甘肅 張建文

數(shù)學抽象是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分，是區(qū)分學生數(shù)學能力強弱的重要標準之一.數(shù)學抽象是指通過對數(shù)量關系和空間形式的抽象，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng).數(shù)學抽象的主要表現(xiàn)為獲得數(shù)學概念和規(guī)則，提出數(shù)學命題和模型，形成數(shù)學方法與思想，認識數(shù)學結(jié)構與體系.

抽象表達式是指沒有具體的變量表達式，是用最簡潔、最一般化的數(shù)學符號表示的式子，與具體表達式是相對的，在不同的情境中能表示不同的數(shù)學元素.多層次多角度理解抽象表達式能很好地培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，訓練抽象思維，提高數(shù)學能力.

一個抽象表達式的抽象性體現(xiàn)在結(jié)構上的簡潔性和內(nèi)涵上的豐富性，下面筆者就抽象表達式所蘊含的特點進行分類簡述.

1.抽象函數(shù)蘊含圖象變換

一個抽象函數(shù)的表達式中的變量有特殊的含義，即此函數(shù)可以由其他函數(shù)變化而來，函數(shù)形式與結(jié)構的變化對應圖象的變化.

1.1橫向伸縮變換

f(x)=f(ωx)(ω>0)，已知x∈D,y=f(x)的解析式確定(可作圖).

D在x軸正半軸,y=f(x)在(0,+∞)上的圖象特點是：向右伸長,向左縮短(橫向伸縮)；

D在x軸負半軸,y=f(x)在(-∞,0)上的圖象特點是：向左伸長,向右縮短(橫向伸縮).

例1.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(3x).當x∈[1,3)時,f(x)=lnx.若在區(qū)間[1,9)上,函數(shù)g(x)=f(x)-ax有兩個不同的零點,求a的范圍.

在[1,9)上g(x)有兩個不同零點?y=f(x)與y=ax圖象有兩個不同交點.

根據(jù)y=ax圖象動態(tài)變化特點有：

反思：此題是在作圖的基礎上進行分析解答,理解抽象表達式是準確作圖的前提.在基礎圖形作好后根據(jù)直線斜率的變化可以得到兩曲線有兩個交點的情況.

1.2橫縱伸縮變換結(jié)合

f(x)=mf(ωx)(0<ω<1)，

例2.函數(shù)f(x)滿足：(1)f(2x)=2f(x)；(2)當2≤x≤4時,f(x)=1-|x-3|.求集合S={x|f(x)=f(36)}中的最小元素.

x∈[2,4],f(x)=1-|x-3|作為起始函數(shù),由此可以作出f(x)在(0,+∞)上的其余部分的函數(shù)圖象.

可得如下簡圖：

故集合S={x|f(x)=f(36)}中的最小元素為12.

反思:此題是函數(shù)圖象橫向、縱向同時伸縮的經(jīng)典例題,解答的關鍵在于準確理解抽象式子f(2x)=2f(x),由此畫出函數(shù)圖象簡圖，從而得到解答思路，列方程求解.

1.3橫向平移縱向伸縮

f(x)=mf(x-n)(n>0),

已知D是長度為n的半開半閉區(qū)間,x∈D,y=f(x)的解析式確定(可作圖).

(1)當m>1時,函數(shù)圖象在以n為步長向右橫向平移的同時縱向伸長；

(2)當0

(3)當m<0時,函數(shù)圖象在以n為步長向右橫向平移的同時縱向伸縮,再關于x軸翻折.

分析：f(x+1)=2f(x)?f(x)=2f(x-1),則可知函數(shù)圖象在(0,1]的基礎上以1為步長向右橫向平移的同時縱向伸長2倍.

x∈(0,1],f(x)=x(x-1)作為起始函數(shù),由此可以作出f(x)在定義域內(nèi)的其余部分的函數(shù)圖象.

當x∈(1,2]時,有x-1∈(0,1]，所以f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2),圖象相比于x∈(0,1]時，縱向伸長為原來的2倍；

當x∈(2,3]時,有x-1∈(1,2]，所以f(x)=2f(x-1)=4(x-2)(x-3),圖象相比于x∈(1,2]時，縱向伸長為原來的2倍；作簡圖如下：

反思：此題雖然屬于恒成立問題,但是必須依賴于函數(shù)圖象才可以判斷出x的取值.在問題解答過程中,不僅需要從抽象表達式中看出圖象變換的規(guī)則,還需要求出對應區(qū)間上的函數(shù)解析式,更要將恒成立問題從函數(shù)圖象的角度去解釋.

2.抽象表達式蘊含構造意義

抽象表達式的不同表達形式蘊含不同的函數(shù)構造方向,根據(jù)題目情境的不同可以構造導函數(shù)的原函數(shù)、對稱函數(shù)和周期函數(shù)等.例如：

(2)對于xf′(x)+f(x)<0，則可構造F(x)=xf(x)；

(3)對于f′(x)+f(x)<0，則可構造F(x)=exf(x).

所以x∈[0,+∞),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

所以g(a)-g(a2)≥0，即g(a)≥g(a2)?a≤a2，解得a∈(-∞,0]∪[1,+∞).

3.抽象表達式蘊含數(shù)值變化意義

在抽象等式或不等式中,變量x可以表示一個實數(shù)，還可以表示一個表達式,根據(jù)題目的需要可以靈活進行變換,這就需要我們深刻理解抽象等式或不等式的數(shù)值變化規(guī)律.在不同的表達式中數(shù)值變化規(guī)律是不同的，此外我們還可以據(jù)此推出新的結(jié)論,滿足不同題目的要求.

例5.已知定義在R上的函數(shù)f(x),對于任意實數(shù)x,均有f(x+3)≤f(x)+3,f(x+2)≥f(x)+2,且f(1)=2.求f(2 020)的值.

分析：f(x+3)≤f(x)+3表示f(x)數(shù)值放大后變量數(shù)值減小3，函數(shù)值增大3，

f(x+2)≥f(x)+2表示f(x)數(shù)值縮小后變量數(shù)值減小2，函數(shù)值增大2.

則有f(x+1)+2≤f(x+3)≤f(x)+3?f(x+1)≤f(x)+1(*)，

根據(jù)(*)及原條件可得f(x)+2≤f(x+2)≤f(x+1)+1，即f(x)+1≤f(x+1)，

又由于f(x)+1≤f(x+1)且f(x+1)≤f(x)+1，可得f(x+1)=f(x)+1，

因此f(2 020)=f(2 019)+1=f(2 018)+2=…=f(1)+2 019=2 021.

反思：此題的核心在于理解兩個抽象不等式所蘊含的數(shù)值變化特點,由此選擇對f(x+3)進行放大縮小變換,進而得到一個新結(jié)論,由此再利用原條件與新結(jié)論得到另一個結(jié)論,最后得到f(x+1)=f(x)+1,至此問題得以解答.縱觀此題全過程,里面的式子變換簡潔而巧妙,不得不令人驚嘆,這都是建立在準確形象的理解抽象不等式的基礎上的.

4.總結(jié)與展望