福建 鄭行軍

(作者單位：福建省福鼎市第一中學(xué))

中學(xué)物理的三維問題是指物體運動過程的軌跡、位移、速度、電場強度等描述參量不以一維或二維坐標(biāo)呈現(xiàn)，而是以三維空間的形式設(shè)置物理情境。立體空間建構(gòu)的主要目的是通過轉(zhuǎn)化或降維展開平面實現(xiàn)物理三維視圖的直觀可視處理，使物理問題能在低維度情況下進行觀察、想象和分析。從知識結(jié)構(gòu)來看，三維物理問題具有明顯的數(shù)理融合特征，既要掌握物理模型相關(guān)必備知識，又要靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)方法進行轉(zhuǎn)化處理；從考查能力看，主要考查學(xué)生空間想象能力和圖像轉(zhuǎn)化、處理能力，即應(yīng)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力。因此三維物理問題的分析，對學(xué)生掌握數(shù)理融合的處理方法、拓展學(xué)生的思維能力、構(gòu)建知識方法結(jié)構(gòu)體系均有積極的意義。

一、三維軌跡問題試題編制與分析策略

1.三維軌跡模型

物體發(fā)生較為復(fù)雜的曲線運動時，一維或二維坐標(biāo)無法完整描述軌跡信息，需要以三維空間的形式給予呈現(xiàn)，進而出現(xiàn)三維軌跡模型。必備知識一般涉及運動參量的降維分析或關(guān)聯(lián)運動矢量的合成與分解。

2.三維軌跡模型的分析策略

軌跡模型的降維目的是呈現(xiàn)物體運動過程的真實路徑，便于觀察和分析運動規(guī)律和運動參量的幾何關(guān)系，因此平面轉(zhuǎn)化視角應(yīng)基于軌跡的直觀可視化描述，適當(dāng)選擇軌跡面的三視圖或三維面展開圖，若涉及復(fù)雜曲線運動的分解則需要做出兩個分運動軌跡面的三視圖。

【例1】如圖1所示，一個驚險的轉(zhuǎn)盤飛刀表演節(jié)目：一個勇敢者身體固定在快速旋轉(zhuǎn)的豎直轉(zhuǎn)盤上，另一個飛刀表演者不斷地向轉(zhuǎn)盤拋出飛刀。假設(shè)當(dāng)轉(zhuǎn)盤上勇敢者剛好處于水平位置時，飛刀沿著與豎直轉(zhuǎn)盤平面夾角為θ方向水平拋出，速度大小為v。已知拋出位置在轉(zhuǎn)盤平面的垂直中軸線上且離轉(zhuǎn)盤中心距離為L，

圖1

圖2

圖3

聯(lián)立得d=2 cm

【點評】小刀在空中運動軌跡與轉(zhuǎn)盤運動結(jié)合產(chǎn)生三維的軌跡模型，因此要真實反映出小刀和轉(zhuǎn)盤運動的運動參量關(guān)系，需進行降維轉(zhuǎn)化，畫出水平軌跡面和豎直軌跡面的平面視圖，利用水平軌跡面找出水平位移和盤中心距離L的關(guān)系，利用豎直軌跡面確定盤面轉(zhuǎn)過的角度、小刀擊中的位置和豎直位移，通過豎直軌跡面呈現(xiàn)參量的幾何關(guān)系，求出小刀與勇敢者的最近距離。本題分析過程軌跡的降維轉(zhuǎn)化是至關(guān)重要的環(huán)節(jié)，它決定了運動參量能否直觀的呈現(xiàn)，為后繼運算研究提供便利參考。

【例2】如圖4所示，圓臺的上、下底面半徑分別為r1=5 cm、r2=10 cm，母線AB長l=20 cm，一只小蟲(可視為質(zhì)點)從圓臺母線AB的中點M以恒定的速率v=5 cm/s繞圓臺側(cè)面運動到B點(B在下底面)，求：

圖4

(1)小蟲在圓臺側(cè)面運動的最短時間；

(2)在滿足(1)條件下，上底圓周上的點與小蟲的最短距離？

【解析】(1)畫出圓臺的側(cè)面展開圖(圖5)，將曲面轉(zhuǎn)換為平面并還原成圓錐展開的扇形，且設(shè)扇形的圓心為O。

圖5

由圖得小蟲運動的最短軌跡是直線段MB′，設(shè)OA=R，圓心角是θ，則由題意知，

由幾何關(guān)系得OM=30 cm，OB′=40 cm，△OMB′為直角三角形，根據(jù)勾股定理可得MB′=50 cm

上底圓周上的點與小蟲的最短距離是4 cm。

【點評】小蟲沿圓臺側(cè)面不同的路徑到達(dá)B點時間不同，曲面軌跡不好分析，可將圓臺側(cè)面沿母線展開轉(zhuǎn)換成平面圖，建構(gòu)出直觀的小蟲運動平面軌跡，由軌跡圖判斷出直線段MB′最小，可求出最短時間，本題解題的關(guān)鍵在于會將曲面軌跡轉(zhuǎn)為平面軌跡從而降低思考難度，綜合圓臺的幾何性質(zhì)構(gòu)設(shè)相關(guān)幾何變量的方程組而得解。

二、隱含性軌跡問題試題編制與分析策略

1.隱含性軌跡模型

在設(shè)計物理情境時對能反映物體運動特征的顯性軌跡進行適當(dāng)隱藏，或展示對分析過程無關(guān)緊要或有一定視覺障礙的軌跡視圖。學(xué)生做題時需要在題設(shè)給予視圖條件下進行合理的視圖轉(zhuǎn)換從而描繪出便于問題研究的有效圖示，進而解決問題。

2.隱含性軌跡的分析策略

顯性軌跡的隱藏或展示障礙性軌跡視圖問題，需要根據(jù)條件或在原有展示視圖的基礎(chǔ)上，進行規(guī)范化視圖描繪或轉(zhuǎn)化，標(biāo)準(zhǔn)要依據(jù)題設(shè)要求而定，若關(guān)注軌跡則應(yīng)轉(zhuǎn)化成能真實反映軌跡路徑的平面視圖，若需反映物理量間的幾何關(guān)系和運算則應(yīng)轉(zhuǎn)換成以物理量標(biāo)準(zhǔn)化展示為主，便于分析和研究的二維視圖。

【例3】乒乓發(fā)球機的簡化模型示意圖如圖6所示，發(fā)球機的機頭相當(dāng)于一個長l=20 cm的空心圓柱(內(nèi)徑比乒乓球的直徑略大)，水平固定在球臺邊緣O點上方H=45 cm處，可繞C軸在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，從而改變球的落點。球臺長為L=3 m位于球臺中央的球網(wǎng)高h(yuǎn)=25 cm，出球口離盛球容器底部的高度H0=50 cm，不考慮乒乓球的旋轉(zhuǎn)、空氣阻力和發(fā)球機軌道對球的阻力，已知重力加速度g取10 m/s2。

圖6

(1)若發(fā)球機的機頭不轉(zhuǎn)動，且出球點在O點正上方，當(dāng)發(fā)球機發(fā)出的球能過網(wǎng)且落在球臺上，求發(fā)球機出球的速度大小范圍；

(2)若發(fā)球機機頭以ω=5 rad/s在水平方向發(fā)生順時針(俯視)勻速轉(zhuǎn)動，且出球時乒乓球相對機頭的速度為9 m/s。求球點轉(zhuǎn)到O點正上方時所發(fā)出球的最后落點位置，以O(shè)點為坐標(biāo)原點，球臺面中軸線為x軸在球臺水平面建立直角坐標(biāo)系，結(jié)果用xOy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值表示？

故發(fā)球機出球的速度大小范圍為7.5 m/s≤v≤10 m/s

(2)發(fā)球機機頭在水平方向發(fā)生順時針(俯視)勻速轉(zhuǎn)動，則乒乓球會在水平方向產(chǎn)生軌跡，畫出水平面俯視圖(圖7)，由圖得機頭轉(zhuǎn)動的線速度為v3=ωl=5×0.2=1 m/s

圖7

球出后做平拋運動，在xOy坐標(biāo)系中，縱坐標(biāo)為y=v3t2=0.3 m，橫坐標(biāo)為x=v4t2=2.7 m，最后落點位置P坐標(biāo)為(2.7 m，0.3 m)。

【點評】題目條件只給予了乒乓球沿中軸線做平拋運動的軌跡，在第(2)小題中對乒乓球水平方向的運動軌跡進行隱含，需要根據(jù)題目條件及平拋軌跡的特征描繪出乒乓球在水平方向兩個分運動的運動情況，由高度求出平拋運動的時間，將小球出來時的速度沿x和y方向分解，結(jié)合兩個分速度求出兩個分位移，確定球落點的位置坐標(biāo)。

三、三維運動關(guān)聯(lián)問題試題編制與分析策略

1.三維運動關(guān)聯(lián)模型

系統(tǒng)內(nèi)物體間發(fā)生相對運動時，運動參量(如位移、速度或加速度等)不共線或不共面，而在三維空間中形成相互關(guān)聯(lián)模型。問題往往涉及相對運動(如相對速度)分析與運算。

2.三維運動關(guān)聯(lián)問題的分析策略

三維運動關(guān)聯(lián)模型主要研究運動參量之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，重點聚焦相對運動的變化規(guī)律，因此思考方向應(yīng)以運動參量(如位移、速度、加速度)的二維展示為目的，對題目條件的三維圖像進行平面轉(zhuǎn)換，以直觀呈現(xiàn)便于分析運算的參量關(guān)聯(lián)關(guān)系，結(jié)合三維結(jié)構(gòu)體的幾何特征求解。

【例4】如圖8所示，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，正方形邊長為L，點E在棱AA1上，BE⊥EB1。質(zhì)點a以速度v沿直線軌跡從C1點向E點勻速運動同時，質(zhì)點b以速度v沿側(cè)面ABB1A1從B點向E點勻速運動，求：

圖8

(1)以質(zhì)點a為參考系，質(zhì)點b的速度大??；

(2)若質(zhì)點a、b恰好在E點相遇，兩質(zhì)點運動的時間？

【解析】(1)由正方體幾何關(guān)系得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，故B1C1⊥BE，又BE⊥EB1，故BE⊥平面EB1C1，BE⊥EC1，由條件可知質(zhì)點a、b速度方向互相垂直。

圖9

圖10

四、三維位置關(guān)聯(lián)問題試題編制與分析策略

1.三維位置關(guān)聯(lián)模型

研究位置不共線或不共面，其承載于空間幾何體上，呈現(xiàn)出三維的立體分布，試題一般結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征和物理參量的空間分布規(guī)律進行編制和設(shè)計，物體的位置分布或運動路徑與幾何體的結(jié)構(gòu)有一定的契合性。

2.三維位置關(guān)聯(lián)模型的分析策略

位置在三維空間分布有一定復(fù)雜性，采用三視圖平面轉(zhuǎn)化有時無法直觀呈現(xiàn)位置分布的幾何關(guān)系，需要根據(jù)位置承載的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，恰當(dāng)添加截面圖展示幾何體的對稱性，并與物理量分布規(guī)律有效結(jié)合，將三維問題轉(zhuǎn)化為二維問題求解。

【例5】如圖11所示，ABCD為一正四面體，A點固定一個電荷量為+Q的點電荷，B點固定一個電荷量為-Q的點電荷，E點為BC邊的中點(圖中未畫出)，以無窮遠(yuǎn)處電勢為零。則下列說法中正確的是

圖11

( )

A.C、D兩點的電場強度相同

B.將一正電荷從C點移到E點，其電勢能增加

C.將一點電荷沿直線從D點移到C點，電場力始終不做功

D.若在C點固定一電量為-Q的點電荷，則E點的電場強度指向A點

【解析】等量異種電荷的電場線分布情況如圖12所示；

圖12

如圖13所示，過AB中點F做輔助線FC和FD，由正四面體的幾何結(jié)構(gòu)特征可知，AB⊥平面FCD，平面FCD為側(cè)棱AB的中垂面，CD恰好在側(cè)棱AB的中垂面上，結(jié)合由電場線的空間分布可知C、D兩點的電場強度相同，A選項正確；E點靠近點電荷-Q，結(jié)合電場線空間分布，從C點到E點電勢降低，將正電荷從C點移到E點，電場力做正功，其電勢能減??；B選項錯誤；C、D兩點的連線上的任意一點到A和B的距離相等，所以CD均在同一等勢面上，則移動點電荷時電場力始終不做功，C選項正確；C點固定-Q的點電荷，則B、C兩點電荷在E點的場強相互抵消，由電場強度的疊加原理和場強方向特征可知E點的電場強度方向由A點指向E點，D選項錯誤。

圖13

【點評】本題場源位置和研究位置分布在正四面體上，幾何關(guān)系不直觀，需要構(gòu)造正四面體的截面圖(過CD做側(cè)棱AB的中垂面)將三維位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為二維問題，結(jié)合正四體結(jié)構(gòu)的對稱性和等量異種電荷電場線的分布規(guī)律綜合分析。

五、三維動力學(xué)問題試題編制與分析策略

1.三維動力學(xué)模型

物體處于靜止或運動過程受到多個不共線或不共面的作用力而產(chǎn)生三維力學(xué)圖示，物體圖像展示可能為平面也可能為三維立體圖像，模型主要聚集力學(xué)問題研究。

2.三維動力學(xué)模型的分析策略

三維動力學(xué)模型的降維目的是直觀、規(guī)范呈現(xiàn)物體受力關(guān)系，便于觀察和分析力的作用關(guān)系，利用圖解法(如平行四邊形定則、三角形定則)或解析法(如正交分解法)求解未知力學(xué)量。降維策略主要依據(jù)三視圖平面轉(zhuǎn)化將三維視圖轉(zhuǎn)換為幾個標(biāo)準(zhǔn)的二維視圖，平面轉(zhuǎn)化視角應(yīng)基于受力的直觀可視化描述，具體分為以下幾種類型：

(1)水平面的三維視圖→正視圖

(2)豎直面的三維視圖→俯視圖

(3)斜面的三維視圖→側(cè)視圖

(4)若某一平面內(nèi)受不共線的多個力作用→該平面的正視圖

【例6】如圖14所示，重為8 N的物塊靜止在傾角為30°的斜面上，若用平行于斜面且沿水平方向、大小為3 N的力F推物塊時，物塊剛好被推動。現(xiàn)施加平行于斜面的力F0推物塊，使物塊在斜面上做勻速運動，此時斜面體與物塊間的摩擦力大小為Ff。設(shè)最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，斜面始終保持靜止，則

圖14

( )

A.F0可能為0.5 N B.F0可能為5 N

C.Ff可能為3 N D.Ff可能為9 N

圖15

圖16

當(dāng)推力F改為平行斜面的力F0作用時，斜面對滑塊的最大靜摩擦力Ffm=μFN仍為5 N，做出斜面的正俯視圖如圖17，依據(jù)平衡條件三個力始終可以構(gòu)成三力首尾相接的閉合三角形，設(shè)靜摩擦力達(dá)到最大值，根據(jù)三邊關(guān)系得Ffm-F1≤F0≤Ffm+F1，即1 N≤F0≤9 N，BC選項正確。

圖17

【點評】本題考查了共點力的平衡條件，難點在于物體受到的力不在同一個平面內(nèi)，力的幾何關(guān)系無法直觀呈現(xiàn)，需要根據(jù)三維圖示的特點分解成側(cè)視圖和斜面的正俯視圖兩個平面視圖進行綜合分析，在側(cè)視圖中將重力沿斜面和垂直斜面分解為兩個分力，在斜面俯視圖中利用力的矢量合成原理求出最大靜摩擦力；施加平行于斜面的力F0推物塊，F(xiàn)0方向可沿平行斜面任意變化，但與摩擦力和重力沿斜面的分力三個力仍然處于平衡狀態(tài)，根據(jù)三力平衡條件的動態(tài)變化關(guān)系即可求出F0的可能取值。

六、結(jié)語