李建明, 丁 謙

(1.山西梅園永興煤業(yè)有限公司，山西 太原 030024; 2.太原科技大學 機械工程學院，山西 太原 030024)

0 引 言

起重機械是現代工業(yè)生產中用于大型物料搬運的重要設備。同樣在煤礦生產制造中也發(fā)揮著至關重要的作用。起重機工作時主梁承受著起升貨物帶來的交變載荷，隨著使用年限的增加，其金屬結構內部由于焊接及冶煉所造成的夾渣、氣孔等微小損傷將不斷積累，當損傷達到臨界值的瞬間，會發(fā)生疲勞失效，給人們帶來巨大傷害。因此，對起重機主梁進行疲勞可靠性分析具有重大意義。

在工程可靠性分析中常使用概率模型，這種隨機概率可靠性分析方法的發(fā)展已非常成熟，并且在機械金屬結構、橋梁、建筑等各個領域已經取得了一些成就。但概率模型也有一定的局限性，即需要知道變量的分布規(guī)律，然而在實際工程中有些不確定性變量的精確統計數據難以得到，在計算時往往都是通過經驗假設，簡化得到其分布函數，這可能使結果出現較大的誤差。為描述這些無法獲得分布規(guī)律的不確定性變量，出現了非概率可靠性分析方法。1994年Ben-Haim提出了基于凸集模型的非概率可靠性概念，隨后這一理論在結構可靠性分析中的應用得到了廣泛研究。針對某些只知道取值范圍的不確定變量，1995年基于區(qū)間模型的非概率可靠性分析方法又被Ben-Haim和Elishakoff提出，該方法將不確定性參數定義為區(qū)間變量，通過區(qū)間四則運算進行可靠性分析。由于無法獲知不確定參數的概率分布，楊淑偉等[9]等采用凸模型非概率方法對起重機臂架結構進行了可靠性分析。崔智勇等[10]基于微粒子群算法的區(qū)間模型的非概率可靠性分析方法計算了懸臂梁的可靠性指標。近年來，國內郭書祥[8]又提出了一種概率-非概率混合可靠性分析方法。目前，在起重機金屬結構疲勞可靠性分析中主要采用概率可靠性分析方法。例如：徐格寧等[4]將初始裂紋作為隨機變量應用概率的方法，對起重機焊接箱型梁疲勞壽命的可靠度進行了計算。史朝陽等[3]采用概率模型對橋式起重機主梁進行了疲勞可靠性分析。杜永恩等[5]采用基于區(qū)間非概率的方法計算了飛機機翼主梁螺栓孔的疲勞可靠性指標。

由于在起重機金屬結構的疲勞可靠性分析中，不僅存在著能用概率分布描述的隨機變量，還存在著難以用概率描述其分布類型的區(qū)間變量。鑒于此，筆者將概率和非概率分析理論相結合，并首次用于起重機主梁結構疲勞可靠性分析。即通過運用斷裂力學法對起重機箱型主梁疲勞剩余擴展壽命進行估算，將初始裂紋尺寸a0、應力幅σ以及材料參數m作為隨機變量，將臨界裂紋尺寸ac、材料參數C以及形狀參數F作為區(qū)間變量，根據Paris公式，建立概率—非概率疲勞可靠性分析的混合模型，并給出了求解疲勞混合概率可靠度的計算方法。經數值案例和起重機金屬結構的工程案例計算表明，與傳統的概率可靠性分析相比,這種分析方法更符合實際也更安全。

1 概率可靠性分析方法

可靠性分析的概率模型中，可靠度Pr可表示如下：

Pr=P(g(X)>0)

(1)

式中:P(.)表示概率;g(X)為功能函數，g(X)=0為極限狀態(tài)方程，設向量X={x1,x2,…,xm}為與結構失效相關的隨機變量，且相互獨立，m為變量個數。一般通過一階二次矩法或MonteCarlo方法求解。文中采用MonteCarlo方法求解。

2 基于區(qū)間分析的非概率可靠性

在區(qū)間分析的非概率可靠性模型中，設向量Y={y1,y2,…,yn}為與結構功能相關的區(qū)間變量集合，并且區(qū)間變量之間相互獨立。于是可得功能函數如下：

M=g(Y)=g(y1,y2,...yn)

(2)

(3)

用標準化區(qū)間變量表示變量yi，可得如下功能函數:

g(Y)=g(y1,y2,…yn)=G(δ1,δ2,…δn)

(4)

式中:(δ1,δ2,…,δn)是標準化區(qū)間變量，通過非概率可靠性優(yōu)化法，可得其下上限:

(5)

(6)

Mu,Ml分別為功能函數上下界，那么非概率可靠性指標可得：

(7)

3 概率-非概率混合可靠性分析

當影響結構功能的不確定性變量中，隨機變量和區(qū)間變量同時存在時，那么其功能函數可以表示為：

M=g(X,Y)=g(x1,...,xm,y1,...,yn)

(8)

其中，X={x1,...,xm}為隨機變量向量，Y={y1,...,yn}為區(qū)間變量向量。設向量X取常值，那么式中僅有區(qū)間變量，為非概率可靠性問題。當向量Y為常值時，式中僅有隨機變量，為概率可靠性問題。基于這一思想，首先將隨機變量X視為常值向量，應用非概率優(yōu)化法進行可靠性分析，那么非概率可靠性指標η為：

(9)

M(2)=η(X)-1=0

(10)

上式只存在隨機變量,可以通過概率可靠性分析方法求解。于是結構的可靠概率可表示為：

Pr=P(M(2)>0)=P(η(X)-1>0)

(11)

此時不可靠失效概率為：

Pf=1-P(η(X)-1>0)

(12)

4 基于斷裂力學理論疲勞壽命估算及其參數的分析

4.1 疲勞擴展速率da/dN

根據斷裂力學理論可以得到疲勞裂紋擴展速率da/dN與應力強度因子幅值ΔK之間的關系，如圖1所示，可分為3個階段。

圖1 雙對數曲線

第Ⅰ階段:這一階段ΔK≤ΔKth，此時的應力強度因子幅值ΔK小于裂紋擴展門檻值ΔKth，疲勞裂紋不會發(fā)生擴展，稱為裂紋不擴展階段。

第Ⅱ階段：這一階段ΔKth<ΔK≤ΔKc，ΔKc裂紋擴展臨界值，此時為裂紋穩(wěn)定擴展階段。這一階段是疲勞壽命主要組成部分。文中采用Paris[2,4]公式來表示裂紋擴展率如下:

(13)

式中：a是裂紋長度;N是應力循環(huán)次數;da/dN是裂紋擴展速率;C,m是與材料、構件形狀等有關的系數;ΔK是應力強度因子幅值，表示如下：

(14)

式中：F是修正系數;σ是應力幅值。

第Ⅲ階段：這一階段ΔK>ΔKc臨界值，是裂紋迅速擴展階段，稱之為失穩(wěn)擴展。這一階段壽命很短，計算時根據實際情況可以不予考慮。

4.2 起重機主梁疲勞擴展壽命模型

起重機箱型主梁由于生產制造、材料缺陷以及焊接缺陷等原因，主梁金屬結構內部存在許多的疲勞源，從而使得起重機箱型主梁的形成壽命較短，有時甚至沒有萌生壽命。所以，起重機箱型主梁的疲勞壽命主要取決于穩(wěn)定擴展階段，由于Paris公式形式簡單，應用廣泛，最關鍵是它對第Ⅱ階段的適用性較好，因此本文采用Paris公式來表示起機箱型主梁的裂紋擴展率。將公式(14)代入式(13),通過積分后可得起重機主梁的疲勞壽命N,如下式：

(15)

4.3 確定主梁疲勞危險位置

通過疲勞試驗和起重機實際檢測數據，得出發(fā)生疲勞斷裂的兩個位置:一是腹板-下蓋板縱向受拉翼緣連續(xù)貼角焊縫上;二是橫隔板-腹板連接焊縫底部的焊趾處。

4.4 影響裂紋擴展速率的不確定性參數的選取

起重機金屬結構的幾何參數和材料屬性等參數會受到生產制造、工作環(huán)境以及測量誤差等的影響，所以這些參數是具有不確定性的，從而使疲勞分析結果出現較大的差異。因此，要全面考慮參數的不確定性。下面將對影響起重機箱型主梁疲勞壽命參數進行分析與取值。

Paris公式中的裂紋擴展參數C，m與材料屬性和構件的幾何形狀有關，可通過疲勞試驗得到，許多學者對此進行了研究[2,4]。由工作環(huán)境、生產制造以及測量誤差等的影響，C和m應當是不確定性參數。對于起重機焊接箱型梁，文中取C的均值uc=2.61×10-13，變異系數δc=0.1～0.3之間，從最不利角度出發(fā)，取δc=0.3[7]，則可得區(qū)間變量C=[1.827,3.393]×10-13。根據文獻[3]，m服從正態(tài)分布，并可取m～N(3,0.032)。

由于起重機箱型主梁生產完成時就會因為材料缺陷、焊接缺陷等因素就已經形成初始裂紋，因此，a0選為常數不合理。根據文獻[3]文中擬將a0取為服從對數正態(tài)分布的隨機變量lga0～N(0.5,0.52)。根據疲勞試驗數據,起重機結構裂紋臨界長度ac值范圍在80～120 mm[2,4,6]，文中取其為區(qū)間變量ac∈[80,120]mm。

形狀參數F，是疲勞裂紋尺寸與板寬等的函數，取值通常跟板寬、應力集中等因素的作用有關，無法用統一的公式來表示，屬于一個不確定性參數。根據文獻[7]將形狀參數取為區(qū)間變量F=[0.95,1.05]。

5 橋式起重機箱型主梁混合可靠性分析模型

以起重機箱型主梁疲勞壽命安全余量作為功能函數，得極限狀態(tài)方程如下:

M=N-ND≥0

(16)

式中:M為功能函數;N為應力循環(huán)次數，可通過式(15)獲得;ND為設計壽命。

根據上節(jié)對影響起重機箱型主梁疲勞壽命的不確定性參數的分析，可知，功能函數中既存在隨機變量a0、σ、m，又存在區(qū)間變量C、F、ac，因此功能函數可表示為如下混合不確定性形式：

M=g(a0,σ,m,CI,FI,acI)=0

(17)

通過文中第3節(jié)所述的混合可靠性分析方法即可求解。

6 工程應用

文中通過文獻[1]的算例來對36TU型集裝箱門式起重機主梁進行概率-非概率混合可靠性分析?；赑aris公式的疲勞估算，其相應的各不確定參數a0、σ、m，C、F、ac的取值如上所述。

載荷通過現場實測,以周(7天)為單位統計載荷數據,再應用雨流計數法得到載荷譜,最后通過有限元分析得到危險點的應力譜。根據應力幅σi與最大應力幅值σmax的比值分為8級。相應的應力幅值和其頻率如表1所列。圖2是各級應力幅出現的概率圖。

表1 一周內主梁危險點處的應力幅譜

圖2 各級應力幅出現的概率

由圖2所示的概率圖可見應力幅可能服從正態(tài)分布，為此基于Matlab軟件對表中的數據進行正態(tài)判別與擬合，得出σ～N(71.4445，25.73932)。應用本文的混合可靠性分析方法對該門機主梁進行疲勞可靠性分析。

同樣將區(qū)間變量根據上述方法假設為隨機變量，可以得到：

C～N(2.61×10-13,(2.61×10-14)2)

F～N(1,(1.67×10-2)2)

ac～N(100,6.672)

在通過概率可靠性方法求解，將混合可靠性和概率可靠性分析計算出的可靠度結果列于表2。

表2 36TU門機可靠性分析結果

為了便于對36TU門機不同可靠性模型分析結果的比較，將表4的可靠度結果列于圖3。

圖3 36TU門機主梁可靠度變化曲線

從圖3可以發(fā)現混合疲勞可靠性分析模型得出可靠度小于概率模型，這說明當影響疲勞壽命的不確定性參數沒有確切的分布規(guī)律時，采用隨機變量進行處理來進行疲勞可靠性分析，忽略了真實數據的分散性，而使所得結果產生一定的差異。而用區(qū)間變量對參數的不確定性進行定量化比用隨機變量來描述更精確。因此混合可靠性方法考慮到的影響疲勞失效因素更全面，更符合實際，也更能保障起重機的安全使用。

7 結 論

(1) 針對起重機金屬結構的不確定性變量既存在隨機變量又存在區(qū)間變量的問題, 首次提出用概率—非概率混合可靠性分析方法對起重機疲勞進行分析，根據Paris公式構建了疲勞壽命安全余量混合可靠性分析模型，并利用本文所述概率—非概率混合可靠性分析方法對橋式起重機箱形主梁進行了疲勞可靠性分析。

(2) 這種疲勞混合可靠性模型,根據結構疲勞失效準則建立一級功能方程, 在其中的隨機變量取其實現值的條件下, 進行非概率可靠性分析;再根據非概率可靠度指標大于1結構可靠的這一理論建立了二級功能方程,并進行隨機可靠性分析。通過實例驗證與傳統的概率可靠性分析相比,這種分析方法更復合實際也更安全。

(3) 通過文中分析為起重機疲勞可靠性分析提供了一條新的思路，可以看出，混合可靠性分析方法在起重機金屬結構疲勞可靠性分析中有比較好的適用性。但是目前這種混合可靠性分析方法還不太成熟，可以通過對這種混合可靠性方法進行改進后再與起重機金屬結構相結合做進一步的研究。