卓 穎， 安家禾， 張 斌， 朱 平， 趙 華

(湖南大學(xué) 風(fēng)工程與橋梁工程湖南省重點(diǎn)實驗室，湖南 長沙 410082)

0 引言

車輛超載會加速道路基礎(chǔ)設(shè)施的老化，尤其會顯著縮短橋梁的使用壽命[1-2]。在一些極端情況下，超載車輛的重量甚至可能超過橋梁的承載能力，直接導(dǎo)致橋梁倒塌。因此，治理車輛超載問題對保護(hù)和維護(hù)現(xiàn)代運(yùn)輸系統(tǒng)變得越來越重要。

為了獲取移動車輛的軸重信息，通常可采用靜態(tài)稱重和動態(tài)稱重(Weigh-In-Motion: WIM)這兩種技術(shù)。靜態(tài)稱重能夠精確獲得車輛軸重信息，但是經(jīng)濟(jì)和時間成本很高，并且會妨礙正常交通，因此是不切實際的。為了克服靜態(tài)稱重的限制，自20世紀(jì)60年代以來，基于WIM的路面稱重系統(tǒng)(Pavement Weigh-In-Motion: PWIM)發(fā)展了起來[3]。PWIM系統(tǒng)使用安裝在道路上的設(shè)備在正常交通條件下對公路車輛進(jìn)行稱重。

Moses于1979年首先提出了橋梁動態(tài)稱重(Bridge Weigh-In-Motion: BWIM)的概念。與PWIM系統(tǒng)不同，BWIM系統(tǒng)將一座橋作為稱重秤來計算車輛的重量。BWIM系統(tǒng)具有耐用、易安裝和維護(hù)、軸重識別精度高的優(yōu)點(diǎn)[4]。這些優(yōu)點(diǎn)使BWIM系統(tǒng)成為治理車輛超載問題一個有效工具。

橋梁動態(tài)稱重(BWIM)系統(tǒng)計算軸重的方法通?？煞譃閮纱箢悾活愂庆o態(tài)算法，主要計算移動車輛的靜態(tài)軸重，以Moses影響線算法為主要代表；另一類是動態(tài)算法，主要計算軸重的時程曲線，以移動荷載識別(Moving Force Identification: MFI)算法為代表。

Moses算法通過最小化實測橋梁響應(yīng)與理論橋梁響應(yīng)之間的差值來計算車輛軸重，而理論橋梁響應(yīng)是利用影響線計算出來的[4]。

Moses算法現(xiàn)已被用來建立現(xiàn)代商業(yè)BWIM系統(tǒng)基本框架。20世紀(jì)80年代，PETERS[5]在澳大利亞開發(fā)了Axway系統(tǒng)。后來，PETERS[6]開發(fā)了一種更有效的系統(tǒng)，稱為Culway，它使用一個涵洞作為稱重秤。之所以用涵洞而不是橋梁來進(jìn)行稱重，是因為車輛和涵洞之間相互作用所產(chǎn)生的動力效應(yīng)可以更快地被周圍的土壤所抑制。在歐洲，COST 323行動和WAVE(Weighing in Motion of Axles and Vehicles for Europe)項目在1990年代末實施[7-8]。這些項目極大地提高了BWIM技術(shù)的準(zhǔn)確性，并促使了著名商業(yè)BWIM系統(tǒng)——SiWIM系統(tǒng)的開發(fā)。SiWIM系統(tǒng)由ZAG[9]在2005年基于Moses理論所研發(fā)出來的。該系統(tǒng)采用一種修正的彎矩影響線，使得單軸和總軸重計算更為精確。該系統(tǒng)在板橋上的軸重計算結(jié)果精度是可以接受的。

MCNULTY[10]和O′BRIEN[10]在2003年提出只有標(biāo)定影響線盡可能地與實際一致，BWIM算法才能得到理想的精度。ZHAO[11]等在2015年提出了一個用于軸重識別的修正Moses算法，也證實了獲得與實際一致的標(biāo)定影響線對于BWIM系統(tǒng)的成功應(yīng)用十分重要。

LANSDELL A[12]等在2017年提出了一種考慮車輛以分勻速行駛的情況的算法，并運(yùn)用實橋試驗證實了該算法的有效性。

本文的研究主要基于Moses的影響線算法，針對其局限性，提出了適用范圍更廣的非勻速算法，并利用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，驗證了其有效性。

1 Moses影響線算法

Moses算法主要由兩部分組成。第一部分需要對測試橋梁進(jìn)行標(biāo)定試驗，用已知軸重和軸距信息的車輛去標(biāo)定橋梁，得到實際的橋梁影響線。第二部分是讓實際車輛在橋上行駛，獲得實測應(yīng)變數(shù)據(jù)，再用標(biāo)定試驗得到的計算影響線來進(jìn)行計算，從而獲得車輛的軸重和軸距信息。

1.1 影響線計算公式推導(dǎo)

當(dāng)車輛通過橋梁時，跨中的縱橋向總彎矩，可以表示成時間的函數(shù)，并且等于每根梁的彎矩之和。為了簡化起見，將整座橋視為一個整體，且每根梁具有相同的彈性模量E與截面模量Z。故橋梁某一截面的總彎矩Mk，在時間步k可以由式(1)表示。

(1)

在整個標(biāo)定期間，假定標(biāo)定車是勻速行駛。車速由布置在橋面板下的兩排FAD(Free of Axle Detector: FAD)傳感器所采集的數(shù)據(jù)得到。已知一輛標(biāo)定車的N個軸的軸重P1，P2，…，PN，當(dāng)車過橋時，在時間步k時，由車產(chǎn)生的跨中彎矩Mk即為：

(2)

(3)

(4)

基于最小二乘法，理論應(yīng)變與實測應(yīng)變的誤差函數(shù)可定義為：

(5)

為了使E最小，對E中IR項求偏導(dǎo)并令其偏導(dǎo)數(shù)為0，可得：

(6)

測量總時間步為K，則從時間步R=1到K，共可得到K-CN個方程，將這些方程聯(lián)立便可以解出各個位置的影響線豎標(biāo)值。

1.2 軸重計算公式推導(dǎo)

(7)

(8)

則對應(yīng)時刻的理論應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(9)

按照1.1小節(jié)的計算公式，可由標(biāo)定試驗數(shù)據(jù)計算出影響線矩陣[I]。由式(9)，時間步k從1到K有K個理論應(yīng)變：

(10)

其中,K是采集的應(yīng)變數(shù)目，式(10)可簡化為:

[εt]K×1=[IL]K×N[P]N×1

(11)

其中,[εt]是理論應(yīng)變的列向量；[IL]是影響線縱坐標(biāo)的矩陣；[P]是待求的軸重列向量。

參考式(5)，構(gòu)造應(yīng)變誤差函數(shù)，

(12)

將式(12)寫成矩陣形式，有:

(13)

將式(11)代入，對E中[P]求偏導(dǎo)并令其偏導(dǎo)數(shù)為0，可得:

(14)

從式(14)就可以求出各軸的軸重,將其求和便可得到總軸重GVW。

(15)

1.3 算法的局限性

盡管Moses理論在BWIM中已經(jīng)應(yīng)用得很廣泛，但是該算法仍然存在缺點(diǎn)。Moses算法中假定了車輛以勻速行駛，但車輛在實際行駛時，其車速可能會發(fā)生變化，速度變化也會引起軸重計算誤差。當(dāng)車速發(fā)生較大的變化時，Moses算法便不適用了。因此，引入非勻速算法就顯得很重要。

回顧Moses算法的計算流程，由式(3)可知Ci為與Di相應(yīng)的采集點(diǎn)數(shù)，且與車速相關(guān)。當(dāng)車輛以勻速行駛時，車輛位移隨著時間均勻變化，影響線可以分成相等的若干段，每一段的距離便是v/f，而Ci保持不變。而當(dāng)車速在不斷變化時，車輛位移與時間的關(guān)系發(fā)生了變化，影響線矩陣也需要重新進(jìn)行分段處理才能與車的位置對應(yīng)，Ci也會隨之變化。在軸重計算中，式(11)中的[IL]矩陣與車軸的位置有關(guān)，而軸距Di在該矩陣中是用Ci間接表示的。也就說，當(dāng)車速在不斷變化時，Di需要根據(jù)不同的車速換算成新的Ci然后才能構(gòu)建[IL]矩陣，使計算變得十分繁瑣。若Ci與影響線分段不變，而車速在變，則[IL]矩陣中的元素數(shù)值會與實際不一致，為軸重計算帶來誤差。

2 非勻速算法

非勻速算法的計算建立在Moses所提出的BWIM算法上，同樣是基于最小二乘法，通過使跨中理論應(yīng)變與實測應(yīng)變的誤差最小來求軸重。在非勻速算法中，不再需要假定車輛以勻速行駛。

2.1 影響線與軸重的計算

從車輛第一個軸上橋開始測量，到最后一個軸離橋停止測量，車輛行駛的總距離為X=L+DN(L為橋長)。以0.025 m為一個區(qū)間，可將X分為K=X/0.025個區(qū)間，各區(qū)間端點(diǎn)編號依次為0，1……K。

為了克服Moses算法在處理軸距時的缺陷，用距離分段代替時間分段，減少轉(zhuǎn)換步驟，為后續(xù)考慮變速情況提供便利。即將式(3)換成式(16)。

(16)

其中,Ci是與Di相對應(yīng)的分段數(shù)。

將式(16)代入式(6)，此時R表示車輛第一軸所在的區(qū)間端點(diǎn)號，同樣從端點(diǎn)1到K可以構(gòu)建K-CN個方程，聯(lián)立之后便可求得影響線豎標(biāo)值。

至于軸重計算，關(guān)鍵也在于Ci的變化。將式(16)代入式(8)～式(10)，再用最小二乘法使得理論應(yīng)變與實測應(yīng)變的差值平方和最小，即可求得車輛軸重。

該算法其實是用距離間隔代替時間間隔。在原始Moses算法中，由于儀器的采集頻率不變，因此時間間隔是恒定的。而在非勻速算法中，使距離間隔保持不變，然后根據(jù)車速和車輛行駛的距離算出時間。當(dāng)車速不變時，距離間隔與時間間隔都是恒定的，與原Moses算法等效。而當(dāng)車速改變時，距離間隔不變，時間間隔會變化。這樣處理可以在考慮車速變化時，減少計算步驟。除此之外更為重要的是，距離，速度與時間這三者的關(guān)系可以單獨(dú)定義，而不影響軸重計算中[IL]矩陣的構(gòu)建。

2.2 速度假定與軸距計算

Moses算法假定車輛以勻速行駛，其計算車速是通過先求出每一根軸經(jīng)過兩排FAD傳感器的平均速度，再將這些速度平均所得到。為了充分利用試驗數(shù)據(jù)，現(xiàn)引入新的速度計算方法。一輛N軸車，每一個軸經(jīng)過一排FAD傳感器都會產(chǎn)生一個信號，而在橋梁上裝有兩排FAD傳感器，所以一輛N軸車行駛一趟一共可以產(chǎn)生2N個信號。2N個信號就意味著有2N個時間點(diǎn)，2N-1段距離，那么便可以得到車輛在2N-1個區(qū)間的平均速度。本文假定車輛在這2N-1個區(qū)間內(nèi)分別以各個區(qū)間的平均速度行駛。除此之外還可以假定車輛以其他方式運(yùn)動，采用不同的假定會有不同的計算結(jié)果。本文僅討論車輛以分段勻速的方式行駛。

在實際的軸重計算中，移動車輛的軸距是未知的，需要利用傳感器的信號先對其進(jìn)行計算，這樣才能順利構(gòu)建軸重計算矩陣。

假定車輛的相鄰2個軸在通過兩排FAD傳感器時做勻加速運(yùn)動，前軸經(jīng)過2個FAD傳感器的時間分別記為t1，1，t2，1，對應(yīng)的車輛瞬時速度記為V1，V3；后軸經(jīng)過2個FAD傳感器的時間分別記為t1，2，t2，2，對應(yīng)的車輛瞬時速度記為V2，V4；2個車軸的距離記為D，2排傳感器之間的距離記為S。根據(jù)D與S的大小關(guān)系，可能出現(xiàn)2種情況，如圖1和圖2所示。

圖1 軸距計算圖(S>D)Figure 1 Wheelbase calculation (S>D)

圖2 軸距計算圖(D>S)Figure 2 Wheelbase calculation (D>S)

由圖1可知，當(dāng)S>D時，車輛后軸經(jīng)過第1排FAD傳感器時，前軸還未到達(dá)第2排傳感器，此時前軸與第2排FAD傳感器的距離為S-D；由圖2可知，當(dāng)D>S時，車輛前軸經(jīng)過第2排傳感器時，后軸還未到達(dá)第1排FAD傳感器，此時后軸距離第1排FAD傳感器的距離為D-S。

前軸在2排FAD傳感器之間的平均速度為:

(17)

Δt1=t2，1-t1，1

(18)

后軸在兩排FAD傳感器之間的平均速度為:

(19)

Δt2=t2，2-t1，2

(20)

由此，可以計算車輛的加速度a。

(21)

(22)

(23)

故可求出V1和V4:

(24)

(25)

由第1排FAD傳感器算出來的軸距D1為:

(26)

由第2排FAD傳感器算出來的軸距D2為:

(27)

相鄰兩軸的軸距D取D1和D2的平均值，

(28)

當(dāng)車輛做勻速運(yùn)動時，即加速度為0時，上述計算公式依然適用，且與原來的計算方法等價。

3 數(shù)值模擬

數(shù)值模擬不考慮車橋的振動及相互作用，僅考慮數(shù)值上的計算。計算橋梁為一跨長度為20 m的簡支梁，傳感器布置如圖3所示。應(yīng)變計始終位于橋梁跨中，用于采集橋梁跨中的應(yīng)變數(shù)據(jù)，在計算中為了減少轉(zhuǎn)換步驟，實際采用的是跨中彎矩，標(biāo)明應(yīng)變計主要是示意其位置。2排FAD傳感器之間距離為S，F(xiàn)AD與最近橋梁支點(diǎn)的距離為S1，F(xiàn)AD2與最近橋梁支點(diǎn)的距離為S2，且S1+S+S2=20 m。車輛行進(jìn)方向與x軸正方向一致。

圖3 傳感器布置圖Figure 3 Sensor layout

計算選用了3軸車和5軸車這2種車型，因為這兩者都同時具有單軸和組軸，比較具有代表性。車輛的軸距及軸重信息如表1所示。

表1 車輛軸距軸重信息Table 1 Vehicle wheelbase and axle load information軸數(shù)軸距/m軸重/kNA1-A2A2-A3A3-A4A4-A5總長A1A2A3A4A5總軸重34.00 1.25 ——5.25 60 120 125 ——305 54.30 1.35 11.20 1.30 18.15 50 70 70 80 80 350

數(shù)據(jù)采樣頻率f為512 Hz，利用MATLAB模擬車輛過橋過程來產(chǎn)生計算數(shù)據(jù)。計算所用的影響線為橋梁的理論影響線。

3.1 勻速運(yùn)動

在討論車輛做勻加速運(yùn)動前，首先要對計算數(shù)據(jù)段的選取做一個說明。一般來說，橋梁動態(tài)稱重試驗會布置2排FAD傳感器，用于檢測車軸位置和計算車速。所以車輛在這2排FAD傳感器之外的速度是未知的，也就是說車輛的運(yùn)動可以有無限種可能，因此傳感器區(qū)間之外的數(shù)據(jù)不宜用來進(jìn)行計算。計算所采用的數(shù)據(jù)區(qū)間，是從車輛第1軸到達(dá)FAD1開始，到車輛最后1軸離開FAD2為止。

車輛初始速度為10 m/s，從車輛第1軸到達(dá)FAD1開始加速，加速度分別取0.5、1.0、1.5、2.0 、2.5、3.0 m/s2。用2種方法進(jìn)行計算，第1種，假定車輛全程做勻速運(yùn)動，用Moses算法求解，用“全程勻速”表示；第2種，假定車輛做分段勻速運(yùn)動，用非勻速算法求解，用“分段勻速”表示。

3軸車的軸重計算結(jié)果如圖4～圖6所示。由圖可知，2種方法計算的單軸和組軸誤差都非常小，保持在1%以內(nèi)，但是單軸的誤差都較大，誤差最大時都超過了6%。

圖4 3軸車總軸重計算誤差折線圖Figure 4 The calculation error line chart of the gross vehicle weight of 3-axle vehicle

圖5 3軸車單軸重(A1)計算誤差折線圖Figure 5 The calculation error line chart of the single axle (A1) weight of 3-axle vehicle

圖6 3軸車組軸重(A2+A3)計算誤差折線圖Figure 6 The calculation error line chart of the group of axles (A2+A3) weight of 3-axle vehicle

5軸車的軸重計算結(jié)果如圖7～圖10所示。由圖可知，就總軸重而言，“全程勻速”的計算結(jié)果更好，其最大誤差比“分段勻速”的最大誤差小了近1%。對于單軸A1，“分段勻速”的計算結(jié)果明顯更好，其最大誤差基本在10%以內(nèi)，而“全程勻速”的最大誤差約20%，是“分段勻速”的2倍。對于A2和A3組成的組軸，2種方法的計算結(jié)果相近，兩者最大誤差均在2%以內(nèi)。對于A4和A5組成的組軸，“分段勻速”最大誤差約為2%，而“全程勻速”最大誤差約為4%，兩者有2%的差距。

圖7 5軸車總軸重計算誤差折線圖Figure 7 The calculation error line chart of the gross vehicle weight of 5-axle vehicle

圖8 5軸車單軸重(A1)計算誤差折線圖Figure 8 The calculation error line chart of the single axle (A1) weight of 5-axle vehicle

圖9 5軸車組軸重(A2+A3)計算誤差折線圖Figure 9 The calculation error line chart of the group of axles (A2+A3) weight of 5-axle vehicle

圖10 5軸車組軸重(A4+A5)計算誤差折線圖Figure 10 The calculation error line chart of the group of axles (A4+A5) weight of 5-axle vehicle

綜上，“分段勻速”在單軸和組軸的軸重計算上具有較高的精度，總軸重的計算精度略低，但也在可接受范圍之內(nèi)；“全程勻速”的總軸重計算精度很高，組軸精度略低，但也在可接受范圍之內(nèi)，而單軸的計算很不穩(wěn)定，可能出現(xiàn)較大的誤差。

3.2 隨機(jī)變速運(yùn)動

車輛在實際運(yùn)動中可能多次變速，為了模擬更為真實的車速情況，現(xiàn)在假設(shè)車輛以10 m/s的速度行駛，當(dāng)車輛第1軸到達(dá)FAD1時以隨機(jī)加速度a1做勻加速運(yùn)動，直到到達(dá)FAD2，然后再以隨機(jī)加速度a2做勻加速運(yùn)動，直到最后一軸經(jīng)過FAD2。加速度a1和a2由MATLAB的隨機(jī)函數(shù)生成，兩者均在0～3內(nèi)取值，單位為m/s2。車輛每行駛1趟，便重新生成一次加速度，共生成100趟。計算采用“全程勻速”和“分段勻速”2種方法來進(jìn)行對比。計算選用車型仍為3.1小節(jié)中的3軸車和5軸車，且每1種車型的計算原始數(shù)據(jù)均相同。

3軸車的計算結(jié)果匯總?cè)绫?所示，總軸重，單軸重和組軸重的誤差箱線圖如圖11～圖13所示。

表2 隨機(jī)變速3軸車軸重計算結(jié)果比較Table 2 Comparison of axle weight calculation results of 3-axle vehicle with random variable speed項目A1A2A3總軸重單軸組軸數(shù)量100100100100100100全程勻速均值3.16-17.5816.060.293.16-0.41標(biāo)準(zhǔn)差2.038.027.370.192.030.28分段勻速均值-3.41-0.601.29-0.38-3.410.36標(biāo)準(zhǔn)差2.202.972.680.232.200.28注: 均值與標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)為百分?jǐn)?shù)分子; “單軸”即為“A1”; “組軸”為“A2+A3”。

由表2所示，2種方法在總軸重，單軸A1和組軸上的計算精度非常接近，無明顯區(qū)別。但是組軸中的單軸A2和A3的計算精度有明顯差別，“全程勻速”的計算誤差非常大，誤差均值超過了15%，而且標(biāo)準(zhǔn)差也在一個較高水平，而“分段勻速”的誤差均值在1.5%以內(nèi)，標(biāo)準(zhǔn)差也很小。這說明“分段勻速”的軸重計算更為穩(wěn)定一些。

由圖11～圖13可知，2種方法在總軸重，單軸A1和組軸上的計算精度非常接近，無明顯區(qū)別，與表2中的數(shù)據(jù)一致。

圖11 隨機(jī)變速3軸車總軸重計算誤差箱線圖Figure 11 Calculation error boxplot of the gross vehicle weight of 3-axle vehicle with random variable speed

圖12 隨機(jī)變速3軸車單軸重(A1)計算誤差箱線圖Figure 12 Calculation error boxplot of the single axle (A1) weight of 3-axle vehicle with random variable speed

圖13 隨機(jī)變速3軸車組軸重計算誤差箱線圖Figure 13 Calculation error boxplot of the group of axles weight of 3-axle vehicle with random variable speed

5軸車的計算結(jié)果匯總?cè)绫?所示，總軸重、單軸重和組軸重的誤差箱線圖如圖14～圖16所示。

圖14 隨機(jī)變速5軸車總軸重計算誤差箱線圖Figure 14 Calculation error boxplot of the gross vehicle weight of 5-axle vehicle with random variable speed

圖15 隨機(jī)變速5軸車單軸重(A1)計算誤差箱線圖Figure 15 Calculation error boxplot of the single axle (A1) weight of 5-axle vehicle with random variable speed

圖16 隨機(jī)變速5軸車組軸重計算誤差箱線圖Figure 16 Calculation error boxplot of the group of axles weight of 5-axle vehicle with random variable speed

由表3所示，“全程勻速”在總軸重計算上有略微的優(yōu)勢。除總軸重這一項外，“全程勻速”的標(biāo)準(zhǔn)差均高于“分段勻速”，說明“分段勻速”的計算結(jié)果更穩(wěn)定。兩者的組軸計算結(jié)果相近，但是“分段勻速”的單軸計算精度要顯著高于“全程勻速”。

表3 隨機(jī)變速5軸車軸重計算結(jié)果比較Table 3 Comparison of axle weight calculation results of 5-axle vehicle with random variable speed項目A1A2A3A4A5總軸重單軸組軸數(shù)量100100100100100100100200全程勻速均值10.38-29.4430.98-55.0050.670.8010.38-0.70標(biāo)準(zhǔn)差6.2516.3317.1026.4724.410.566.251.67分段勻速均值-5.4225.43-26.91-36.5034.43-1.54-5.42-0.89標(biāo)準(zhǔn)差2.1112.9214.1815.4114.160.782.110.68注: 均值與標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)為百分?jǐn)?shù)分子; “單軸”即為“A1”; “組軸”為“A2+A3”和“A3+A4”。

由圖14～圖16可知，“全程勻速”的總軸重計算精度要比“分段勻速”略高，但兩者的總軸重誤差均小于3.0%，在可接受范圍內(nèi)。“分段勻速”的單軸重計算誤差基本可以控制在10%以內(nèi)，要顯著高于“全程勻速”。對于組軸重的計算精度，綜上，“全程勻速”的總軸重計算結(jié)果更好，而“分段勻速”的單軸計算結(jié)果更好，兩者的組軸計算結(jié)果相近。考慮到兩者的總軸重和組軸的計算精度相差不大，而“分段勻速”在單軸精度上具有明顯優(yōu)勢，因此可認(rèn)為在車輛以非勻速行駛時，非勻速算法要比原始Moses算法更好。

4 結(jié)論

a.Moses算法只考慮車輛以勻速行使的情況，當(dāng)車輛做非勻速運(yùn)動時，Moses算法難以將車速的變化考慮進(jìn)去，而非勻速算法可以有效解決這個問題。

b.數(shù)值模擬的計算結(jié)果表明，當(dāng)考慮車速變化時，非勻速算法的計算精度整體在一個較高的水平，尤其是在單軸計算上有顯著優(yōu)勢；Moses算法在總軸重計算上具有一定的優(yōu)勢，組軸精度在可接受范圍之內(nèi)，但是其單軸的精度很差，計算結(jié)果非常不穩(wěn)定。

c.在非勻速算法中，通過對FAD信號的合理處理，獲得了車輛在各個區(qū)間的平均速度，并假定車輛在各個區(qū)間以其平均速度行駛。數(shù)值模擬分析證實了該假設(shè)的有效性。