福建 黃紅武 郭 威

(作者單位：福建省南平市浦城第二中學福建省南平市第九中學)

力的平衡作為高中重要的知識模塊，對整個高中學習的重要性不言而喻，對三力靜、動態(tài)平衡的求解方法也作為論文素材頻見于期刊、學報，但求解方法大同小異，無外乎矢量圖解法、相似三角形法、輔助圓法、正交分解法等一些針對基本題型的通法通解，但遇到一些力的靜、動態(tài)平衡遷移問題時，用這些方法解決過程很繁瑣或無法解決，在教學實踐過程中總結(jié)出下面幾種“另類”求解力的靜、動態(tài)平衡問題的方法，細細品味卻也蘊含著精妙的物理思維與方法，出奇制勝。

一、杠桿平衡原理法

這里的杠桿平衡原理法其實就是力矩平衡法，只是力矩知識大部分地區(qū)不作為高考要求范圍，給學生講力矩有超綱之嫌，但杠桿平衡原理學生在初中已經(jīng)用得得心應手，所以我們可以借用杠桿平衡的思想來解決力的平衡問題，在教學實踐中發(fā)現(xiàn)在研究對象不能看作質(zhì)點的物體或系統(tǒng)時，用杠桿平衡原理法明顯快捷得多。

【應用示例1】如圖1所示，重為G的球靜止于圖示位置，繩與豎直方向的夾角為θ，與球相切于D，球與豎直墻面的接觸點B，求繩的拉力FT，球與墻面的摩擦力Ff和彈力FN。

圖1

圖2

【方法點撥】此法關鍵在于靈活地選取支點，同一題可以通過選擇不同的支點，盡量讓不需要求解的力通過支點，使之力矩為零，這里的力矩=力×力臂，表示使物體轉(zhuǎn)動的趨勢，從而達到減小杠桿平衡式中力的個數(shù)。

圖3

( )

A.45° B.30° C.22.5° D.15°

圖4

二、微動態(tài)觀察法

一個力大小不變，另兩個力的方向都在變化的問題，用常規(guī)方法是采用相似三角形求解，但此類問題有時相似三角形并不適用，教學實踐中發(fā)現(xiàn)很多人在求解此類問題時不知所措，用正交分解等方法又因為數(shù)學過程過于繁雜費時費力，所以基于該動態(tài)分析基本為定性分析，在兩個方向均發(fā)生變化時，采用微動態(tài)矢量圖法，觀察每經(jīng)過微小過程中矢量三角形中各力的大小變化從而得出結(jié)論，事半功倍。

【應用示例2】如圖5所示，光滑小球用一根不可伸長的細繩系住，繩的另一端經(jīng)過半圓形的光滑碗的邊緣A點?，F(xiàn)用水平力拉動小球，小球在碗壁上緩慢地滑動，細繩始終處于繃緊狀態(tài)。小球從碗底中心點位置開始到接近碗口邊緣A點的過程中，碗面對小球的支持力FN以及繩對小球的拉力FT的變化情況是

圖5

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A.FN保持不變，F(xiàn)T不斷變小

B.FN不斷變小，F(xiàn)T不斷變大

C.FN保持不變，F(xiàn)T先減小后增大

D.FN不斷減小，F(xiàn)T先減小后增大

【應用示范】如圖6所示，用水平力緩慢地拉動小球過程中，小球受到的支持力方向一直指向圓心O，繩對小球的拉力一直指向A，盡可能多畫出幾個位置的受力動態(tài)矢量圖，由圖可知FN不斷變小，F(xiàn)T不斷變大。B選項正確。

圖6

【方法點撥】此法的關鍵在于“微”動態(tài)，即根據(jù)題設要求，將矢量進行微動態(tài)矢量作圖，有時還需要注意變化過程中的特殊位置，要重點畫出，再對整個變化的規(guī)律進行分析判斷。

【小試牛刀2】如圖7所示，不可伸長的輕繩AO和BO下端共同系一個物體P，且繩長AO>BO，A、B兩端點在同一水平線上，開始時兩繩剛好繃直，細繩AO、BO的拉力分別設為FA、FB?，F(xiàn)保持A、B端點在同一水平線上，在A、B端緩慢向兩側(cè)遠離的過程中，關于兩繩拉力的大小隨點A、B間距離的變化情況是

圖7

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A.FA隨距離的增大而一直增大

B.FA隨距離的增大而一直減小

C.FB隨距離的增大而一直增大

D.FB隨距離的增大先減小后增大

【方法演練】初始狀態(tài)BO豎直，所以BO繩拉力等于重物的重力mg，AO繩拉力為零。當B緩慢向右移動過程中，對于重力、AO繩的拉力FA、BO繩的拉力FB構成如圖8所示的矢量三角形，作出幾個位置的受力動態(tài)矢量圖，由圖8分析可知，AO的拉力FA隨著B點向右移動一直增大，BO繩的拉力FB卻是先較小后增大。AD選項正確。

圖8

三、力的圖示測量法

在高中階段力的圖示大多數(shù)在驗證平行四邊形實驗后就很少應用，殊不知該方法用于力的平衡問題中題設所給的已知條件為具體數(shù)值，且數(shù)值運算相對復雜、結(jié)果也需要具體數(shù)值的選擇題，采用力的圖示在誤差范圍內(nèi)結(jié)果相差不大，省去了用列表達式的數(shù)學運算，從而快速得到正確選項。

【應用示例3】某校物理課外小組神奇地用一個細繩套和兩根輕牙簽吊起一把湯匙，實驗如圖9所示。其中牙簽P穿過細繩套置于水平桌面上，牙簽Q上端撐在牙簽P的左端，下端插入繩套打結(jié)點O處。湯匙的質(zhì)量為30 g，穩(wěn)定時測量可得細繩和牙簽Q與水平方向的夾角分別為α=53°和β=37°，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10 m/s2。對于裝置研究可知

圖9

( )

A.細繩承受的力大于牙簽Q承擔的力

B.細繩承受的力小于牙簽Q承擔的力

C.細繩承受的力為0.86 N

D.牙簽Q承受的力為0.86 N

【應用示范】對結(jié)點O受力分如圖10所示，因為整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，重力、細繩承受的拉力FT、牙簽Q所受的力FN三力構成一個閉合的矢量三角形，由此可知細繩承受的力大于牙簽Q承擔的力，A選項正確，B選項錯誤；重力mg=0.3 N，用刻度尺畫出重力的矢量長度為3 cm(該長度只是一個標度值，要便于換算)，細繩承受的拉力FT的矢量長度為8.6 cm，牙簽Q所受的力FN的矢量長度為6.4 cm，根據(jù)比例關系換算可得，F(xiàn)T=0.86 N，F(xiàn)T=0.64 N，C選項正確，D選項錯誤。

圖10

【方法點撥】此法僅適用于選擇題，為了便于快速換算，要注意長度標度的選擇，此方法關鍵在于作力的矢量圖時要用直尺規(guī)范作圖，只要規(guī)范作圖，雖然有一定的誤差，但選項間的數(shù)值相差一般不會太過于接近，這樣基本可以按范圍選中正確答案，快速秒殺。此法甚至可以推廣到牛頓第二定律和一些矢量合成的選擇題。

【小試牛刀3】由于衛(wèi)星的發(fā)射場不在赤道上，同步衛(wèi)星發(fā)射后需要從轉(zhuǎn)移軌道經(jīng)過調(diào)整再進入地球同步軌道。當衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道上飛經(jīng)赤道上空時，發(fā)動機點火，給衛(wèi)星一附加速度，使衛(wèi)星沿同步軌道運行。已知同步衛(wèi)星的環(huán)繞速度約為3.1×103m/s，某次發(fā)射衛(wèi)星飛經(jīng)赤道上空時的速度為1.55×103m/s，此時衛(wèi)星的高度與同步軌道的高度相同，轉(zhuǎn)移軌道和同步軌道的夾角為30°，如圖11所示，發(fā)動機給衛(wèi)星的附加速度的方向和大小約為

圖11

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A.西偏北方向，1.9×103m/s

B.東偏南方向，1.9×103m/s

C.西偏北方向，2.7×103m/s

D.東偏南方向，2.7×103m/s

【方法演練】依題意可知同步衛(wèi)星的環(huán)繞速度v1是衛(wèi)星飛經(jīng)赤道上空時的速度v2的二倍，轉(zhuǎn)移軌道和同步軌道的夾角為30°，作出矢量圖如圖12所示，由圖可知發(fā)動機給衛(wèi)星的附加速度的方向東偏南方向；用刻度尺畫出衛(wèi)星飛經(jīng)赤道上空時的速度v2的矢量長度為1 cm，即同步衛(wèi)星的環(huán)繞速度v1的矢量長度為2 cm，量出發(fā)動機給衛(wèi)星的附加速度Δv的矢量長度約為1.3 cm，故Δv=1.3×1.55×103m/s≈2.0×103m/s，B選項最接近該數(shù)值，故B選項正確。

圖12

四、三力匯交原理法

在教學中發(fā)現(xiàn)學完力的平衡，有的人對三力匯交基本處于陌生狀態(tài)，人教版教材對共點力的定力為：如果一個物體受到兩個或更多力的作用，有些情況下這些力共同作用在同一點上，或者雖不作用在同一點上，但它們的延長線交于一點，這樣的一組力叫做共點力，說明物體在不平行的三個力作用下時平衡，這三個力或其延長線必匯交到一點，簡稱為“三力匯交原理”。平時我們研究的對象多數(shù)可以看成質(zhì)點或直接研究繩的結(jié)點，受到的力直接作用在同一點上，但類似有質(zhì)量的桿或重力不可忽略的桿大多數(shù)不能看成質(zhì)點，又因為力的合成的平行四邊形定則只適用于共點力，就需要借助“三力匯交原理”來確定作用點，使共點力的平衡躍然紙上，就可以利用平行四邊形定則或矢量三角形定則解決問題，難題就不難了。

【應用示例4】如圖13所示，由密度分別為ρ1、ρ2(ρ1>ρ2)的兩段長度相同的材料組成的細桿P一端放在水平地面上，另一端靠在固定于地面上的光滑半圓柱Q上，處于平衡狀態(tài)，P與地面和Q的接觸面點分別為M、N，半圓柱體Q的球心為O。現(xiàn)將細桿P翻轉(zhuǎn)，使密度為ρ2部分置于N點，細桿P仍能保持靜止狀態(tài)，下列說法正確的是

圖13

( )

A.細桿P翻轉(zhuǎn)前在M點受到的摩擦力沿MN方向

B.細桿P翻轉(zhuǎn)前在M點受到的支持力豎直向上

C.細桿P翻轉(zhuǎn)后在N點受到的支持力大小不變

D.細桿P翻轉(zhuǎn)后在M點受到的摩擦力變大

【應用示范】對細桿P受力分析可知細桿P翻轉(zhuǎn)前在M點受到的摩擦力Ff沿水平向右，A選項錯誤；細桿P翻轉(zhuǎn)前在M點受到的支持力FM豎起向上，B選項正確；把M點受到的摩擦力和M點受到的支持力合成為地面對M的作用力F，即細桿P受重力mg、地面作用力F、半圓柱體的支持力FN，因為ρ1>ρ2，所以細桿P受重力的重心作用點在ρ1段，根據(jù)三力匯交原理，細桿P受力如圖14所示，三力構成閉合矢量三角形如圖15所示，翻轉(zhuǎn)后半圓柱體的支持力FN的方向不變，重力mg大小不變但其重心位置向上移動，地面對M的作用力F與水平面的夾角變小，此時F和FN的大小如圖15中的虛線，即半圓柱體的支持力FN變大，C選項錯誤；由于地面對M的作用力F的水平分量為M點受到的摩擦力Ff，由圖15可以看出翻轉(zhuǎn)后摩擦力Ff變大，D選項正確。

圖14

圖15

【方法點撥】此法關鍵在于確定三力中兩力的方向，然后通過三力匯交原理確定第三個力。

【小試牛刀】如圖16所示，一根粗細均勻質(zhì)量分布均勻的筷子AB，其質(zhì)量為G，放在光滑的半徑為R的半球形碗內(nèi)，筷子與水平面成角θ=30°，假若筷子與兩壁、碗邊都沒有摩擦力，則筷子AB的長度2l為

圖16

( )

圖17