廣東 廖邦亮

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)重要的性質(zhì)之一，對(duì)深入研究函數(shù)的圖象、比較函數(shù)值的大小、解不等式、求極值、最值、取值范圍、判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)和證明不等式等，都起著至關(guān)重要的作用，是函數(shù)綜合問(wèn)題的基石.因此，函數(shù)單調(diào)性的考查是高考函數(shù)導(dǎo)數(shù)題的重點(diǎn).

導(dǎo)函數(shù)是解決函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的“利器”，而利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的重點(diǎn)和難點(diǎn)，就是當(dāng)導(dǎo)函數(shù)含參數(shù)時(shí)如何找到合適的參數(shù)分界點(diǎn)，順利地判斷出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性.因此對(duì)參數(shù)的分類討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，這要求學(xué)生具備良好的分類與整合、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和學(xué)科素養(yǎng).

本文通過(guò)幾例高考題，對(duì)用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的題型進(jìn)行分類，對(duì)解題步驟進(jìn)行歸納，對(duì)分類討論的分界點(diǎn)進(jìn)行總結(jié).

題型1：導(dǎo)函數(shù)局部“單根”型，根是否在定義域內(nèi)為分界點(diǎn)

【例1】(2017·全國(guó)卷Ⅲ理·21節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.若f(x)≥0，求a的值.

Step 1:x∈(0,+∞);Step 2:f'x =x-ax;Step 3:g(x)=x-a.Step 4,5:gx 與fx 草圖;f1 =0.當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞增.當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞增.

續(xù)表

【點(diǎn)評(píng)】①對(duì)導(dǎo)函數(shù)通分化簡(jiǎn)后，發(fā)現(xiàn)只需研究局部g(x)=x-a(x>0)即可，其為“單根”型，根為x=a，函數(shù)單調(diào)性討論的分界點(diǎn)為此根是否在定義域內(nèi)；

②Step 6中，要解不等式a-1-alna≥0，需構(gòu)造函數(shù)h(a)=a-1-alna(a>0)求解，對(duì)于函數(shù)h(a)的單調(diào)性研究與此題相同；

③通過(guò)上述分析，我們還可以將問(wèn)題變式為求f(x)的單調(diào)性、零點(diǎn)個(gè)數(shù)、極值點(diǎn)個(gè)數(shù)或極值點(diǎn)偏移等問(wèn)題；

④類似高考題：(2017·全國(guó)卷Ⅱ理·21)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0.

(Ⅰ)求a；

(Ⅱ)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e-2

【答案】(Ⅰ)a=1;

(Ⅱ)證明略.

題型2：導(dǎo)函數(shù)局部為“類單根”型，有解無(wú)解為分界點(diǎn)

【例2】(2017·全國(guó)卷Ⅰ理·21)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

Step 1:x∈R;Step 2:f'(x)=(aex-1)(2ex+1);Step 3:g(x)=aex-1.Step 4,5:gx 和fx 的草圖.

續(xù)表

【點(diǎn)評(píng)】①對(duì)導(dǎo)函數(shù)因式分解后，發(fā)現(xiàn)只需研究局部g(x)=aex-1為“類單根”型，即a≤0時(shí)無(wú)根，a>0時(shí)有一根x=-lna，函數(shù)單調(diào)性討論的分界點(diǎn)為有根和無(wú)根；

③通過(guò)上述分析，我們還可以研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性、零點(diǎn)個(gè)數(shù)和極值點(diǎn)個(gè)數(shù)等問(wèn)題，本題的第二問(wèn)就是研究極值點(diǎn)偏移問(wèn)題.

題型3：導(dǎo)函數(shù)局部為“雙根”，“雙根”的分布為分界點(diǎn)

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

Step 1:x∈(0,+∞);Step 2:f'(x)=-x2+ax-1x2;Step 3:g(x)=-x2+ax-1.Step 4,5:gx 與fx 的草圖,x1=a-a2-42,x2=a+a2-42.

續(xù)表

②本題第(Ⅰ)問(wèn)要討論f(x)單調(diào)性問(wèn)題，一目了然.第(Ⅱ)問(wèn)先根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)的范圍，也非常清晰.

題型4：導(dǎo)函數(shù)為“類雙根”型，根的個(gè)數(shù)和大小比較都是分界點(diǎn)

【例4】(2016·全國(guó)卷Ⅰ理·21節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).求a的取值范圍.

Step 1:x∈R;Step 2:f'(x)=(x-1)(ex+2a);Step 3:g(x)=(x-1)(ex+2a).Step 4,5:gx 與fx 的草圖;g(1)=0,f(1)=-e.Step 6:若fx 有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.當(dāng)a>0時(shí),兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)a=0時(shí),一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)-e2

【小結(jié)】①當(dāng)a≥0或a<0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)=(x-1)·(ex+2a)可能是“單根”或“雙根”型，因此稱之為“類雙根”型導(dǎo)函數(shù)，這是討論的分界點(diǎn)之一.

②“單根”的討論簡(jiǎn)潔，但“雙根”時(shí)，兩個(gè)根的大小不知道，因此討論的分界點(diǎn)之二就是比較兩個(gè)根的大小.

③本題是研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，離不開函數(shù)的單調(diào)性和極值.

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(-∞,1)上遞減，在(1,+∞)上遞增，x→+∞時(shí)，f(x)→+∞;x→-∞時(shí)，f(x)→+∞，且f(1)=-e<0，故f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)在(-∞,1)上遞減，在(1,+∞)上遞增，x→+∞時(shí)，f(x)→+∞;但是x→-∞時(shí)，f(x)→0，f(1)=-e<0，故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；

④顯然本題對(duì)單調(diào)性、極值點(diǎn)個(gè)數(shù)和零點(diǎn)個(gè)數(shù)等性質(zhì)的分類探討分界點(diǎn)多且綜合性強(qiáng)，非常典型.

⑤類似高考題：(2019·全國(guó)卷Ⅲ理·20節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b.討論f(x)的單調(diào)性.

通過(guò)上述幾例的分析，我們可以做如下總結(jié)：

【解題步驟】Step 1：確定函數(shù)的定義域；Step 2：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；Step 3: 對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行整理，包括通分和分解因式；對(duì)導(dǎo)函數(shù)“去粗取精，化繁為簡(jiǎn)”，即去掉導(dǎo)函數(shù)中恒正或者恒負(fù)的部分，留下要討論的局部；Step 4：根據(jù)參數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)或局部導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)；Step 5：畫出導(dǎo)函數(shù)或局部導(dǎo)函數(shù)的草圖，并確定原函數(shù)圖象；Step 6：解決極值、最值、零點(diǎn)、恒成立、求參數(shù)范圍和證明不等式等問(wèn)題.

【分類討論分界點(diǎn)】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)或者局部導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)，常見特征為“單根”或者“雙根”形式，討論的分界點(diǎn)有：①定義域內(nèi)有無(wú)零點(diǎn)；②定義域內(nèi)有幾個(gè)零點(diǎn)；③若定義域內(nèi)有多個(gè)零點(diǎn)，比較零點(diǎn)的大小.