湖南 周冬梅

強(qiáng)化對(duì)“應(yīng)用意識(shí)”的考查，把高考內(nèi)容與國(guó)家經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展、科學(xué)技術(shù)進(jìn)步、生產(chǎn)生活緊密結(jié)合，通過設(shè)置真實(shí)的問題情境，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決實(shí)際問題的能力，仍將是2020年高考命題的趨勢(shì)之一，而高考數(shù)學(xué)應(yīng)用問題承載著這一重要“使命”.2020年高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題如何考？以什么樣的形式呈現(xiàn)？在高考日益臨近的情況下，分析近3年高考全國(guó)卷理科試題考查特點(diǎn)和展望2020年高考命題趨勢(shì)，對(duì)臨考的復(fù)習(xí)頗有裨益.

一、試題特點(diǎn)分析

1.試題分布列表

2017—2019年全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)用題的考查列表如下：

年份卷別題號(hào)考查內(nèi)容2017卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ19(Ⅰ)正態(tài)分布,隨機(jī)變量的概率和期望(Ⅱ)利用平均值和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行預(yù)測(cè)3等比數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和(數(shù)學(xué)文化)13二項(xiàng)分布及其方差18(Ⅰ)頻率分布直方圖(Ⅱ)2×2列聯(lián)表,獨(dú)立性檢驗(yàn)(Ⅲ)相互獨(dú)立事件的概率,中位數(shù)的估計(jì)值3折線圖18(Ⅰ)隨機(jī)變量的分布列(Ⅱ)數(shù)學(xué)期望2018卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ3餅圖(經(jīng)濟(jì)背景)15計(jì)數(shù)原理,排列組合20(Ⅰ)二項(xiàng)分布的概率(Ⅱ)二項(xiàng)分布的期望,統(tǒng)計(jì)決策8古典概型,組合(數(shù)學(xué)文化)18折線圖,線性回歸方程,模型預(yù)測(cè)3三視圖(數(shù)學(xué)文化)8二項(xiàng)分布的概率,隨機(jī)變量的方差18(Ⅰ)莖葉圖,樣本數(shù)據(jù)分析(Ⅱ)莖葉圖,2×2列聯(lián)表 (Ⅲ)獨(dú)立性檢驗(yàn)

續(xù)表

2.試題特點(diǎn)分析

(1)對(duì)應(yīng)用題的考查全國(guó)卷是每年必考，從未缺席.

(2)2017年應(yīng)用題題量基本穩(wěn)定在一小、一大，而2018年與2019年的應(yīng)用題題量有所增加，多數(shù)情況是兩小、一大的題量.題型分布在選擇、填空、解答題中.

(3)位置居前，偶有偏后.特別是2018年全國(guó)卷Ⅰ的應(yīng)用題在第20題出現(xiàn)，而2019年全國(guó)卷Ⅰ的應(yīng)用題出現(xiàn)在第21題(壓軸題)的位置，在中學(xué)數(shù)學(xué)界引起了不小的“波瀾”.高考應(yīng)用題呈現(xiàn)“重心后移”的趨勢(shì).

(4)考查的內(nèi)容幾乎是“清一色”的概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用問題.也許是這方面的試題相對(duì)容易命制，但其實(shí)更體現(xiàn)了“應(yīng)用題部分將數(shù)據(jù)準(zhǔn)備階段的步驟減少，給考生呈現(xiàn)比較規(guī)范的數(shù)據(jù)格式或數(shù)據(jù)的回歸模型”的要求.

(5)多數(shù)應(yīng)用題難度中等，數(shù)學(xué)建模相對(duì)輕松.而全國(guó)卷Ⅰ的應(yīng)用題近兩年的難度呈現(xiàn)上升的趨勢(shì)，2018年在第20題，2019年則在第21題，處在壓軸題的位置，全國(guó)卷Ⅰ連續(xù)兩年的應(yīng)用題，使得人們對(duì)待應(yīng)用題也“另眼相看”了.

(6)應(yīng)用來源于真實(shí)情景，采用真實(shí)數(shù)據(jù)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與社會(huì)生活的密切聯(lián)系，增強(qiáng)試題情景的真實(shí)性和可靠性.

二、命題趨勢(shì)展望

高考命題逐步從能力立意向核心素養(yǎng)立意轉(zhuǎn)變，可以預(yù)見2020年的高考數(shù)學(xué)會(huì)繼續(xù)努力實(shí)現(xiàn)全面考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求.作為承載著培育和考查“數(shù)據(jù)分析”與“數(shù)學(xué)建?！钡葦?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的應(yīng)用題，在2020年的考查仍是大勢(shì)所趨，不可阻擋.根據(jù)上述對(duì)2017—2019年全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)試題特點(diǎn)分析的基礎(chǔ)上，對(duì)2020年高考全國(guó)卷應(yīng)用題的命題趨勢(shì)作如下幾方面展望.

1.題量仍會(huì)是一小、一大或兩小、一大，占近20分左右，且多屬于中檔題或較難題，仍分布在選擇、填空、解答題中；

2.概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題仍將是命題的“主角”，至少不會(huì)受到冷落；

3.2020年高考承上啟下，就全國(guó)卷而言，在原三套全國(guó)卷的基礎(chǔ)上增加了“新高考”卷，在高考命題改革的背景下，求新、求變將是2020年高考數(shù)學(xué)命題的主旋律.為此，我們就2020年高考應(yīng)用題的可能命題模式作如下三方面的預(yù)測(cè)(其中后兩種預(yù)測(cè)頗為大膽)：

(1)應(yīng)用題沿襲往年高考的考查模式，在解答題中，仍是以一道“概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題”的形式呈現(xiàn)，而且全國(guó)卷Ⅰ居于后兩題的位置.

(2)應(yīng)用題考查的題材呈現(xiàn)出多樣化的趨勢(shì)，除在小題中命制應(yīng)用題外，在解答題中以兩道應(yīng)用題的形式呈現(xiàn)，在全國(guó)卷中傳統(tǒng)意義上“概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題”不再是考查數(shù)學(xué)應(yīng)用的“代名詞”，而以函數(shù)(導(dǎo)數(shù))、三角函數(shù)(解三角形)、數(shù)列、不等式乃至立體幾何等知識(shí)為背景的應(yīng)用問題登場(chǎng)亮相，概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題被劃歸為常規(guī)題型.

(3)應(yīng)用題考查題意趨活、題型多樣，在選擇或填空題中，主要圍繞統(tǒng)計(jì)、概率等知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用來命制；而在解答題中，只呈現(xiàn)一道考查函數(shù)(導(dǎo)數(shù))、三角函數(shù)(解三角形)、數(shù)列等知識(shí)為背景的實(shí)際應(yīng)用問題.

對(duì)于高考而言，不到試卷揭開神秘面紗的最后一刻，我們絕不輕言那些一定不考，對(duì)于一些冷門知識(shí)、冷門內(nèi)容務(wù)必要準(zhǔn)備在平時(shí).禮記有云：凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢.比如概率應(yīng)用題，再比如解析幾何、立體幾何、三角函數(shù)、數(shù)列等應(yīng)用題，都要做好心理準(zhǔn)備，概率小不等于不發(fā)生，以上三種預(yù)測(cè)哪種情形能在2020年高考中實(shí)現(xiàn)，讓我們拭目以待.

4.對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題考查的側(cè)重點(diǎn)仍將是現(xiàn)實(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)化，其背景可能是課本中包含著的大量應(yīng)用性材料的深化或延伸；也可能來自當(dāng)前社會(huì)的熱點(diǎn)問題或具有現(xiàn)實(shí)意義的問題，比如國(guó)慶70周年、新冠肺炎等.

5.2020年高考的應(yīng)用題部分仍會(huì)將數(shù)據(jù)準(zhǔn)備階段的步驟減少，給考生呈現(xiàn)比較規(guī)范的數(shù)據(jù)格式或數(shù)據(jù)的回歸模型.采取“重心后移”的策略，把考查的重點(diǎn)后移到對(duì)數(shù)據(jù)的分析、理解、找規(guī)律，減少?gòu)?fù)雜的運(yùn)算，突出對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和運(yùn)用能力的考查，引導(dǎo)學(xué)生從“解題”到“解決問題”能力的培養(yǎng).

三、解題方法指導(dǎo)

應(yīng)用題不同于一般的試題，它是從實(shí)際生活背景中抽取信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的一種題型.對(duì)學(xué)生的閱讀理解能力、抽象思維能力、建模解模能力都提出了較高的要求.因而在全國(guó)卷高考中備受命題者的青睞，成為數(shù)學(xué)考試命題中必不可少的特色“大餐”.解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題就是在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)模型進(jìn)行分析、研究，得到答案，然后再把答案返回到實(shí)際問題中，獲取具有實(shí)際意義的結(jié)論.基本程序如下：

具體地說，解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟是：

1.審題：審題是解答應(yīng)用題的起點(diǎn)，只有有效地審題才能準(zhǔn)確理解題意，弄清題目所反映的實(shí)際背景，弄清每一個(gè)名詞、概念，分析已知條件，明確所求的結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，并注意挖掘隱含條件，從而將實(shí)際問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

2.建模：在審題的基礎(chǔ)上，將已知與所求聯(lián)系起來，用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)?shù)匾雲(yún)?shù)及變量，列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式，即建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵在于對(duì)語(yǔ)言的理解和轉(zhuǎn)換，即翻譯.它包括：對(duì)陌生名詞、概念的領(lǐng)悟；把通俗的文字語(yǔ)言、專業(yè)術(shù)語(yǔ)等轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言.

3.解模：在構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型后，就要運(yùn)用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法來解答純數(shù)學(xué)問題，得到數(shù)學(xué)結(jié)論.

4.還原：將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論，還原為實(shí)際問題的結(jié)論.

解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

(1)消除心理障礙

許多考生一見應(yīng)用題文字比較長(zhǎng)、題目中的情境比較陌生，就望而生畏、置之不理.豈不知，這類問題實(shí)際上也是對(duì)心理素質(zhì)的考驗(yàn).所以要樹立信心，提高心理承受能力，保持冷靜，認(rèn)真對(duì)待，切不可隨意放棄，認(rèn)真閱讀完題目，可能發(fā)現(xiàn)此類問題并不難.

(2)排除語(yǔ)言障礙

數(shù)學(xué)應(yīng)用題的情景，往往是當(dāng)前社會(huì)的熱點(diǎn)問題和具有現(xiàn)實(shí)意義的問題，非常貼近生活，所給的材料具有一定的“原始性”.許多考生往往不能很好地將“材料”與“模型”有機(jī)地結(jié)合起來，這就要求考生在解應(yīng)用題時(shí)，首先應(yīng)仔細(xì)讀題，通過讀題，抓住關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系，然后準(zhǔn)確地翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言.那么，怎樣讀題呢？比如說，可用加點(diǎn)畫線的方法強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵性的語(yǔ)句，再連貫讀出，形成完整的問題；也可以用劃分層次、歸納大意的方法從背景材料中提煉出需要解決的實(shí)際問題；或?qū)Χ鄠€(gè)數(shù)量進(jìn)行匯集、歸類，借助圖表顯現(xiàn)出已知量和未知量，體現(xiàn)出需要解決的數(shù)學(xué)問題；或者用改寫的方法對(duì)應(yīng)用題去掉枝葉，抓住主干，保留題中的數(shù)量關(guān)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

四、題型示例點(diǎn)撥

下面舉例歸納構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的幾種常見題型.

1.函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題

用函數(shù)理論解決實(shí)際問題，是學(xué)習(xí)函數(shù)最重要的目的之一.而構(gòu)建函數(shù)模型的關(guān)鍵，是找到函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則“f”，通過利用函數(shù)性質(zhì)或?qū)?shù)知識(shí)求解.

(1)分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)y表示為關(guān)于投資金額x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)該企業(yè)籌集到35萬(wàn)元資金，并全部投資到這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這35萬(wàn)元的投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元？

圖1

圖2

解析：(1)對(duì)于A產(chǎn)品：y=0.15x(x≥0);

點(diǎn)評(píng)：本題需要在閱讀理解和識(shí)圖的基礎(chǔ)上，根據(jù)題意條件建立函數(shù)模型，然后利用導(dǎo)數(shù)求解，體現(xiàn)了函數(shù)模型在解決實(shí)際問題中的廣泛應(yīng)用.

2.數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題

【例2】我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，在“楊輝三角”中，第n行的所有數(shù)字之和為2n-1，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的前15項(xiàng)和為

( )

A.110 B.114 C.124 D.125

點(diǎn)評(píng)：本題以“楊輝三角”為背景，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用.

3.三角實(shí)際應(yīng)用問題

通過構(gòu)建三角模型，特別是運(yùn)用正、余弦定理解決實(shí)際應(yīng)用問題是高考考查的重點(diǎn).熟練掌握并靈活運(yùn)用知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵.

(Ⅰ)若綠化區(qū)域△ABC的面積為1 km2，求道路BC的長(zhǎng)度；

θ(0,π6)π6(π6,2π3)f'(θ)-0+f(θ)↘極小值↗

點(diǎn)評(píng)：(Ⅰ)利用余弦定理求解;(Ⅱ)構(gòu)建角θ的三角函數(shù)，然后利用正弦定理、三角恒等變換和導(dǎo)數(shù)求解，體現(xiàn)了知識(shí)間的綜合運(yùn)用.

4.幾何實(shí)際應(yīng)用問題

有些數(shù)學(xué)應(yīng)用題帶有明顯的“幾何”(平面幾何、立體幾何、解析幾何)特征，這類問題自然是應(yīng)用幾何的基礎(chǔ)知識(shí)求解.

【例4】如圖為中國(guó)民間智力玩具魯班鎖，起源于古代中國(guó)建筑的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合，外觀嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱，六根完全相同的正四棱柱分成三組，經(jīng)90°榫卯起來．現(xiàn)有一魯班鎖的正四棱柱的底面正方形邊長(zhǎng)為2，欲將其放入球形容器內(nèi)(容器壁的厚度忽略不計(jì))，若球形容器表面積的最小值為120π，則正四棱柱的體積為________.

設(shè)正四棱柱的高為h，所以22+42+h2=120，解得h=10，所以正四棱柱的體積為V=2×2×10=40.

點(diǎn)評(píng)：中國(guó)古建筑以木材、磚瓦為主要建筑材料，以木構(gòu)架結(jié)構(gòu)為主要的結(jié)構(gòu)方式，由立柱、橫梁、順檁等主要構(gòu)件建造而成，各個(gè)構(gòu)件之間的結(jié)點(diǎn)以榫卯相吻合，構(gòu)成富有彈性的框架，稱為榫卯結(jié)構(gòu).榫卯是極為精巧的發(fā)明，成了后代建筑和中式家具的基本模式.本題以中國(guó)古建筑借助榫卯連接木構(gòu)件為背景，命制了一道球與多面體的組合體問題，利用球與內(nèi)接正四棱柱的關(guān)系求解.

5.概率統(tǒng)計(jì)實(shí)際應(yīng)用問題

概率統(tǒng)計(jì)試題的核心是考查“數(shù)據(jù)分析”素養(yǎng)，在高考中，概率統(tǒng)計(jì)問題注重情景設(shè)置，貼近生活，使學(xué)生在解題過程中認(rèn)識(shí)到概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)在生產(chǎn)、生活中所起的作用.主要是以數(shù)學(xué)應(yīng)用解答題的形式出現(xiàn)，是近年來高考考查實(shí)際應(yīng)用的?？碱}型.

例5.下面給出了根據(jù)我國(guó)2012年-2018年水果人均占有量y(單位：kg)和年份代碼x繪制的散點(diǎn)圖和線性回歸方程的殘差圖(2012年-2018年的年份代碼x分別為1-7).

(Ⅰ)根據(jù)散點(diǎn)圖分析y與x之間的相關(guān)關(guān)系；

(Ⅲ)根據(jù)線性回歸方程的殘差圖，分析線性回歸方程的擬合效果.(精確到0.01)

解析：(Ⅰ)由散點(diǎn)圖可以看出，當(dāng)x由小變大時(shí)，y也由小變大，從而y與x之間是正相關(guān)關(guān)系.

(Ⅲ)由殘差圖可以看出，殘差對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均勻地落在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，且寬度較窄，說明擬合效果較好.

點(diǎn)評(píng)：本題以統(tǒng)計(jì)的散點(diǎn)圖和線性回歸方程的殘差圖為背景，考查了線性回歸方程的求解和殘差圖中擬合效果的分析與應(yīng)用.

五、教學(xué)感悟啟示

1.如何用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活中存在的問題，一直是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高要求.高考試題中每年都會(huì)有專門的試題考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.在如今的大數(shù)據(jù)時(shí)代，整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、進(jìn)行決策和判斷是數(shù)學(xué)應(yīng)用的大方向.因此，高考復(fù)習(xí)臨考階段的教學(xué)要增強(qiáng)和訓(xùn)練應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，一方面通過背景材料，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象和推理，得出數(shù)學(xué)概念和規(guī)律；另一方面更重要的是指導(dǎo)學(xué)生能夠運(yùn)用已有的知識(shí)將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型.

2.數(shù)學(xué)應(yīng)用題的求解不同于一般的數(shù)學(xué)運(yùn)算題，有人比喻它是數(shù)學(xué)中的小作文.因此，教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生求解高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)要做到“有頭有尾”，把問題中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，引入變量與字母，畫出圖形，將數(shù)學(xué)建模的過程詳細(xì)地寫出來，建立數(shù)學(xué)模型后，要準(zhǔn)確地求解，并注意計(jì)量單位的一致，最后對(duì)于所得數(shù)據(jù)不僅要思考或檢驗(yàn)是否與實(shí)際吻合，而且要給出完整的答案.

莊子說：水之積也不厚，則其負(fù)大舟也無(wú)力.只要我們?cè)谧詈蟮膹?fù)習(xí)階段，踏踏實(shí)實(shí)，積極研究，主動(dòng)應(yīng)對(duì)，靜心思考，不斷反思，就一定能跨越高考“應(yīng)用題”這道坎，實(shí)現(xiàn)解決高考數(shù)學(xué)難題的高遠(yuǎn)目標(biāo)！