朱 明，陳劍云

（華東交通大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院，江西 南昌330013）

牽引網(wǎng)阻抗矩陣的計算實(shí)際上可以歸結(jié)為多導(dǎo)體傳輸線的阻抗計算， 考慮到在交流電的作用下，傳輸線和大地中出現(xiàn)集膚效應(yīng)，使得牽引網(wǎng)絡(luò)的電阻和電感成為電流頻率的函數(shù)[1]，也就是說，整個牽引網(wǎng)絡(luò)的阻抗是頻變的。 由于牽引網(wǎng)對諧波、行波、暫態(tài)信號分析的需要，我們必須將0～1 MHz 的阻抗特性曲線作為分析基礎(chǔ)，精準(zhǔn)描述牽引網(wǎng)阻抗頻率特性有助于準(zhǔn)確建立牽引網(wǎng)模型。 對于牽引網(wǎng)的阻抗數(shù)值及頻變特性的研究，不少學(xué)者做過相關(guān)工作。 文獻(xiàn)[2]分析了架空導(dǎo)線的電氣參數(shù)在頻變條件下對一些輸入數(shù)據(jù)的敏感性；文獻(xiàn)[3-4]充分考慮鋼軌鐵磁特性計算了某實(shí)際線路的頻變阻抗參數(shù)矩陣，在計算阻抗時都采用牽引網(wǎng)阻抗經(jīng)典算法。 該算法將牽引網(wǎng)視為傳輸線結(jié)構(gòu)并采用架空多導(dǎo)體傳輸線理論，阻抗矩陣計算包括導(dǎo)線間的電感（導(dǎo)線和大地均為理想導(dǎo)體）、導(dǎo)線內(nèi)阻抗、導(dǎo)線-地回路阻抗（大地為非良導(dǎo)體）三部分，其中導(dǎo)線內(nèi)阻抗以及導(dǎo)線-地回路阻抗（又稱大地阻抗）是一類非常復(fù)雜的電磁計算問題。經(jīng)典算法中內(nèi)阻抗采用實(shí)心圓導(dǎo)線模型[5-6]，大地阻抗采用Carson 級數(shù)法[7]，但經(jīng)典算法在工頻（50 Hz）附近應(yīng)用較廣，在高頻激勵下可能會出現(xiàn)誤差，如實(shí)心圓導(dǎo)線模型使用的Kelvin 函數(shù)計算較為復(fù)雜，高頻等大參數(shù)下直接利用其基本展開式結(jié)果會溢出，另外Carson 級數(shù)法在推導(dǎo)時初始條件使用了低頻近似，因而高頻激勵下結(jié)果準(zhǔn)確性有待商榷。

基于此，以多導(dǎo)體傳輸線理論為基礎(chǔ)，運(yùn)用雙曲余切及Kelvin 函數(shù)多項(xiàng)式展開近似內(nèi)阻抗和Sunde地阻抗公式， 得到了適合牽引網(wǎng)高頻阻抗計算公式。 并以滬寧線無錫東變電所東段供電臂為例， 通過Python 科學(xué)計算得到阻抗結(jié)果并分析討論牽引網(wǎng)阻抗在高頻激勵下的變化趨勢以及與架設(shè)高度、大地電導(dǎo)率間的關(guān)系。

1 牽引網(wǎng)高頻阻抗計算公式的基本原理

牽引網(wǎng)阻抗計算采用多導(dǎo)體傳輸線理論[8-10]，包括計算電感、內(nèi)阻抗和大地阻抗。 采用雙曲余切近似內(nèi)阻抗可以簡化內(nèi)阻抗的計算，Sunde 地阻抗公式使用了完整的大地傳播常數(shù)，不用忽略高頻位移電流。

設(shè)有n 根導(dǎo)體輸電線，當(dāng)多導(dǎo)體傳輸線中電流頻率一定時，沿輸電線路單位長度內(nèi)的壓降與導(dǎo)線電流之間存在由阻抗矩陣相聯(lián)系的關(guān)系[11]，即

1.1 內(nèi)阻抗的計算

導(dǎo)線內(nèi)阻抗表示導(dǎo)線的內(nèi)部損耗，是計算阻抗矩陣自阻抗部分的一個重要部分，需考慮集膚效應(yīng)的影響。 導(dǎo)線內(nèi)阻抗與頻率相關(guān)，對于規(guī)則的實(shí)心圓導(dǎo)線，其內(nèi)阻抗可直接采用計及實(shí)心圓導(dǎo)線模型，對于與牽引網(wǎng)中接觸線類似的形狀不規(guī)則的導(dǎo)線，可等效為和它具有相等截面積的圓導(dǎo)線。 最早提出圓導(dǎo)線模型內(nèi)阻抗方法的Schelkunoff 計及了集膚效應(yīng)而不考慮臨近效應(yīng)對半徑為r 的圓形導(dǎo)線，給出了表示其內(nèi)部阻抗頻率相關(guān)性的確切表達(dá)式

以上是實(shí)心圓導(dǎo)線法計算內(nèi)阻抗的最基本計算方法。 雖然當(dāng)前的計算機(jī)有強(qiáng)大的計算能力，通過編程語言可以直接計算Bessel 函數(shù)及Kelvin 函數(shù)。 然而當(dāng)出現(xiàn)高頻率、高磁導(dǎo)率以及大導(dǎo)線尺寸即過大時計算機(jī)并不能給出可靠結(jié)果[12-13]。 以Python 科學(xué)計算為例，使用special 庫中的Kelvin 函數(shù)ber 及bei 計算公式（8）的結(jié)果，當(dāng)頻率過高時，會有溢出報錯而導(dǎo)致結(jié)果為Nan；另外當(dāng)用該模型計算鋼軌的內(nèi)阻抗時，會因?yàn)槠浔旧淼拇艑?dǎo)率導(dǎo)致大參數(shù)而計算溢出。

由于雙曲余切函數(shù)的自身特性，當(dāng)過大時，逐漸減小并趨于1，故使用Kelvin 函數(shù)計算造成溢出的情況在該公式中不會出現(xiàn)。 計算表明當(dāng)|mr|=5 時阻抗的電阻部分（實(shí)部）產(chǎn)生最大誤差4%，當(dāng)|mr|=3.5 時電抗部分（虛部）產(chǎn)生最大誤差5%，遠(yuǎn)離這兩種情況時誤差很小。 因而，該近似公式的優(yōu)點(diǎn)是數(shù)字運(yùn)算量少且適用于大參數(shù)下的計算機(jī)運(yùn)算，給出了較為精確的內(nèi)阻抗近似值。

1.2 導(dǎo)線-大地回路阻抗的計算

可以看出與文獻(xiàn)[19]中的復(fù)深度法的對數(shù)表達(dá)形式相似，區(qū)別在于復(fù)深度法同樣使用了地傳播常數(shù)的低頻近似表達(dá)式。 針對Carson 公式隨著頻率增大出現(xiàn)奇點(diǎn)的缺點(diǎn)，在對數(shù)表達(dá)式中也被證明頻率趨向無窮大時結(jié)果是有限的，積分表達(dá)式被證明沒有出現(xiàn)奇點(diǎn)。 因而，在寬頻范圍內(nèi)尤其是高頻下使用Sunde 的對數(shù)近似式計算地阻抗更為準(zhǔn)確。

將式（10）（15）（16）帶入多導(dǎo)體傳輸線理論阻抗矩陣算法（3）（5）中，得到本文牽引網(wǎng)高頻阻抗矩陣計算公式

2 仿真與分析

利用上述方法參照滬寧無錫東變電所東段供電臂的復(fù)線牽引網(wǎng)架設(shè)方案計算分析牽引網(wǎng)高頻阻抗特性，探究環(huán)境參數(shù)對牽引網(wǎng)高頻阻抗的影響，通過Python 科學(xué)計算的Numpy 庫進(jìn)行矩陣計算及合并。其中各導(dǎo)線空間分布及牽引網(wǎng)導(dǎo)線的主要參數(shù)見表1[20]。

表1 牽引網(wǎng)導(dǎo)線架設(shè)及參數(shù)Tab.1 Wire erection and parameters of traction network

2.1 大地電導(dǎo)率對牽引網(wǎng)阻抗的影響

由于實(shí)際線路跨度較大，所經(jīng)區(qū)域不可能是單一地質(zhì)。 根據(jù)表2 選取4 種不同數(shù)量級的大地電導(dǎo)率進(jìn)行分析，以接觸線及鋼軌回路為例，圖1，2 反映了該回路的阻抗矩陣R，X 對大地電導(dǎo)率和頻率的依賴性。

圖1 自阻抗和大地電阻率的關(guān)系Fig.1 Relationship between self-impedance and earth resistivity

表2 大地電導(dǎo)率σg 簡表Tab.2 Earth conductivity σg

圖2 互阻抗和大地電導(dǎo)率的關(guān)系Fig.2 Relationship between mutual impedance and earth conductivity

從圖1，圖2 觀察到，自阻抗的電阻和電抗數(shù)值隨頻率增大而增大，當(dāng)頻率大于104 Hz 時數(shù)值上升幅度明顯提高。 同時，高頻下大地電導(dǎo)率導(dǎo)致的電阻和電抗數(shù)值的差異大于低頻，頻率越高差異越明顯。

2.2 架設(shè)高度對牽引網(wǎng)阻抗的影響

架設(shè)高架橋是用來解決鐵路跨越江河、峽谷或凍土等復(fù)雜地質(zhì)地帶的主要手段。在實(shí)際工程中，高架橋的標(biāo)準(zhǔn)高度為32 m，故在原模型的架設(shè)方案下整體高度分別增加10，20，30 m 進(jìn)行計算。 圖3，圖4 反映了接觸線及鋼軌回路的阻抗矩陣對導(dǎo)線高度和頻率的依賴性。

圖3 自阻抗和架設(shè)高度的關(guān)系Fig.3 Relationship between self-impedance and erection height

圖4 互阻抗和大地電導(dǎo)率的關(guān)系Fig.4 Relationship between mutual impedance and earth conductivity

從圖3，圖4 可看出以下特點(diǎn)，互阻抗的電阻和電抗數(shù)值隨頻率增大而增大，當(dāng)頻率大于104Hz 時數(shù)值上升幅度明顯提高。 同時，高頻下架設(shè)高度導(dǎo)致的電阻數(shù)值的差異大于低頻，頻率越高差異越明顯。

3 寬頻牽引網(wǎng)阻抗矩陣計算結(jié)果

利用公式（17）（18）以表1 的實(shí)際線路為算例在107Hz 范圍內(nèi)挑選工頻的10 倍頻率計算牽引網(wǎng)阻抗矩陣。 將復(fù)線牽引網(wǎng)絡(luò)的14 根導(dǎo)線采用逐根合法合并為6 根，最終簡化成六階的阻抗矩陣，合并規(guī)則為①1.接觸線（CW1）+2.承力索（MW1）；②3.正饋線（PF1）；③4.鋼軌1（RA1）+5.鋼軌2（RA2）+6.保護(hù)線（PW1）+7.綜合地線（E1）；④8.接觸線（CW2）+9.承力索（MW2）；⑤10.正饋線（PF2）；⑥11.鋼軌3（RA3）+12.鋼軌4（RA4）+13.保護(hù)線（PW2）+14.綜合地線（E2）。 該規(guī)則中①至⑥分別代表阻抗矩陣中的Z11至Z66。

表3 為50 Hz 頻率時牽引網(wǎng)阻抗矩結(jié)果。 以合并后接觸線的單位長度自阻抗及與正饋線的互阻抗為例，50 Hz 時分別為 （0.000 163+0.000 73i） Ω，（0.000 102+0.000 598） Ω；500 Hz 時分別為 （0.000 805+0.006 96i） Ω，（0.000 938+0.004 512） Ω；5 000 Hz 時 分 別 為 （0.006 608+0.051 54i） Ω，（0.008 466+0.0031 708） Ω；50 000 Hz 時分別為（0.052+0.425i） Ω，（0.068+0.198i） Ω；500 000 Hz 時分別為（1.717+32.819i） Ω，（2.116+7.373i） Ω。

表3 50 Hz 牽引網(wǎng)阻抗矩陣Tab.3 Partial frequency traction network impedance matrix

4 結(jié)論

在多導(dǎo)體傳輸線理論的基礎(chǔ)上運(yùn)用雙曲余切近似和Sunde 地阻抗計算法總結(jié)出針對牽引網(wǎng)高頻阻抗計算公式，解決了經(jīng)典算法在高頻時內(nèi)阻抗會溢出、地阻抗忽略了土壤位移電流的問題，結(jié)合Python 科學(xué)計算和作圖仿真，得出結(jié)論：

在低頻范圍內(nèi)，頻率變化對牽引網(wǎng)阻抗影響不大，高頻范圍內(nèi)尤其是頻率大于104 Hz，頻率增加阻抗值增長明顯；在模擬計算低頻或慢波瞬變時大地電導(dǎo)率和高度變化對阻抗的影響不大，可以在指定輸入值時不需要很高的精度，但如果在模擬高頻或快速瞬變的情況下，大地電導(dǎo)率和高度變化對阻抗值影響較大，需精確輸入?yún)?shù)。 設(shè)計過程中需要針對頻率高低分情況討論。