，制約生長模型應(yīng)用的關(guān)鍵在于模型相關(guān)參數(shù)的合理確定，目前主要采用四點法、三段法、最小二乘法等進(jìn)行參數(shù)估算，不但求解復(fù)雜，且效率不高。雖然遺傳算法(GA)[22]、粒子群優(yōu)化(PSO)算法[20,23-24]、果蠅優(yōu)化算法(FOA)[25]、差分進(jìn)化(DE)算法[26]已嘗試用于Weibull模型、Gompertz模型、Richards模型、Usher模型參數(shù)的選取，具有較好的實際意義，但存在GA、PSO等傳統(tǒng)智能算法收斂速度慢和易陷入局部極值、僅針對單一生長模型參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化、所選用算法缺乏優(yōu)化性能評估等問題。

為拓展需水預(yù)測模型及方法，進(jìn)一步提高需水預(yù)測精度，本文選取Weibull、Richard、Usher 3種單一生長模型進(jìn)行組合，構(gòu)建Weibull-Richards-Usher、Weibull-Richards、Weibull-Usher、Richards-Usher 4種組合生長模型，提出基于人工生態(tài)系統(tǒng)優(yōu)化(artificial ecosystem-based optimization，AEO)算法[27]的組合生長需水預(yù)測模型，利用AEO算法同時優(yōu)化各組合生長模型參數(shù)和組合權(quán)重系數(shù)，構(gòu)建不同組合需水預(yù)測模型，以上海市需水預(yù)測為例進(jìn)行驗證，旨在驗證基于AEO算法的組合生長模型應(yīng)用于城市需水預(yù)測的可行性和有效性。

1 基于AEO算法的組合生長模型

1.1 AEO算法

AEO算法是Zhao等[27]于2019年通過模擬地球生態(tài)系統(tǒng)中能量流動而提出一種新型元啟發(fā)式優(yōu)化算法，該算法通過生產(chǎn)算子、消費算子和分解算子對生態(tài)系統(tǒng)中的生產(chǎn)、消費和分解行為進(jìn)行模擬來達(dá)到求解優(yōu)化問題的目的。生產(chǎn)算子旨在加強AEO算法勘探和開發(fā)之間的平衡能力；消費算子用于改進(jìn)AEO算法的探索能力；分解算子旨在提升AEO算法的開發(fā)性能。與傳統(tǒng)群智能算法相比，AEO算法不但實現(xiàn)簡單，除群體規(guī)模和最大迭代次數(shù)外，無需調(diào)整其他任何參數(shù)，且具有較好的尋優(yōu)精度和全局搜索能力。

AEO算法遵行以下3個準(zhǔn)則：①生態(tài)系統(tǒng)作為種群包括3種生物：生產(chǎn)者、消費者和分解者，且種群中分別只有一個個體作為生產(chǎn)者和分解者，其他個體作為消費者；②每個個體都具有相同的概率被選擇為食肉動物、食草動物或雜食動物；③群體中每個個體的能量水平通過適應(yīng)度值進(jìn)行評價，適應(yīng)度值按降序排序，適應(yīng)度值越大表示最小化問題的能量水平越高。參考文獻(xiàn)[27]，AEO算法數(shù)學(xué)描述簡述如下：

a. 生產(chǎn)者。生態(tài)系統(tǒng)中，生產(chǎn)者可以利用CO2、水和陽光以及分解者提供的營養(yǎng)來產(chǎn)生食物能量。在AEO算法中，種群中的生產(chǎn)者(最差個體)通過搜索空間上下限和分解者(最優(yōu)個體)進(jìn)行更新，更新后的個體將引導(dǎo)種群中的其他個體搜索不同的區(qū)域。模擬生產(chǎn)者行為的數(shù)學(xué)模型如下：

x1，t+1=[1-(1-t/T)r1]xn+(1-t/T)r1xrand，t

(1)

其中

xrand=r(U-L)+L

式中:x1為生產(chǎn)者個體空間位置；xn為當(dāng)前群體中最佳個體空間位置；n為種群規(guī)模；T為最大迭代次數(shù)；t為當(dāng)前迭代次數(shù)；xrand為搜索空間中隨機生成的個體空間位置；U、L分別為空間上、下限；r、r1為[0,1]之間的隨機數(shù)。

b. 消費者。生產(chǎn)者提供食物能量后，每個消費者均可隨機選擇能量水平較低的消費者或生產(chǎn)者或兩者兼有獲得食物能量。如果消費者被隨機選擇為食草動物，它只以生產(chǎn)者為食；如果消費者被隨機選擇為食肉動物，它只能隨機選擇能量水平較高的消費者為食；如果消費者被隨機選擇為雜食動物，它可以同時選擇能量水平較高的消費者和生產(chǎn)者為食。模擬食草動物、食肉動物、雜食動物消費行為的數(shù)學(xué)模型分別為

xi,t+1=xi,t+Cxi，t-x1，t(i=2,3,…,n)

(2)

(3)

(4)

其中C=0.5v1/|v2|v1～N(0,1)v2～N(0,1)

式中：xi為第i個消費者個體空間位置；C為具有l(wèi)evy飛行特性的消費因子；N(0,1)為呈正態(tài)分布、均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的概率密度函數(shù)；xj為具有較高能量水平的消費者和生產(chǎn)者；r2為[0,1]范圍內(nèi)的隨機數(shù)。

c. 分解者。就生態(tài)系統(tǒng)功能而言，分解是一個非常重要的過程，它為生產(chǎn)者提供必要的養(yǎng)分。為提高算法的開發(fā)性能，AEO算法允許每個個體的下一個位置圍繞最佳個體(分解者)傳播，并通過調(diào)節(jié)分解因子D和權(quán)重系數(shù)e、h來更新群體中第i個消費者的空間位置。其模擬分解行為的數(shù)學(xué)模型為

xi,t+1=xn,t+D(exn,t-hxi,t) (i=1,2,…,n)

(5)

其中D=3uu～N(0,1)

e=r3randi(1,2)-1h=2r3-1

式中r3為[0,1]之間的隨機數(shù)。

1.2 組合生長模型

a. Weibull模型。Weibull模型最早由瑞典工程師Waloddi Weibull于1951年提出并逐漸發(fā)展而來，目前已在油氣田產(chǎn)量[19]、地基沉降[22]、泥石流預(yù)警[28]、藥物溶出曲線評價[29]等領(lǐng)域得到應(yīng)用。Weibull模型表述形式多樣，本文利用式(6)所示函數(shù)模型進(jìn)行需水預(yù)測。

(6)

b. Richards模型。Richards模型是描述生物生長的非線性回歸方程，含有4個參數(shù)，目前已在碳排放量預(yù)測[30]、人口預(yù)測[13]、地表沉降[15]等領(lǐng)域得到應(yīng)用。Richards模型表述形式多樣，本文利用式(7)所示函數(shù)模型進(jìn)行需水預(yù)測。

(7)

式中：W′2為Richards模型需水預(yù)測值；a、b、co、d為待優(yōu)化參數(shù)。

c. Usher模型。Usher模型最早由美國學(xué)者Usher于1980年提出用于描述增長信息隨時間變化的數(shù)學(xué)模型，目前已在圍巖變形預(yù)測[21]、油田開發(fā)[31]、沉降預(yù)測[22,32]等領(lǐng)域得到應(yīng)用。Usher模型表述形式多樣，本文利用式(8)所示函數(shù)模型進(jìn)行需水預(yù)測。

(8)

式中：W′3為Usher模型需水預(yù)測值；A、B、Co、D為待優(yōu)化參數(shù)。

利用AEO算法對Weibull-Richards-Usher、Weibull-Richards、Weibull-Usher、Richards-Usher模型參數(shù)和權(quán)重系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到待優(yōu)化的4種組合生長模型：

W′W-R-U=ωWW′1+ωRW′2+(1-ωW-ωR)W′3

(9)

W′W-R=ωWW′1+(1-ωW)W′2

(10)

W′W-U=ωWW′1+(1-ωW)W′3

(11)

W′R-U=ωRW′2+(1-ωR)W′3

(12)

式中：W′W-R-U、W′W-R、W′W-U、W′R-U分別為Weibull-Richards-Usher、Weibull-Richards、Weibull-Usher、Richards-Usher組合生長模型需水預(yù)測值；ωW、ωR分別為Weibull、Richards模型權(quán)重系數(shù)。

1.3 仿真驗證

本文實例優(yōu)化維度有3維、9維、10維、20維、21維、31維和118維，為驗證AEO算法在不同維度條件下的尋優(yōu)能力，選取Sphere、Schwefel 2.22、Schwefel 1.2、Griewank、Rastrigin、Ackley 6個典型測試函數(shù)在5維、10維、20維30維和100維條件下對AEO算法進(jìn)行仿真驗證，并與當(dāng)前尋優(yōu)能力較好的WOA、GWO、TLBO算法和傳統(tǒng)PSO算法的仿真結(jié)果進(jìn)行比較。上述6個函數(shù)變量取值范圍分別為[-100,100]、[-10,10]、[-100,100]、[-600,600]、[-5.12,5.12]、[-32,32]，理論最優(yōu)解值均為0。其中，函數(shù)Sphere、Schwefel 2.22、Schwefel 1.2為單峰函數(shù)，主要用于測試算法的尋優(yōu)精度；函數(shù)Griewank、Rastrigin、Ackley為多峰函數(shù)，主要用于測試算法的全局搜索能力?；贛atlab 2018 a M語言實現(xiàn)5種算法對6個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)的20次尋優(yōu)，利用平均值對5種算法尋優(yōu)性能進(jìn)行評估，見表1。試驗參數(shù)設(shè)置如下：AEO、WOA、GWO、TLBO、PSO 5種算法最大迭代次數(shù)T=1 000，種群規(guī)模n=50。其中，WOA對數(shù)螺旋形狀常數(shù)b=2；TLBO算法參數(shù)TF為1～10之間隨機整數(shù)；PSO算法慣性權(quán)重wmax、wmin分別取值0.9和0.6，自我學(xué)習(xí)因子、社會學(xué)習(xí)因子c1、c2均取值2.0。其他參數(shù)采用各算法默認(rèn)值。

表1 函數(shù)優(yōu)化對比結(jié)果Table 1 Comparison results of function optimization

對于單峰函數(shù)Sphere，AEO算法在不同維度條件下20次尋優(yōu)均獲得理論最優(yōu)值0，尋優(yōu)精度優(yōu)于WOA、TLBO、GWO算法，遠(yuǎn)優(yōu)于PSO算法；對于具有明顯轉(zhuǎn)折點的非線性函數(shù)Schwefel 2.22，AEO算法在不同維度條件下尋優(yōu)精度較其他4種算法提高100個數(shù)量級以上，具有較好的尋優(yōu)精度；對于倒錐形非線性函數(shù)Schwefel 1.2，AEO算法在不同維度條件下20次尋優(yōu)均獲得理論最優(yōu)值0，尋優(yōu)精度優(yōu)于TLBO、GWO算法，遠(yuǎn)優(yōu)于WOA、PSO算法。對于上述單峰函數(shù)，AEO算法尋優(yōu)效果基本不受維變化的影響，而隨著維度的增加，WOA、TLBO、GWO、PSO算法尋優(yōu)精度下降顯著。

對于典型多峰多模態(tài)函數(shù)Griewank，AEO算法在不同維度條件下20次尋優(yōu)均獲得了理論最優(yōu)值0，低維條件下(5維、10維)尋優(yōu)精度遠(yuǎn)優(yōu)于WOA、TLBO、GWO和PSO算法。隨著維度的增加，TLBO、WOA算法尋優(yōu)精度不降反升；對于典型易陷入局部極值多峰函數(shù)Rastrigin，AEO算法20次尋優(yōu)獲得理論最優(yōu)值0，尋優(yōu)精度優(yōu)于10維、20維條件下的WOA和高維(30維和100維)條件下的GWO算法，遠(yuǎn)優(yōu)于不同維條件下的PSO算法和10維、20維、30維和100維條件下的TLBO算法；對于連續(xù)旋轉(zhuǎn)不可分多峰函數(shù)Ackley，AEO算法在不同維度條件下20次尋優(yōu)均獲得相對理論最優(yōu)值8.88×10-16，尋優(yōu)精度優(yōu)于WOA、TLBO、GWO算法，遠(yuǎn)優(yōu)于PSO算法。對于上述多峰函數(shù)，AEO算法尋優(yōu)效果不受維變化的影響。

可見，AEO算法在5維、10維、20維、30維和100維條件下對上述6個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)均獲得理想的尋優(yōu)效果，尋優(yōu)精度優(yōu)于WOA、TLBO、GWO算法，遠(yuǎn)優(yōu)于PSO算法，且尋優(yōu)精度基本不受維度變化的影響，具有較好的尋優(yōu)精度和全局搜索能力。

1.4 組合生長模型預(yù)測實現(xiàn)步驟

步驟1：選取需水預(yù)測影響因子，構(gòu)造上述4種需水預(yù)測組合生長模型的輸入、輸出向量，合理劃分訓(xùn)練樣本和預(yù)測樣本，利用式(13)對實例數(shù)據(jù)序列進(jìn)行歸一化處理；設(shè)定組合生長模型參數(shù)和權(quán)重系數(shù)搜尋范圍。

(13)

式中：z′為經(jīng)過歸一化處理的數(shù)據(jù)；z為原始數(shù)據(jù)；zmax和zmin分別為序列中的最大值和最小值。

步驟2：確定組合生長模型適應(yīng)度函數(shù)。本文選用訓(xùn)練樣本均方誤差作為適應(yīng)度函數(shù)，描述如下：

(14)

(15)

(16)

(17)

步驟3：設(shè)置AEO算法種群規(guī)模n、最大迭代次數(shù)T和算法終止條件；隨機初始化生態(tài)系統(tǒng)xi，計算適應(yīng)度值，保留當(dāng)前最佳個體空間位置xbest。令當(dāng)前迭代次數(shù)t=0。

步驟4：利用式(1)更新生產(chǎn)者空間位置。

步驟5：在[0,1]之間生成隨機數(shù)r，若r<1/3，利用式(2)更新消費者個體空間位置；若1/3≤r≤2/3，利用式(3)更新消費者個體空間位置；其他利用式(4)更新消費者個體空間位置。計算每個個體空間位置適應(yīng)度值，找到并保留當(dāng)前最佳個體空間位置xbest。

步驟6：利用式(5)更新分解過程中消費者個體空間位置，計算每個個體適應(yīng)度值，找到并保留當(dāng)前最佳個體空間位置xbest。

步驟7：比較并保存最佳個體空間位置，即算法最優(yōu)解xbest。

步驟8：令t=t+1。判斷算法是否達(dá)到終止條件，若是，輸出全局最優(yōu)解xbest，算法結(jié)束；否則重復(fù)步驟4～8。

步驟9：輸出最優(yōu)適應(yīng)度值及全局最優(yōu)位置xbest，xbest即為各組合生長模型參數(shù)和權(quán)重系數(shù)向量。將參數(shù)xbest代入各組合生長模型進(jìn)行需水預(yù)測。

2 實例應(yīng)用

2.1 數(shù)據(jù)來源

在充分考慮需水預(yù)測影響因子和指標(biāo)獲取難易程度的基礎(chǔ)上，依據(jù)2018年上海統(tǒng)計年鑒，以1980—2017年為時間系列，選取7個指標(biāo)作為上海市需水預(yù)測的影響因子：z1為第一產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值、z2為第二產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值、z3為第三產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值、z4為戶籍人口、z5為農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值、z6為工業(yè)總產(chǎn)、z7為建筑業(yè)總產(chǎn)值。利用SPSS軟件分析此7個影響因子與需水量的相關(guān)系數(shù)分別為0.984、0.906、0.798、0.940、0.988、0.890、0.830。利用1980—2009年統(tǒng)計數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，2010—2017年作為預(yù)測樣本。

2.2 參數(shù)設(shè)置

設(shè)置4種組合生長模型參數(shù)的搜索范圍為[0,10]，Weibull、Richards模型權(quán)重系數(shù)搜索范圍見式(14)～(17)；Weibull、Richards、Usher單一模型對應(yīng)的參數(shù)搜索范圍同組合模型；SVM模型懲罰因子P、核函數(shù)參數(shù)g、不敏感系數(shù)ε搜索范圍均為[2-5,25]，交叉驗證折數(shù)V=3；BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為7-13-1，隱含層和輸出層傳遞函數(shù)均分別采用logsig和purelin，訓(xùn)練函數(shù)采用trainlm，設(shè)定期望誤差為0.001,最大訓(xùn)練輪回為100次，搜索空間為[-1,1]。AEO算法參數(shù)設(shè)置同上；SVM、BP模型采用[0.1,0.9]對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理。

2.3 模型構(gòu)建及預(yù)測

分別構(gòu)建AEO-Weibull-Richards-Usher、AEO-Weibull-Richards、AEO-Weibull-Usher、AEO-Richards-Usher、AEO-Weibull、AEO-Richards、AEO-Usher、AEO-SVM、AEO-BP模型對實例需水量進(jìn)行訓(xùn)練及預(yù)測。選取平均相對誤差絕對值REM、平均絕對誤差A(yù)EM、最大相對誤差絕對值REMax和適應(yīng)度值minW作為評價指標(biāo)，利用此9種模型對實例需水進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果見表2，并給出9種模型不同系列長度的訓(xùn)練、預(yù)測階段的相對誤差和絕對誤差結(jié)果見圖1。

表2 需水預(yù)測各模型測結(jié)果Table 2 Test results of various models for water demand prediction

由表2及圖1可見，4種組合生長模型對實例訓(xùn)練樣本擬合的REM、AEM分別在1.56%～2.22%、0.26億～0.40億m3之間，擬合精度均優(yōu)于3種單一生長模型和AEO-SVM模型；對實例預(yù)測樣本的REM、AEM分別在0.94%～1.17%、0.30億～0.37億m3之間，尤以AEO-Weibull-Richards-Usher模型預(yù)測精度最高，其REM、AEM分別達(dá)到了0.94%和0.30億m3，4種組合生長模型預(yù)測精度均優(yōu)于AEO-Weibull、AEO-Richards、AEO-Usher、AEO-SVM、AEO-BP模型，具有較好的預(yù)測精度和泛化能力，表明Weibull、Richards、Usher模型間具有互補性，AEO算法能同時有效優(yōu)化各組合生長模型參數(shù)和權(quán)重系數(shù)，基于AEO算法的組合生長模型用于需水預(yù)測是可行和有效的。

(a) 相對誤差

(b) 絕對誤差圖1 9種模型不同系列長度的訓(xùn)練、預(yù)測階段的相對誤差和絕對誤差Fig.1 Relative error and absolute error results of training and prediction stages of 9 models with different series lengths

從各組合生長模型參數(shù)和權(quán)重系數(shù)優(yōu)化結(jié)果來看，對于AEO-Weibull-Richards-Usher模型，Usher權(quán)重系數(shù)為0.424 2，大于0.33，表明Usher占主導(dǎo)地位；對于AEO-Weibull-Richards模型，Weibull權(quán)重系數(shù)0.955 9，大于0.5，表明Weibull占絕對主導(dǎo)地位；對于AEO-Weibull-Usher模型，Usher權(quán)重系數(shù)0.679 3，大于0.5，表明Usher占主導(dǎo)地位；對于AEO-Richards-Usher模型，Usher權(quán)重系數(shù)0.836 1，大于0.5，表明Usher占主導(dǎo)地位。3種含有Usher的組合模型中，Usher模型均占主導(dǎo)地位，表明Usher模型對該實例具有較好的擬合-預(yù)測效果(從AEO-Usher模型的擬合、預(yù)測結(jié)果亦可看出)。

AEO-Weibull、AEO-Richards、AEO-Usher 3種單一生長模型的預(yù)測效果在伯仲之間，其對實例2010—2017年需水預(yù)測的REM、AEM分別在1.35%～1.42%、0.43億～0.45億m3之間，預(yù)測精度優(yōu)于AEO-SVM、AEO-BP模型，表明單一生長模型在需水預(yù)測中同樣具有較好的預(yù)測效果，其關(guān)鍵之處在于合理選取模型的相關(guān)參數(shù)。相對而言，AEO-Weibull模型擬合效果劣于AEO-Richards、AEO-Usher模型。

從AEO-SVM、AEO-BP模型擬合、預(yù)測結(jié)果來看，AEO-SVM模型擬合、預(yù)測精度均不佳，存在“欠擬合”現(xiàn)象；AEO-BP模型擬合精度較好，但預(yù)測效果較差，存在“過擬合”現(xiàn)象。經(jīng)筆者反復(fù)調(diào)試，AEO-SVM、AEO-BP模型均不能獲得較好的預(yù)測效果，原因在于輸入向量，即7個需水預(yù)測影響因子均隨時間呈逐年增加趨勢，影響因子間相關(guān)性較好，存在多重共線性問題。

本實例雖然采用AEO算法對BP、SVM模型關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，具有一定的智能化水平，但BP模型的隱層節(jié)點數(shù)、隱含層和輸出層傳遞函數(shù)、期望誤差等參數(shù)均需人為設(shè)定，在一定程度上影響了模型的預(yù)測精度；SVM模型的交叉驗證折數(shù)V需人為設(shè)定，V值過大或過小均會導(dǎo)致模型出現(xiàn)“過擬合”或“欠擬合”現(xiàn)象，從而影響AEO-SVM模型的預(yù)測效果。本文提出的AEO-Weibull-Richards-Usher、AEO-Weibull-Richards、AEO-Weibull-Usher、AEO-Richards-Usher組合生長模型所有參數(shù)和權(quán)重系數(shù)均由AEO算法優(yōu)化獲得，無須人為設(shè)定，具有較高的智能化水平和較好的實際應(yīng)用價值。

3 結(jié) 論

a. 在不同維度條件下，AEO算法尋優(yōu)精度優(yōu)于WOA、GWO、TLBO算法，遠(yuǎn)優(yōu)于PSO算法，具有較好的尋優(yōu)精度和全局搜索能力。

b. 4種組合生長模型的預(yù)測精度均優(yōu)于AEO-Weibull等5種模型，表明Weibull、Richards、Usher模型間具有互補性，AEO算法能同時有效優(yōu)化各組合生長模型參數(shù)和權(quán)重系數(shù)，基于AEO算法的組合生長模型用于需水預(yù)測是可行和有效的，組合生長模型具有較好的預(yù)測精度和泛化能力，模型及方法可為需水預(yù)測及其他相關(guān)預(yù)測研究提供新的途徑和方法。

c. 解決了各組合模型及Weibull、Richards、Usher單一生長模型參數(shù)選取困難的實際問題，各組合生長模型權(quán)重系數(shù)由AEO算法優(yōu)化獲得，無需人為計算或設(shè)定，具有較高的智能化水平和較好的實際應(yīng)用價值。