甘肅 焦永垚

(Ⅰ)若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；

(Ⅱ)如果存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.

一、試題分析

以橢圓為載體的圓錐曲線(xiàn)高考?jí)狠S題是歷年高考中經(jīng)久不衰的考點(diǎn)之一，往年的考題大多都考到了直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系、定點(diǎn)定值以及最值等這些傳統(tǒng)的熱點(diǎn)問(wèn)題，教師和考生在備考中往往會(huì)對(duì)這類(lèi)題進(jìn)行大量的練習(xí)，總結(jié)成固定模式，形成解題套路，這就使一部分本來(lái)能力不足的考生經(jīng)過(guò)反復(fù)練習(xí)后也能得到一些分?jǐn)?shù).2018年1月，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》正式發(fā)布，界定了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的含義，自此高考命題更加注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查.本題主要強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)概念、方法及思想的理解和應(yīng)用；強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性和綜合性；注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)和通性通法；考查了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).下面筆者從多維度對(duì)本題進(jìn)行分析，探尋其解法，追溯其源頭，研究其變式，培養(yǎng)學(xué)生良好的創(chuàng)造思維與發(fā)散思維.

二、解法探究

第一問(wèn)相對(duì)簡(jiǎn)單，在此不再贅述，下面從不同角度探尋第二問(wèn)的解法.

角度一 回歸課本，夯實(shí)基礎(chǔ)，關(guān)注核心，重視通法

【評(píng)注】本題源于人教A版選修2-1第49頁(yè)習(xí)題2.2A組第6題，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用三角形面積公式是解決該題的通性通法，因此在高考復(fù)習(xí)中，我們不能脫離教材，而是要回歸教材，注重教材中例題和習(xí)題所蘊(yùn)含的思想方法，我們又不能拘泥于教材，還要注重對(duì)教材的一些經(jīng)典知識(shí)的拓展與延伸，才能做到有的放矢，立于不敗之地.

角度二 橢圓的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，橢圓的第一定義是關(guān)鍵

【評(píng)注】對(duì)于橢圓的焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題，常用到橢圓的第一定義，并且利用均值不等式求a的取值范圍顯得更直接，更巧妙.

角度三 利用橢圓的參數(shù)方程解題簡(jiǎn)化運(yùn)算

【評(píng)注】利用橢圓的參數(shù)方程解題，經(jīng)常可以起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用，同時(shí)還可以順理成章地利用三角函數(shù)的有界性求參數(shù)的取值范圍.

角度四 利用橢圓的極坐標(biāo)方程可以提高解題效率

【評(píng)注】利用橢圓的極坐標(biāo)方程解題，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高解題效率，本題由條件PF1⊥PF2，可知|OP|=c，所以適合建立以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系，思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)便快捷.

覆土的薄厚程度，是種植花生的關(guān)鍵和基礎(chǔ)。在桃林山區(qū)，選種時(shí)選擇特性?xún)?yōu)良（例如：抗旱、早熟等）的種子，假設(shè)種植出的花生用于食品加工，就一定要選擇“口味”好的品種。，在花生的整個(gè)生長(zhǎng)過(guò)程中，每個(gè)生長(zhǎng)階段對(duì)水分的要求都不同，例如：開(kāi)花期、結(jié)莢期，需要大量的水分，假設(shè)水分不足，會(huì)使花生的產(chǎn)量大受影響。從花生的播種，一直到出芽，都需要充足的水分，所以，必要時(shí)一定要人工進(jìn)行澆水，以保證花生的總產(chǎn)量。與此同時(shí)，花生的品種不一樣，在生長(zhǎng)過(guò)程中，對(duì)水分的需求以及水分需要的生長(zhǎng)期也不同，因此，在補(bǔ)充水分時(shí)，一定要根據(jù)花生的品種進(jìn)行科學(xué)灌溉。

角度五 焦點(diǎn)三角形的面積公式

三、同源再現(xiàn)

焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題在高考中多次出現(xiàn)，如2008年重慶卷理科第21題；2009年上海卷理科第9題和文科第12題；2010年全國(guó)卷Ⅰ理科第9題和文科第8題；2018年全國(guó)卷Ⅱ文科第11題等等.這些題都可以借助于焦點(diǎn)三角形的面積公式去解決，甚至2018年全國(guó)卷Ⅱ文科第11題的條件和結(jié)果與本文中的2019年全國(guó)卷Ⅱ文科第20題的第(Ⅰ)問(wèn)完全相同，此考點(diǎn)在高考中出現(xiàn)的頻率之高、解題方法之重要不言而喻.

四、同源變式

變式訓(xùn)練在高考復(fù)習(xí)中具有非常重要的作用，它可以對(duì)某一數(shù)學(xué)問(wèn)題有關(guān)的概念和思想方法等進(jìn)行不同角度與不同背景的變化，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度，用不同的思維去探究問(wèn)題，從而提升解題的能力，在此過(guò)程中訓(xùn)練學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中挖掘“不變”的本質(zhì)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生良好的創(chuàng)造思維與發(fā)散思維.

【變式1】(2018·全國(guó)卷Ⅱ文·11)已知F1,F2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn).若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，則C的離心率為( )

【答案】D.

【答案】3.

【變式3】(2010·全國(guó)卷Ⅰ文·8)已知F1,F2為雙曲線(xiàn)C:x2-y2=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2=60°，則|PF1|·|PF2|=( )

A.2 B.4

C.6 D.8

【答案】B.

【變式4】(2010·全國(guó)卷Ⅰ理·9)已知F1,F2是雙曲線(xiàn)C:x2-y2=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2=60°，則P到x軸的距離為( )

【答案】B.