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        修正q-Phillips算子的逼近性質(zhì)

        2015-12-29 05:08:18任美英曾亮
        關(guān)鍵詞:教研員常數(shù)算子

        任美英,曾亮

        (1.武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,福建武夷山 354300;2.廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建廈門 361005)

        0 引言

        自1997年P(guān)hillips[1]提出并研究q-Bernstein算子以來,q-微積分在逼近論中的應(yīng)用成為了一個(gè)研究熱點(diǎn),很多逼近論方向的專家學(xué)者致力于該領(lǐng)域的研究,獲得了許多很好的結(jié)果,如文獻(xiàn)[2-6].2011年,Yüksel[7]研究了q-Phillips算子的逼近性質(zhì).提出修正的q-Phillips算子,并研究修正q-Phillips算子的逼近性質(zhì).

        首先,引入q-整數(shù)和q-微積分的若干概念,這里所述的概念詳細(xì)可見文獻(xiàn)[8-12].對任意固定的實(shí)數(shù)q>0和非負(fù)整數(shù)k,q-整數(shù)和q-階乘分別定義為:

        兩個(gè)q-模擬指數(shù)函數(shù)分別定義為:

        q-Jackson積分和q-廣義積分分別定義為:

        假設(shè)級數(shù)絕對收斂.對t>0,q-Gamma函數(shù)定義為:

        1 算子的構(gòu)造

        設(shè)f∈C[0,∞),q∈(0,1),x∈[0,∞),n∈N,文獻(xiàn)[7]定義了如下q-Phillips算子:

        其中:

        可以計(jì)算得到算子Pqn(f;x)的如下各階矩量(見文獻(xiàn)[7]).

        引理 1[7]對式(1)給出的算子Pqn(f;x),讓 em(t)=tm,m=0,1,2,3,4,則

        由引理1知,算子Pqn(f;x)只保持常數(shù).為了提高算子列{Pqn(f;x)}的收斂速度,可以將它進(jìn)行修正,使得修正后的算子能保持線性函數(shù).

        設(shè)f∈C[0,∞),q∈(0,1),x∈[0,∞),n∈N,定義修正的q-Phillips算子如下:

        其中:pn,k(x,q)由(2)式給出.

        引理2 對(3)式定義的算子~Pqn(f;x),讓em(t)=tm,m=0,1,2,3,4,則

        基于qn∈(0,1),=1時(shí),由n→∞ 可得[n]qn→∞(見文獻(xiàn)[13])和,易知,

        2 主要結(jié)果及其證明

        定理1 設(shè)qn∈(0,1),則對任意f∈C2*[0,∞),序列{(f;x)}在區(qū)間[0,A]上一致收斂于f當(dāng)且僅當(dāng)=1.

        另一方面,若對f∈C2*[0,∞),序列{(f;x)}在[0,A]上一致收斂于f,則=1.事實(shí)上,若不然,注意到qn∈(0,1),則必存在一個(gè)子列{qnk}?(0,1),使得=q0∈[0,1),這樣,這表明序列{(f;x)}在[0,A]上非一致收斂于f,與已知矛盾.因此,=1.定理證畢.

        定理2 設(shè)序列{qn}滿足qn∈(0,1),=1且qnn=c(c是常數(shù)),則對任意f∈C2*[0,∞)使得f',f″∈C2*[0,∞),有[n]qn((f;x)- f(x))= [(1 - c)x+1]xf″(x).

        由Cauchy-Schwartz不等式,有

        在此還應(yīng)特別提及各級教研組織的力量.例如,中國特有的“教研員”在這方面就具有特別重要的作用:“中國有專門的包含省、地(市)、縣(區(qū))等各級教研室的教研工作管理系統(tǒng),這個(gè)系統(tǒng)中的教研員通過有計(jì)劃的、形式多樣的教研活動(dòng),組織不同層級的課例研究,從而為中國教師專業(yè)發(fā)展提供有效支持.”[9]

        由文獻(xiàn)[15]有:

        其中:c是一個(gè)正常數(shù).

        定理3 設(shè)q∈(0,1),f∈CB[0,∞),則對任意的x∈(0,∞),有:

        其中:c是一個(gè)正常數(shù).

        證明 設(shè)g∈W2,x∈(0,∞),由泰勒公式知,

        因?yàn)閷∈CB[0,∞),n∈N和x∈(0,∞),由式(3)和引理2可得:

        因此,有:

        對上式右邊關(guān)于g∈W2取下確界,有:

        從而由式(6)知,存在常數(shù)c>0,使得:

        定理證畢.

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