淳 黎， 王 彬

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，成都 610068)

0 引 言

設(shè)A(·)∈C([0,T];Rn×n)，B(·)∈C([0,T];Rn×m);h:Rn→R為給定的一階連續(xù)可微函數(shù)，Rn×m與Rn×n分別表示n×m與n×n階矩陣全體，C([0,T];Rn×n)，C([0,T];Rn×m)表示Rn×n,Rn×m矩陣值連續(xù)映射全體，記平方可積函數(shù)空間L2(0,T;Rm)上的范數(shù)與內(nèi)積分別為‖·‖2與[·,·]L2，記連續(xù)函數(shù)空間C([0,T];Rn) 上的范數(shù)為‖·‖∞，考慮線(xiàn)性控制系統(tǒng) :

(1)

Mayer型性能指標(biāo):

J(u(·))=h(x(T))

其中：x(T)表示式(1)的解x在T時(shí)的值。設(shè)控制集U為Rm中的有界閉凸集，可行控制集Uad定義為

Uad:={u(·):[0,T]→U|u(·)Lebesgue可測(cè)}

(2)

上述最優(yōu)控制問(wèn)題廣泛存在于實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中。求解這類(lèi)最優(yōu)控制問(wèn)題的主要方法之一是求解最優(yōu)控制的一階必要條件[1]。然而，類(lèi)似于微積分中求函數(shù)極值，最優(yōu)控制的一階必要條件并不一定是充分條件。為使得滿(mǎn)足一階必要條件的允許控制為最優(yōu)控制，必須對(duì)最優(yōu)控制問(wèn)題施加適當(dāng)?shù)耐剐詶l件。現(xiàn)有研究中，一階充分條件中對(duì)最優(yōu)控制系統(tǒng)的凸性要求比較苛刻，比如，對(duì)上述Mayer型問(wèn)題通常要求函數(shù)h為凸函數(shù)[2-3]。過(guò)高的凸性要求使得相應(yīng)的一階充分條件只適用于結(jié)構(gòu)比較特殊的最優(yōu)控制問(wèn)題，從而限制了利用一階最優(yōu)性條件求解最優(yōu)控制這一方法的適用范圍。本文在僅假設(shè)函數(shù)h為偽凸函數(shù)的條件下證明最優(yōu)控制問(wèn)題的一階必要條件的充分性。因此，與已知一階充分條件相比，文中所得的一階充分性條件適用于更廣泛的最優(yōu)控制問(wèn)題。作為應(yīng)用，本文將原最優(yōu)控制問(wèn)題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為一階必要條件對(duì)應(yīng)的偽單調(diào)變分不等式問(wèn)題，并利用處理偽單調(diào)變分不等式的一類(lèi)雙投影算法[4]給出最優(yōu)控制的一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值算例。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[5]設(shè)X為Hilbert空間，其上賦予內(nèi)積[·,·]X,h:X→R為一階可微函數(shù)，若

h(y)>h(x)?[▽h(y),x-y]X<0,?x,y∈X

則稱(chēng)h為定義在X上的偽凸函數(shù)。

定義2[5]設(shè)X為Hilbert空間,K為X中的非空閉凸子集，F(xiàn):K→X稱(chēng)為

(i) 單調(diào)映射，若對(duì)任意x,y∈K,都有

[F(x)-F(y),x-y]X≥0

(ii) 偽單調(diào)映射，若對(duì)任意x,y∈K,都有

[F(y),x-y]X≥0?[F(x),x-y]X≥0

容易證明，凸函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為單調(diào)映射，偽凸函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偽單調(diào)映射。

(3)

定義Hamilton函數(shù)：

H(t,x,u,P)=[P,A(t)x(·)+B(t)u(·)]

(4)

其中：(t,x,u,P)∈[0,T]×Rn×U×Rn。

(5)

其中，P(·)稱(chēng)為伴隨變量，其滿(mǎn)足的方程稱(chēng)為伴隨方程。

2 主要結(jié)果

下面，在函數(shù)h為偽凸函數(shù)的條件下證明一階必要條件式(5)的充分性。

證明下面將分兩步證明該結(jié)論。

第1步首先證明當(dāng)h是Rn上的偽凸函數(shù)時(shí)，最優(yōu)控制問(wèn)題式(2)的性能指標(biāo)J是關(guān)于控制u在Uad上的偽凸函數(shù)。

任取可行控制u1,u2∈Uad，設(shè)J(u1)

[▽h(x2(T)),x1(T)-x2(T)]<0

令xβ(·)為控制系統(tǒng)式(1)關(guān)于控制u2+β(u1-u2)的解。由控制系統(tǒng)式(1)的線(xiàn)性性，易知

xβ(·)-x2(·)=β(x1(·)-x2(·))

故由h的連續(xù)可微性及Lebesgue控制收斂定理得：

(6)

因此，由u1,u2的任意性及偽凸函數(shù)的定義可得性能指標(biāo)J是關(guān)于u的偽凸函數(shù)。

(7)

的解。

類(lèi)似于第一步的討論，

(8)

設(shè)P(·)為一階必要條件中伴隨方程：

(9)

的解。由式(7)與式(9)的對(duì)偶關(guān)系，有

(10)

結(jié)合式(8)與式(10)可知

3 最優(yōu)控制的數(shù)值解

設(shè)x(·;u)為式(1)中微分方程關(guān)于u(·)的解，P(·;u) 為式(5)中伴隨方程關(guān)于u(·)和x(·;u)的解。定義映射F:Uad→L2(0,T;Rm)如下:

F(u)=-B(·)TP(·;u),?u∈Uad

(11)

設(shè)t0=0,t1=Δt,…,ti=iΔt,…,tN=T,其中N為

uN:=(uN(t0)T,…,uN(tN-1)T)T
xN:=(xN(t0)T,…,xN(tN)T)T

由控制系統(tǒng)式(1)的Euler差分格式得：對(duì)i=0,…,N-1,有

(12)

若定義

(13)

由參考文獻(xiàn)[8]中定理2可得如下收斂性結(jié)果：

類(lèi)似于式(12)，記

PN:=(PN(t0)T,…,PN(tN)T)T

由倒向Euler差分格式，定義PN如下:

(14)

對(duì)給定的uN，利用式(12)與式(14)可定義映射FN:RNm→RNm如下：

(15)

(16)

容易證明式(16)是離散優(yōu)化問(wèn)題式(13)對(duì)應(yīng)的一階必要條件。利用定理2的證明方法并結(jié)合凸分析的知識(shí)容易證明如下結(jié)果：

其中，n=0,1,2,…,N。

下面，還是分兩步來(lái)證明。

JN(x1(tN))

由h為偽凸函數(shù)，得

[▽h(x2(tN)),x1(tN)-x2(tN)]<0

另一方面，有

因此, 對(duì)?n=0,1,2,…,N-1,有

因此有

設(shè)PN為差分方程式(14)的解，則

由于

因此

綜上可得

另一方面， 若

則有

由JN(·)為偽凸函數(shù)，有

例1 設(shè)T=1，n=m=1，控制集U=[0,1]?？紤]如下控制系統(tǒng)：

及性能指標(biāo)

J(u(·))=ln(x(T))

致謝:非常感謝四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院張海森老師對(duì)本文提供的指導(dǎo)和建議。