謝萌麗,姜永濤,劉國仕

(1.南陽師范學(xué)院,地理科學(xué)與旅游學(xué)院 測繪工程，河南 南陽 473000;2.昆明理工大學(xué),國土資源工程學(xué)院 資源勘查工程與技術(shù)，云南 昆明 650031;3.邵陽學(xué)院,湖南 邵陽 422000)

0 引 言

我國工程建設(shè)普遍采用正常高系統(tǒng),而正常高一般采用等級水準(zhǔn)測量方式獲取,耗時、繁瑣且效率低．全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(GNSS)定位技術(shù)可以快速、精確地獲取大地高[1],但是,由于未能獲得同等精度的高程異常值,導(dǎo)致轉(zhuǎn)換的正常高達(dá)不到高程精度要求[2],制約了GNSS高程定位技術(shù)的應(yīng)用．

區(qū)域高程異常值可通過對已知GNSS水準(zhǔn)點(diǎn)的高程異常擬合獲取,常用方法有等值線圖法[3]、解析內(nèi)插法[4]、曲面擬合法[5-6]、加權(quán)平均法[7]、非格網(wǎng)GNSS散點(diǎn)數(shù)據(jù)考慮地形改正法[8]和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[9]等．研究顯示,在高程異常變化比較平緩大區(qū)域,可首選二次多項(xiàng)式或雙線性內(nèi)插高程異常擬合方法[10-11];若已知高程異常點(diǎn)呈直線排列可采用三次樣條曲線、多項(xiàng)式曲線擬合法[12]．現(xiàn)有文獻(xiàn)主要針對大面積區(qū)域高程異常擬合研究,缺乏對小區(qū)域高程異常擬合方法和精度的探討．為此,本文利用湖南省新化縣四等水準(zhǔn)測量和E級GNSS測量成果,研究縣城區(qū)域尺度GNSS高程異常擬合方法及其精度,對于小區(qū)域高程擬合方法的選取有借鑒意義．

1 數(shù)據(jù)與方法

1.1 數(shù)據(jù)來源

對湖南省新化縣分別進(jìn)行四等水準(zhǔn)測量及E級GNSS測量,獲取控制點(diǎn)平面坐標(biāo)、大地高及正常高數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)及控制點(diǎn)分布如圖1和表1所示．

圖1 GNSS水準(zhǔn)點(diǎn)點(diǎn)位分布

表1 GNSS水準(zhǔn)起算點(diǎn)和檢核點(diǎn)

1.2 空間插值原理

1.2.1 反距離加權(quán)插值法

反距離加權(quán)插值法假定每個已知數(shù)據(jù)點(diǎn)都會對待定點(diǎn)產(chǎn)生一種局部影響,這種影響隨著距離的增大而減小．反距離加權(quán)高程異常插值實(shí)質(zhì)是由插值點(diǎn)周圍已知點(diǎn)的高程異常值加權(quán)平均求算的[7]．

設(shè)在插值點(diǎn)周圍選m個已知點(diǎn),高程異常為ζi(i=1,2,…，m),則待定點(diǎn)的反距離加權(quán)高程異常值為

(1)

1.2.2 多項(xiàng)式插值法

多項(xiàng)式插值法是由已知高程異常數(shù)據(jù)擬合出一個由多項(xiàng)式函數(shù)定義的平滑曲面,并根據(jù)該函數(shù)求算待定點(diǎn)高程異常值．通常多項(xiàng)式曲面無法通過每個已知點(diǎn),一般利用最小二乘方法獲得最佳擬合結(jié)果．

常用的二次曲面擬合法,公式如下:

ζ(x,y)=a0+a1x+a2y+a3x2+

a4y2+a5xy,

(2)

式中：ai(i=0,1,…，5)為待定系數(shù)；(x,y)為高程異常點(diǎn)的平面坐標(biāo)．

由已知數(shù)據(jù)可根據(jù)最小二乘原理求算公式(2)中的擬合系數(shù)ai,而后可以求得待定點(diǎn)處的高程異常值．

全局多項(xiàng)式插值法是利用所有數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合,階數(shù)視數(shù)據(jù)表面包含的彎曲個數(shù)而定;而局部多項(xiàng)式插值法是對位于指定重疊鄰域內(nèi)的數(shù)據(jù)分別進(jìn)行多項(xiàng)式擬合,通過樣本屬性對搜索鄰域進(jìn)行定義,且鄰域相互重疊．全局多項(xiàng)式插值法適用于分析數(shù)據(jù)長波變化,而局部多項(xiàng)式插值法適用于分析短波信息．

1.2.3 徑向基函數(shù)插值法

徑向基函數(shù)(RBF)插值法是在多維空間中尋找一個能夠最佳匹配已知高程異常數(shù)據(jù)的曲面,然后對待定點(diǎn)進(jìn)行插值,獲取高程異常值．RBF為一系列精確插值法的組合,其擬合曲面通過每一個已知點(diǎn),且曲面總曲率最小[13],擬合函數(shù)為

(3)

式中：φ(di)(i=1,2,…,n)為n個徑向基函數(shù)；wi為權(quán)．

RBF中權(quán)wi的計(jì)算,是根據(jù)采用的RBF,由高程異常擬合數(shù)據(jù)集(ζi,di)(i=1,2,3，…，n)求算．其中,di為待定點(diǎn)到已知數(shù)據(jù)點(diǎn)ζi的距離．

1.2.4 核平滑障礙插值法

核平滑障礙插值法是將每個已知點(diǎn)處的局部趨勢融合形成預(yù)測面,再與待定點(diǎn)相匹配進(jìn)行插值[14]．核平滑障礙插值法可看做局部多項(xiàng)式插值法的變型,用于解決局部不穩(wěn)定問題．其優(yōu)點(diǎn)在于通過使用嶺參數(shù)將少量偏差引入方程,解決大預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)誤差和失真預(yù)測的問題．但嶺參數(shù)應(yīng)盡可能小,以維持?jǐn)M合模型的穩(wěn)定性[14]．

1.2.5 克里金插值法

克里金插值是根據(jù)待定點(diǎn)周圍有限鄰域內(nèi)的若干已知點(diǎn)數(shù)據(jù),在考慮已知點(diǎn)與待定點(diǎn)的空間位置關(guān)系以及變異函數(shù)提供的結(jié)構(gòu)信息,對待定點(diǎn)進(jìn)行的一種線性無偏最優(yōu)估計(jì)[15-16]．克里金插值公式如下:

(4)

(5)

克里金插值的適用條件是區(qū)域變量存在空間相關(guān)性,在使用時須檢查數(shù)據(jù)是否存在正態(tài)分布、是否平穩(wěn)、是否有趨勢項(xiàng),若存在趨勢,需要對趨勢進(jìn)行多項(xiàng)式移除后,才能進(jìn)行空間插值．

普通克里金插值法適用于滿足二階平穩(wěn)假設(shè)的區(qū)域變化量,而泛克里格插值法適用于非平穩(wěn)或具有漂移存在的區(qū)域變化量．小區(qū)域高程異常滿足二階平穩(wěn)變化條件,且數(shù)據(jù)存在兩種趨勢,西北高東南低,因此在使用泛克里金插值法時應(yīng)進(jìn)行一階和二階移除比較．

1.3 實(shí)驗(yàn)方法

如圖2所示，大地高H與正常高Hγ之差為高程異常ζ,三者之間關(guān)系為

H=Hγ+ζ.

(6)

圖2 大地高與正常高關(guān)系

似大地水準(zhǔn)面(ζ)為一個光滑的曲面,可采用空間插值方法(數(shù)學(xué)曲面)進(jìn)行高程擬合研究．為研究縣城區(qū)域尺度不同GNSS高程異常擬合方法及其精度,本文實(shí)施方案如下:

1) 確定數(shù)據(jù)點(diǎn)和檢核點(diǎn)．為詳細(xì)研究不同高程擬合方法的內(nèi)插和外推精度,本文對GNSS水準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)點(diǎn)和檢核點(diǎn)的劃分,如表1和圖1所示,共選取16個數(shù)據(jù)點(diǎn)和8個檢核點(diǎn)．檢核點(diǎn)中,有4個在數(shù)據(jù)點(diǎn)范圍內(nèi),用于評定內(nèi)插精度;4個檢核點(diǎn)位于已知數(shù)據(jù)點(diǎn)外,用于評定外推精度．

2) 利用ArcGIS地統(tǒng)計(jì)工具,進(jìn)行GNSS水準(zhǔn)高程擬合方法研究及精度評定．

ArcGIS地統(tǒng)計(jì)工具中的插值方法可分為空間確定性插值和地統(tǒng)計(jì)插值．前者包括反距離加權(quán)、多項(xiàng)式插值法、RBF插值以及核平滑障礙插值法,后者包括普通克里金、泛克里金等插值方法[14,17]．對GNSS水準(zhǔn)高程擬合方法及其精度評定過程如下:

1)選用不同插值方法,利用GNSS數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行空間插值,獲取插值擬合函數(shù);

2)根據(jù)擬合函數(shù),求算檢核點(diǎn)的高程異常擬合值;

3)統(tǒng)計(jì)檢核點(diǎn)高程異常擬合值與實(shí)測值的殘差,采用中誤差指標(biāo),分析和探討不同插值方法內(nèi)插和外推精度．

2 結(jié)果與分析

2.1 空間插值結(jié)果

對湖南省新化縣GNSS水準(zhǔn)數(shù)據(jù),不同擬合方法的高程異常曲面結(jié)果如圖3所示.

(a)反距離權(quán)重插值法 (b)全局線性多項(xiàng)式插值法

(c)全局二次多項(xiàng)式插值法 (d)全局三次多項(xiàng)式插值法

(e)徑向基函數(shù)插值法 (f)局部多項(xiàng)式插值法

(g)核平滑障礙插值法 (h) 普通克里金插值法

(i)泛克里金插值法(一階移除) (j) 泛克里金插值法(二階移除)

圖3 不同擬合方法的高程異常結(jié)果

圖3可以看出,湖南省新化縣高程異常整體呈現(xiàn)西北高,東南低的趨勢．不同的空間插值方法得到的高程異常曲面(似大地水準(zhǔn)面)不同,相同擬合方法不同參數(shù)的結(jié)果也具有較大差異．

2.2 擬合精度評定

本文對高程異常擬合精度評定中,1～4點(diǎn)為內(nèi)插點(diǎn),分別對應(yīng)E009、E013、E015、E016,5～8為外推點(diǎn),分別對應(yīng)E006、E007、E024、E025．根據(jù)檢核點(diǎn)高程異常擬合值與實(shí)測值的差值,得到的精度統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2和圖4所示.

表2 不同插值法的內(nèi)插與外推精度 m

如圖4和表2,在縣域尺度高程擬合方法中,內(nèi)插精度最高的為RBF插值法,精度為±0.0158 m,其次為泛克里金二階插值法、泛克里金一階插值法和全局二階多項(xiàng)式插值法等．徑向基函數(shù)為一系列精確插值法的組合,其擬合曲面通過每一個已知點(diǎn),且曲面總曲率最小,因此內(nèi)插精度最高．

外推精度最高的為局部多項(xiàng)式插值法,精度為±0.0104 m,其次為全局二階多項(xiàng)式、克里金插值和全局線性多項(xiàng)式插值．在多項(xiàng)式插值中,多項(xiàng)式階數(shù)應(yīng)依據(jù)數(shù)據(jù)趨勢而定,對于縣域尺度GNSS高程異常數(shù)據(jù),由于局部多項(xiàng)式插值法更能體現(xiàn)曲面的短波變化,因此,插值精度較高．

其余插值方法,如反距離權(quán)插值法是按距離定權(quán),建立函數(shù)關(guān)系進(jìn)行擬合和預(yù)測的,該方法內(nèi)插精度高于外推精度,但整體擬合精度不高．克里金插值法外推精度整體高于內(nèi)插精度,原因是克里金插值可反映高程異常的整體曲面特征,但是在使用泛克里金二階插值法時,點(diǎn)8(外推點(diǎn))無法生成預(yù)測值,說明該方法有一定局限性．在克里金插值方法中,普通克里金插值精度高于泛克里金一階插值,這是由于普通克里金插值法適用于滿足二階平穩(wěn)假設(shè)的數(shù)據(jù),而泛克里金插值法適用于非平穩(wěn)或具有漂移存在的區(qū)域變化量[17]．

在本文研究插值方法中,RBF插值方法內(nèi)插精度最高,其中誤差為±0.0158 m,局部多項(xiàng)式插值法外推精度最高,其中誤差為±0.0104 m;綜合來說,局部多項(xiàng)式插值法整體精度最高．因此,在小區(qū)域高程異常擬合中,可以優(yōu)先考慮局部多項(xiàng)式插值法．

3 結(jié) 論

本文采用湖南省新化縣城區(qū)四等水準(zhǔn)測量和E級GNSS測量數(shù)據(jù),利用ArcGIS地統(tǒng)計(jì)工具,研究小區(qū)域GNSS水準(zhǔn)高程擬合方法及精度,主要結(jié)論有: 1)在本文研究的插值方法中,徑向基函數(shù)插值法內(nèi)插精度最高,其中誤差為±0.0158 m,局部多項(xiàng)式插值法外推精度最高,精度為±0.0104 m;綜合來說,局部多項(xiàng)式插值法整體精度最高;2)在多項(xiàng)式插值中,局部多項(xiàng)式插值法更能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的短波變化,在小區(qū)域GNSS高程異常擬合中內(nèi)插和外推精度較高；3)普通克里金插值法適用于滿足二階平穩(wěn)假設(shè)的數(shù)據(jù),由于縣域尺度高程異常變化屬于平穩(wěn)特征信號,因此普通克里金插值法在克里金插值中精度最高．本文研究結(jié)果對于小區(qū)域高程擬合方法的選取有一定的借鑒意義．