車香 陳飛

勾股定理是研究幾何圖形的基礎(chǔ)知識(shí)，也是數(shù)形結(jié)合的典型代表.在歷年中考中，勾股定理都是主角之一，為了方便同學(xué)們的學(xué)習(xí)與運(yùn)用，現(xiàn)將有關(guān)的?？碱}型歸納如下.龜一、求線段的長(zhǎng)度上27 側(cè)/ 如圖1. 已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC邊上的高AD=8.則邊BC的長(zhǎng)為（?）.

A.21

B.15

C.6

D.以上答案都不對(duì)

解：因?yàn)锳D是高，所以LADB=∠ADC=90°，△ADB與△ADC都是直角三角形.

由勾股定理，得BD=√AB²-AD²=15，CD=√AC²-AD²=6.

所以BC=BD+CD=21.應(yīng)選A.

二、求圖形的周長(zhǎng)

側(cè)2 有一塊直角三角形的綠地，量得其兩直角邊的長(zhǎng)分別為6m，8m.現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為一直角邊長(zhǎng)的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng).

分析：由于兩直角邊長(zhǎng)分別為6m，8m，于是可利用勾股定理求出其斜邊的長(zhǎng).而題目只要求擴(kuò)充成等腰三角形，并沒有指明等腰三角形的底邊和腰，所以應(yīng)分情況求解.

解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8m，BC=6m.由勾股定理得AB=10m.設(shè)擴(kuò)充部分為Rt△ACD，擴(kuò)充成等腰△ABD.分三種情況求：①如圖2，當(dāng)AB=AD=10m時(shí)，可得DC=BC=6m，于是△ABD的周長(zhǎng)為32m.②如圖3，當(dāng)BA=BD=1Om時(shí)，可得CD=4m，由勾股定理得AD=4√5m，于是△ABD的周長(zhǎng)為（20+4√5）m.③如圖4，當(dāng)AB為底時(shí)，設(shè)DA=DB=x m，則CD=（x-6）m.在Rt△ACD中由勾股定理得：x=25/3，于是△ABD的周長(zhǎng)

3為80/3m.

綜上可以知道，△ABD的周長(zhǎng)為32m或（20+4√5）m或80/3m，即為所求.

三、拼圖驗(yàn)證勾股定理

例3 圖5是用硬紙板做成的四個(gè)全等的直角三角形（兩直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c）和一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形.

（1）畫出拼成的圖形的示意圖;

（2）證明勾股定理.

分析：將四個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)正方形，利用面積的不變性來(lái)驗(yàn)證.

解：（l）如圖6所示（方法不唯一）.

（2）因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e既可表示為（a+b）²，也可表示為c²+4×（1/2）ab，所以（a+b）²=c²+4×（1/2）ab，即a²+2ab+b²=C²+2ab.所以a²+b²=c²，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

四、勾股樹

例4 圖7是一株美麗的勾股樹，其中所有的“基本”四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別是3，5，2，3，則最大正方形E的面積是（?）.

A. 13

B.26

C.47

D.94

分析：正方形E的面積等于邊長(zhǎng)的平方，而其邊長(zhǎng)的平方等于與之緊鄰的兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)的平方和，同樣地，這兩個(gè)與最大正方形緊鄰的正方形邊長(zhǎng)的平方又分別等于正方形A，B邊長(zhǎng)的平方和與正方形C，D邊長(zhǎng)的平方和，

解：因?yàn)檎叫蜛，B，C，D的邊長(zhǎng)分別是3，5，2，3，所以最大正方形E的面積為3²+5²+2²+3²=47.應(yīng)選C.

五、確定最短路線

側(cè)5 如圖8，長(zhǎng)方體底面邊長(zhǎng)分別為1cm和3cm.高為6cm.如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過四個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要_____cm;如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過四個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要_______cm.

分析：要求最短細(xì)線的長(zhǎng)，得先確定最短路線，可畫出長(zhǎng)方體的側(cè)面展開圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短，結(jié)合勾股定理求得，若從點(diǎn)A開始經(jīng)過四個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，則相當(dāng)于長(zhǎng)方體的側(cè)面展開圖的一邊長(zhǎng)由（3+1+3+1）cm變成了n（3+1+3+1）cm，同樣可以用勾股定理求解.

解：如圖9，依題意，最短距離為AB.由勾股定理得AB=√6²+8²=10 （cm），即所用細(xì)線最短為10cm.

若從點(diǎn)A開始經(jīng)過四個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，則長(zhǎng)方體的側(cè)面展開圖的一邊長(zhǎng)由（3+1+3+1）cm變成了n（3+1+3+1）cm，即為8n cm.由勾股定理，得

AB=√6²+（8n）²=√36+64n²（cm），即所用細(xì)線最短為2√9+16n²cm.

六、閱讀理解

例6 閱讀下列材料：

在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫作格點(diǎn)三角形.

數(shù)學(xué)老師在課堂上出了一道題目：在如圖10所示的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）中畫出格點(diǎn)△ABC，使得AB=AC=√5，Bc=√2.

小明同學(xué)的做法是：由勾股定理，得

AB=AC=√2²+1²=√5，

BC=√1²+1²=√2，于是畫出線段AB，AC，BC，從而畫出格點(diǎn)△ABC.

請(qǐng)你參考小明同學(xué)的做法，在同樣的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）中畫出格點(diǎn)△A'B'C'，使A'B'=A'C'=5，B'C'=√10.

解：因?yàn)锳'B'=A'C'=√3²+4²=5，B'C'=√1²+3²=√10，所以畫圖如圖11所示，