北京 王長(zhǎng)友

解析幾何綜合問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，同時(shí)是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，更是高考考查的重要載體，本文對(duì)學(xué)生在2020年北京高考數(shù)學(xué)解析幾何大題中的完成情況、未完成原因等事實(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)思考，希望通過(guò)對(duì)學(xué)生存在的問(wèn)題進(jìn)行分析，從而改進(jìn)教師的日常教學(xué)，建立 “追根溯源，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)”的教學(xué)基石.

一、典型問(wèn)題再現(xiàn)

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k(x+4)，易知斜率k存在；設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),P(-4,yP),Q(-4,yQ).

方法二：同方法一的前半部分，即

方法三：將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“過(guò)點(diǎn)A作兩條直線AM,AN與橢圓交于M,N兩點(diǎn)，且滿足B,M,N三點(diǎn)共線”.

設(shè)直線AM的方程為y+1=m(x+2)，直線AN的方程為y+1=n(x+2)，易知m,n存在且m≠0,n≠0,m≠n.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),P(-4,yP),Q(-4,yQ).

令x=-4，則yP=-2m-1,yQ=-2n-1，

化簡(jiǎn)并整理得m2-n2+m-n=0即(m-n)(m+n+

1)=0因?yàn)閙≠n，所以m+n=-1，

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)是否存在常數(shù)λ，當(dāng)直線l變動(dòng)時(shí)，總有k1=λk2成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由.

方法一：由(Ⅰ)知,A(-2,0),B(2,0)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即直線l的方程為x=1．

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),

C(x1,y1)，D(x2,y2)．

方法二：設(shè)C(x1,y1)，D(x2,y2)，直線lAC:y=k1(x+2),直線lBD:y=k2(x-2)，易知k1,k2存在且都不等于0.

12) = 0，

方法三：①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1．

②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)，顯然k≠0，C(x1,y1)，D(x2,y2)．

方法四：①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，同方法三；

②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)，顯然k≠0，C(x1,y1)，D(x2,y2)．

整理得 4(1-λ2)-2(1+λ2)(x1+x2)+(1-λ2)x1x2=0，

通過(guò)對(duì)比就會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)問(wèn)題研究的方法基本如出一轍，而例2是作者在教學(xué)中重點(diǎn)講解的問(wèn)題，但是在高考中部分學(xué)生還是未能很好地順利完成，引人思考.

二、學(xué)生困難與剖析

通過(guò)調(diào)研部分未能整體完成此題的學(xué)生，發(fā)現(xiàn)基本困難如下：

【困難4】學(xué)生在實(shí)際運(yùn)算中只求得yP=

【困難5】對(duì)于方法三學(xué)生的問(wèn)題有：未想到上述方法三中的轉(zhuǎn)化研究對(duì)象，想到轉(zhuǎn)化但是擔(dān)心直線與橢圓方程聯(lián)立時(shí)運(yùn)算量大不敢實(shí)施，或部分實(shí)施后未能明確運(yùn)算方向?yàn)檠芯縨,n的關(guān)系，在實(shí)施過(guò)程中出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤造成無(wú)法完成等.

進(jìn)一步對(duì)學(xué)生困難進(jìn)行挖掘、分析，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生困難的本質(zhì)，一方面學(xué)生未能用數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)、特殊與一般的關(guān)系，主動(dòng)探究解決問(wèn)題的思路；另一方面學(xué)生對(duì)解析幾何中運(yùn)算的方向、策略，運(yùn)算的方法與經(jīng)驗(yàn)等不理解，缺少理性思考與感悟.因此，可以得出的基本結(jié)論為：很多學(xué)生的解析幾何學(xué)習(xí)是“習(xí)慣在高度模仿水平”，未能理解解析幾何學(xué)習(xí)的本質(zhì).

三、教學(xué)思考

分析高考真題與學(xué)情，結(jié)合教育部關(guān)于高考的主要任務(wù)為：立德樹(shù)人“一堂課”、服務(wù)選才“一把尺”、引導(dǎo)教學(xué)“一面旗”的要求，教師的日常教學(xué)需要進(jìn)行深刻反思，在教學(xué)中抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)、落實(shí)學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng).

(一)解析幾何教學(xué)的本質(zhì)與學(xué)業(yè)要求

教師要明確新課標(biāo)指出的解析幾何是“研究對(duì)象是幾何圖形，研究方法主要是代數(shù)方法”的教學(xué)本質(zhì)，認(rèn)真研讀新課標(biāo)關(guān)于解析幾何的學(xué)業(yè)要求，即“根據(jù)具體問(wèn)題情境的特點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系；根據(jù)幾何問(wèn)題和圖形的特點(diǎn)，用代數(shù)語(yǔ)言把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；根據(jù)對(duì)幾何問(wèn)題(圖形)的分析，探索解決問(wèn)題的思路；運(yùn)用代數(shù)方法得到結(jié)論”.

(二)思考

按照課標(biāo)要求，對(duì)比學(xué)生在上述解答問(wèn)題中出現(xiàn)的困難，就清晰地指明了教師在教學(xué)中的改進(jìn)方向.

1.教師要重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想與方法、基本學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的生成過(guò)程

在教學(xué)過(guò)程中，教師要敢于給學(xué)生思維的時(shí)間與空間，充分體現(xiàn)學(xué)生探究、困惑、優(yōu)化、解惑的過(guò)程，只有充實(shí)過(guò)程，才能感悟深刻.教師在教學(xué)中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生充分理解：解析幾何綜合問(wèn)題是在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中研究變化規(guī)律(確定性質(zhì)、特殊規(guī)律等)，因此抓住研究對(duì)象間的聯(lián)系合理轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系是核心，有效進(jìn)行運(yùn)算、解決問(wèn)題是落腳點(diǎn)，教師要科學(xué)、有層次的設(shè)計(jì)問(wèn)題，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生逐步建立良好的研究解析幾何問(wèn)題的思維過(guò)程，即

簡(jiǎn)而言之，分為三個(gè)過(guò)程，即學(xué)生認(rèn)識(shí)與體會(huì)、理解與正確操作、掌握與感悟本質(zhì).

2.教師要系統(tǒng)規(guī)劃與細(xì)化解析幾何運(yùn)算素養(yǎng)提升的途徑

解析幾何研究的運(yùn)算對(duì)象較多，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生從幾何、代數(shù)等基本關(guān)系入手，尋找連接點(diǎn)，合理設(shè)計(jì)與選擇運(yùn)算方法， “算什么、怎么算”是解析幾何運(yùn)算素養(yǎng)落地的核心.解析幾何的運(yùn)算分為兩方面，一方面是常規(guī)程序化運(yùn)算(如直線與曲線方程聯(lián)立、共線、垂直、平行等位置關(guān)系的求解等)，另一方面為結(jié)合問(wèn)題情境自主設(shè)計(jì)運(yùn)算.程序化運(yùn)算是基礎(chǔ)，要指導(dǎo)學(xué)生落實(shí)細(xì)節(jié)并養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣(如例1運(yùn)算過(guò)程中隨時(shí)化簡(jiǎn)的習(xí)慣等)；自主設(shè)計(jì)是目標(biāo)，要充分理解運(yùn)算的本質(zhì)是邏輯推理分析，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)定性與定量的結(jié)合，關(guān)注定性分析明方向、關(guān)注定量運(yùn)算求準(zhǔn)確；要有時(shí)刻進(jìn)行化繁為簡(jiǎn)的意識(shí)；要有效進(jìn)行整體代換，重視運(yùn)算結(jié)構(gòu)；大膽實(shí)施估算與精算的有機(jī)結(jié)合等.

3.教師要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考與激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性

回顧例1中的北京高考試題和例2的模擬題，進(jìn)一步分析會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的共性為：與橢圓有關(guān)的兩條直線的斜率具備特殊關(guān)系(如和是定值、差是定值、積是定值、商是定值)時(shí)橢圓具有的一些性質(zhì).

教師要有意識(shí)的設(shè)計(jì)問(wèn)題刺激學(xué)生.進(jìn)一步思考就會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題表面上是在研究圖形的幾何性質(zhì)，深層次是數(shù)學(xué)的邏輯關(guān)系使然，是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)嘗試“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”的數(shù)學(xué)教育價(jià)值，同時(shí)學(xué)生也能體會(huì)到數(shù)學(xué)的邏輯美、奇異美.只要教師在教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)思考，就會(huì)激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性.